朝阳一模 北京市朝阳区届高三第一次综合练习数学文试题 Word版含答案.docx
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朝阳一模北京市朝阳区届高三第一次综合练习数学文试题Word版含答案
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学试卷(文史类)
2015.4
(考试时间120分钟满分150分)
本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分
第一部分(选择题共40分)
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
(1)已知全集,集合,则等于
A.B.C.D.
(2)已知命题,,则
A.,B.,
C.,D.,
(3)若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值为
A.B.C.D.
(4)如图所示的程序框图表示的算法功能是
A.计算的值
B.计算的值
C.计算的值
D.计算的值
(5)已知,,满足,则
A.
B.
C.
D.
(6)函数图象的一条对称轴方程是
A.B.C.D.
(7)已知实数,满足其中.若的最大值为5,则z的最小值为
A.B.C.D.
(8)已知边长为3的正方形与正方形所在的平面互相垂直,为线段上的动点(不含端点),过作交于,作交于,连结.设,则下面四个图象中大致描绘了三棱锥的体积与变量变化关系的是
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上.
(9)为虚数单位,计算=.
(10)已知平面向量,满足,与的夹角为,则.
(11)圆与轴相交于两点,则弦所对的圆心角的大小为.
(12)一个四棱锥的三视图如图所示,其中侧视图为正三角形,则该四棱锥的体积是,四棱锥侧面中最大侧面的面积是.
(13)稿酬所得以个人每次取得的收入,定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额,每次收入不超过4000元,定额减除费用800元;每次收入在4000元以上的,定率减除20%的费用.适用20%的比例税率,并按规定对应纳税额减征30%,计算公式为:
(1)每次收入不超过4000元的:
应纳税额=(每次收入额-800)×20%×(1-30%)
(2)每次收入在4000元以上的:
应纳税额=每次收入额×(1-20%)×20%×(1-30%).
已知某人出版一份书稿,共纳税280元,这个人应得稿费(扣税前)为元.
(14)记为区间的长度.已知函数,(),其值域为,则区间的长度的最小值是.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
(15)(本小题满分13分)
在中,,,.
(Ⅰ)求的长;
(Ⅱ)求的面积.
(16)(本小题满分13分)
某次考试结束后,为了解甲、乙两所学校学生的数学考试情况,随机抽取甲、乙两校各10名学生的考试成绩,得茎叶图如图所示(部分数据不清晰):
(Ⅰ)请根据茎叶图判断哪个学校的数学成绩平均水
平较高(直接写出结果);
(Ⅱ)若在抽到的这20名学生中,分别从甲、乙两校
随机各抽取1名成绩不低于90分的学生,求抽到的学生中,甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率.
(17)(本小题满分14分)
如图,在三棱柱中,各个侧面均是边长为的正方形,为线段的中点.
(Ⅰ)求证:
⊥平面;
(Ⅱ)求证:
直线∥平面;
(Ⅲ)设为线段上任意一点,在内的平面区域(包括边界)是否存在点,使,并说明理由.
(18)(本小题满分13分)
设数列的前项和为,且,,.
(Ⅰ)写出,,的值;
(Ⅱ)求数列的通项公式;
(Ⅲ)已知等差数列中,有,,求数列的前项和.
(19)(本小题满分14分)
已知椭圆的两个焦点分别为,离心率为.过焦点的直线(斜率不为0)与椭圆交于两点,线段的中点为,为坐标原点,直线交椭圆于两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)当四边形为矩形时,求直线的方程.
(20)(本小题满分13分)
已知函数,.
(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)当时,求证:
在上为增函数;
(Ⅲ)若在区间上有且只有一个极值点,求的取值范围.
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学试卷答案(文史类)
2015.4
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
题号
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
答案
B
D
C
B
A
C
D
A
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上.
题号
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
答案
2800
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
(15)(本小题满分13分)
(Ⅰ)因为,,又,
所以.
由正弦定理得,.
所以.
所以.………6分
(Ⅱ)在中,
=
=.
所以==.……13分
(16)(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)从茎叶图可以看出,乙校10名学生的考试成绩的平均分高于甲校10名学生的考试成绩平均分,故乙校的数学成绩整体水平较高.………4分
(Ⅱ)设事件:
分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学,抽到的学生中,甲校学生成绩高于乙校学生成绩.
由茎叶图可知,甲校成绩不低于90分的同学有2人,从小到大依次记为;乙校成绩不低于90分的同学有5人,从小到大依次记为.
其中
分别从甲、乙两校各随机抽取1名成绩不低于90分的同学共有这10种可能.
其中满足“抽到的学生中,甲校学生成绩高于乙校学生成绩”共有这4种可能.
所以.
即分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学,抽到的学生中,甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率为.………13分
(17)(本小题满分14分)
解:
(Ⅰ)证明:
因为三棱柱的侧面是正方形,
所以,.
所以底面.
因为底面,所以.
由已知可得,底面为正三角形.
因为是中点,所以.
因为,所以平面.………5分
(Ⅱ)证明:
如图,连接交于点,连接.
显然点为的中点.
因为是中点,所以.
又因为平面,平面,
所以直线平面.………10分
(Ⅲ)在内的平面区域(包括边界)存在一点,使.
此时点是在线段上.证明如下:
过作交线段于,
由(Ⅰ)可知平面,而平面,
所以.
又,,所以平面.
又平面,所以.………14分
(18)(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:
因为,,
所以,,
.………3分
(Ⅱ)当时,.
又当时,.
所以………6分
(Ⅲ)依题意,,.
则由得,,,则.
所以
所以.
因为=
,
所以.
所以
.
所以.………13分
(19)(本小题满分14分)
解:
(Ⅰ)由题意可得
解得,.
故椭圆的方程为.………5分
(Ⅱ)由题意可知直线斜率存在,设其方程为,点,,,,
由得,
所以.
因为,
所以中点.
因此直线方程为.
由解得,.
因为四边形为矩形,所以,
即.
所以.
所以.
解得.故直线的方程为.………14分
(20)(本小题满分13分)
解:
函数定义域为,.
(Ⅰ)当时,,.
所以.
所以曲线在点处的切线方程是,
即.………3分
(Ⅱ)当时,.
设,则.
令得,或,注意到,所以.
令得,注意到,得.
所以函数在上是减函数,在上是增函数.
所以函数在时取得最小值,且.
所以在上恒大于零.
于是,当,恒成立.
所以当时,函数在上为增函数.………7分
(Ⅱ)问另一方法提示:
当时,.
由于在上成立,即可证明函数在上为增函数.
(Ⅲ)(Ⅱ).
设,.
(1)当时,在上恒成立,
即函数在上为增函数.
而,,则函数在区间上有且只有一个零点,使,且在上,,在上,,故为函数在区间上唯一的极小值点;
(2)当时,当时,成立,函数在区间上为增函数,又此时,所以函数在区间恒成立,即,
故函数在区间为单调递增函数,所以在区间上无极值;
(3)当时,.
当时,总有成立,即成立,故函数在区间上为单调递增函数,所以在区间上无极值.
综上所述.………13分