空间向量知识点归纳(期末复习).doc
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空间向量期末复习
知识要点:
1.空间向量的概念：
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：
（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
2.空间向量的运算。
定义：
与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
;;
运算律：
⑴加法交换律：
⑵加法结合律：
⑶数乘分配律：
3.共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。
当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。
（2）共线向量定理：
空间任意两个向量、（≠），//存在实数λ，使＝λ。
4.共面向量
（1）定义：
一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：
空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：
如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实数使。
5.空间向量基本定理：
如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使。
若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：
设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使。
6.空间向量的数量积。
（1）空间向量的夹角及其表示：
已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：
。
（2）向量的模：
设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：
。
（3）向量的数量积：
已知向量，则叫做的数量积，记作，即。
（4）空间向量数量积的性质：
①。
②。
③。
（5）空间向量数量积运算律：
①。
②（交换律）。
③（分配律）。
7.空间向量的坐标运算：
（1）.向量的直角坐标运算
设＝，＝则
（1）＋＝；
（2）－＝；
（3）λ＝（λ∈R）；（4）·＝；
（2）.设A，B，则=.
（3）.设，，则
=
；.
（4）.夹角公式设＝，＝，
则.
（5）．异面直线所成角
=.
（6）.直线和平面所成的角的求法
如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝.
（7）.二面角的求法
（1）如图①，AB，CD是二面角αlβ的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．
（2）如图②③，n1，n2分别是二面角αlβ的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉．
练习题：
1．已知a＝（－3,2,5），b＝（1，x，－1）且a·b＝2，则x的值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．已知a＝（2,4,5），b＝（3，x，y），若a∥b，则（ ）
A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝
3．已知空间三点A（0,2,3），B（－2,1,6），C（1，－1,5）．若|a|＝，且a分别与，垂直，则向量a为（ ）
A．（1,1,1）
B．（－1，－1，－1）
C．（1,1,1）或（－1，－1，－1）
D．（1，－1,1）或（－1,1，－1）
4．若a＝（2，－3,5），b＝（－3,1，－4），则|a－2b|＝________.
5．如图所示，
已知正四面体ABCD中，AE＝AB，CF＝CD，则直线DE和BF所成角的余弦值为________．
4.
解析 ∵a－2b＝（8，－5,13），
∴|a－2b|＝＝.
5.
解析 因四面体ABCD是正四面体，顶点A在底面BCD内的射影为△BCD的垂心，所以有BC⊥DA，AB⊥CD.设正四面体的棱长为4，
则·＝（＋）·（＋）
＝0＋·＋·＋0
＝4×1×cos120°＋1×4×cos120°＝－4，
BF＝DE＝＝，
所以异面直线DE与BF的夹角θ的余弦值为：
cosθ＝＝.
6.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
（1）；
（2）；
（3）＋.
解：
（1）∵P是C1D1的中点，
∴＝＋＋
＝a＋＋
＝a＋c＋
＝a＋c＋b.
（2）∵N是BC的中点，
∴＝＋＋＝－a＋b＋
＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.
（3）∵M是AA1的中点，
∴＝＋＝＋
＝－a＋＝a＋b＋c，
又＝＋＝＋
＝＋＝c＋a，
∴＋＝＋
＝a＋b＋c.
7.已知直三棱柱ABCA1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．
（1）求证：
DE∥平面ABC；
（2）求证：
B1F⊥平面AEF.
证明：
以A为原点，AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，令AB＝AA1＝4，则A（0,0,0），E（0,4,2），F（2,2,0），B1（4,0,4），D（2,0,2），A1（0,0,4），
（1）＝（－2,4,0），平面ABC的法向量为＝（0,0,4），
∵·＝0，DE⊄平面ABC，
∴DE∥平面ABC.
（2）＝（－2,2，－4），＝（2，－2，－2），
·＝（－2）×2＋2×（－2）＋（－4）×（－2）＝0，
∴⊥，B1F⊥EF，
·＝（－2）×2＋2×2＋（－4）×0＝0，
∴⊥，∴B1F⊥AF.
∵AF∩EF＝F，∴B1F⊥平面AEF.
8.如图所示，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证：
（1）CM∥平面PAD；
（2）平面PAB⊥平面PAD.
证明：
以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.
∵PC⊥平面ABCD，
∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，
∴∠PBC＝30°，
∵PC＝2，∴BC＝2，PB＝4，
∴D（0,1,0），B（2，0,0），A（2，4,0），P（0,0,2），M，
∴＝（0，－1,2），＝（2，3,0），
＝.
（1）设n＝（x，y，z）为平面PAD的一个法向量，
由即
令y＝2，得n＝（－，2,1）．
∵n·＝－×＋2×0＋1×＝0，
∴n⊥.又CM⊄平面PAD，
∴CM∥平面PAD.
（2）如图，取AP的中点E，连接BE，
则E（，2,1），＝（－，2,1）．
∵PB＝AB，∴BE⊥PA.
又∵·＝（－，2,1）·（2，3,0）＝0，
∴⊥.∴BE⊥DA.
又PA∩DA＝A，∴BE⊥平面PAD.
又∵BE⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD.
9.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点．
（1）求直线AD和直线B1C所成角的大小；
（2）求证：
平面EB1D⊥平面B1CD.
解：
不妨设正方体的棱长为2个单位长度，以DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
根据已知得：
D（0,0,0），A（2,0,0），B（2,2,0），C（0,2,0），B1（2,2,2）．
（1）∵＝（2,0,0），＝（2,0,2），∴cos〈，〉＝＝.
∴直线AD和直线B1C所成角为.
（2）证明：
取B1D的中点F，得F（1,1,1），连接EF.
∵E为AB的中点，∴E（2,1,0），
∴＝（－1,0,1），＝（0,2,0），
∴·＝0，·＝0，
∴EF⊥DC，EF⊥CB1.
∵DC∩CB1＝C，∴EF⊥平面B1CD.
又∵EF⊂平面EB1D，∴平面EB1D⊥平面B1CD.
10．如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD＝2BC，EA⊥EB.
（1）求证：
AB⊥DE；
（2）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；
（3）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？
若存在，求出；若不存在，请说明理由．
解：
（1）证明：
取AB的中点O，连接EO，DO.
因为EB＝EA，所以EO⊥AB.
因为四边形ABCD为直角梯形．
AB＝2CD＝2BC，AB⊥BC，
所以四边形OBCD为正方形，所以AB⊥OD.
因为EO∩DO＝O，
所以AB⊥平面EOD，所以AB⊥ED.
（2）因为平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，
所以EO⊥平面ABCD，所以EO⊥OD.
由OB，OD，OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
因为三角形EAB为等腰直角三角形，
所以OA＝OB＝OD＝OE，
设OB＝1，
所以O（0,0,0），A（－1,0,0），B（1,0,0），C（1,1,0），
D（0,1,0），E（0,0,1）．所以＝（1,1，－1），
平面ABE的一个法向量为＝（0,1,0）．
设直线EC与平面ABE所成的角为θ，
所以sinθ＝|cos〈，〉|＝＝，
即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为.
11.
（12分）如图，在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4，E是PD的中点．
（1）求证：
平面PDC⊥平面PAD；
（2）求点B到平面PCD的距离．
21.
（1）证明 如图，以A为原点，AD、AB、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则依题意可知A（0,0,0），B（0,2,0），
C（4,2,0），D（4,0,0），P（0,0,2）．
∴＝（4,0，－2），＝（0，－2,0），＝（0,0，－2）．
设平面PDC的一个法向量为n＝（x，y,1），
则⇒⇒
所以平面PCD的一个法向量为.
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，
又∵AB⊥AD，PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD.
∴平面PAD的法向量为＝（0,2,0）．
∵n·＝0，∴n⊥.
∴平面PDC⊥平面PAD.
（2）解 由
（1）知平面PCD的一个单位法向量为＝.
∴＝＝，
∴点B到平面PCD的距离为.
12．如图所示，在多面体ABCDA1B1C1D1中，上、下两个底面A1B1C1D1和ABCD互相平行，且都是正方形，DD1⊥底面ABCD，AB＝2A1B1＝2DD1＝2a.
（1）求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值；
（2）已知F是AD的中点，求证：
FB1⊥平面BCC1B1；
（3）在
（2）的条件下，求二面角FCC1B的余弦值．
解：
以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A（2a，0,0），B（2a,2a,0），C（0,2a,0），D1（0,0，a），F（a,0,0），B1（a，a，a），C1（0，a，a）．
（1）∵＝（－a，a，a），＝（0,0，a），
∴|cos〈，〉|＝＝，
∴异面直线AB1与DD1所成角的余弦值为.
（2）证明：
∵＝（－a，－a，a），＝（－2a,0,0），＝（0，a，a），
∴
∴FB1⊥BB1，FB1⊥BC.
∵BB1∩BC＝B，∴FB1⊥平面BCC1B1.
（3）由
（2）知，为平面BCC1B1的一个法向量．
设n＝（x1，y
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