天津滨海新区五所重点学校高三毕业班联考数学文.docx
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天津滨海新区五所重点学校高三毕业班联考数学文
天津滨海新区五所重点学校2013高三毕业班联考
数学（文）
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
考试结束后，将答题纸和答题卡一并交回.
第I卷（选择题，共40分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上。
一.选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）
1．已知是虚数单位，则复数
（）
2．已知x、y满足约束条件
则目标函数
的最大值为（）
0
3
4
6
3．阅读如图的程序框图，若运行相应的程序,则输出的
是（）
4．“
”是“函数
是奇函数”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.设
，
，
，则
的大小关系是（）
6．函数
为增函数的区间是（）
A.
B.
C.
D.
7．若抛物线
的准线与双曲线
的一条渐近线交点的纵坐标
为
，则这个双曲线的离心率为（）
8．已知函数
，若方程
在区间
内有
个不等实根，则实数
的取值范围是（）
A.
B.
C.
或
D.
或
第Ⅱ卷（非选择题，共110分）
注意事项：
1．第Ⅱ卷共3页，用蓝、黑色的钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上。
2．答卷前，请将密封线内的项目填写清楚。
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在试题的相应的横线上.
9．设全集
是实数集
，
，
，则图中阴影部分表示的集
合等于____________.（结果用区间形式作答）
10.如图，
是圆
的切线，切点为
，
，
是圆
的直径，
与圆
交于点
，
，则圆
的半径
等于________．
11.一个五面体的三视图如下，正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为．
12．已知
，
，且
，
，
成等比数列，则
的最小值是_______.
13．在矩形
中，
.若
分别在边
上运动（包括端点）,且满足
则
的取值范围是_________.
14．定义：
表示大于或等于
的最小整数（
是实数）．若函数
，则函数
的值域为____.
三.解答题：
本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.（本题满分13分）某市有
三所高校，其学生会学习部有“干事”人数分别为36，24，12，现采用分层抽样的方法从这些“干事”中抽取6名进行“大学生学习活动现状”的调查．
（Ⅰ）求应从
这三所高校中分别抽取的“干事”人数；
（Ⅱ）若从抽取的6名干事中随机再选2名，求选出的2名干事来自同一所高校的概率．
16．（本题满分13分）
中角
所对的边之长依次为
，且
，
（Ⅰ）求
和角
的值；
（Ⅱ）若
求
的面积．
17.（本题满分13分）在如图的多面体中，
⊥平面
，
，
，
，
是
的中点．
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正切值；
（Ⅲ）求证：
．
18．（本题满分13分）已知数列
的前
项和为
，且
，数列
满足
，且
.
（Ⅰ）求数列
、
的通项公式，并求数列
的前
项的和
；
（Ⅱ）设
，求数列
的前
项的和
．
19.（本题满分14分）已知函数
，
，
是实数.
（Ⅰ）若
在
处取得极大值，求
的值；
（Ⅱ）若
在区间
为增函数，求
的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，函数
有三个零点，求
的取值范围．
20.（本题满分14分）已知椭圆
的焦点是
其上的动点
满足
.点
为坐标原点，椭圆
的下顶点为
.
（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；
（Ⅱ）设直线
与椭圆
的交于
，
两点，求过
三点的圆的方程；
（Ⅲ）设过点
且斜率为
的直线
交椭圆
于
两点，
试证明：
无论
取何值时，
恒为定值.
参考答案
一、选择题
1.A2.C3.D4.A5.B6.C7.D8.D
二、填空题
9.
10.
11.
12.
13.
14.
三、解答题：
15．解：
（I）抽样比为
………………2分
故应从
这三所高校抽取的“干事”人数分别为3，2，1………………4分
（II）在抽取到的6名干事中，来自高校
的3名分别记为1、2、3；
来自高校
的2名分别记为a、b；来自高校
的1名记为c……………5分
则选出2名干事的所有可能结果为：
{1，2}，{1，3}，，{1，a}，{1，b}，{1，c}；{2，3}，{2，a}，
{2，b}，{2，c}；{3，a}，{3，b}，{3，c}；{a，b}，{a，c}；{b，c}，…8分
共15种………………9分
设A={所选2名干事来自同一高校}，
事件A的所有可能结果为{1，2}，{1，3}，{2，3}，{a，b}………………10分
共4种，………………11分
………………13分
16．解：
（
）由
，
，得
………………1分
由
得
，………………3分
，
，
，………………5分
∴
………………7分
∴
，………………8分
∴
，∴
．………………9分
（
）应用正弦定理
，得
，………………10分
由条件
得
………………12分
．………………13分
17．解：
（Ⅰ）证明：
∵
，
∴
．………………1分
又∵
是
的中点，
∴
，………………2分
∴四边形
是平行四边形，
∴
．………………3分
∵
平面
，
平面
，
∴
平面
．………4分
（Ⅱ）证明：
∵
平面
，
平面
，
∴
，……5分
又
，
平面
，
∴
平面
．…………6分
过
作
交
于
，连接
，则
平面
，
是
在平面
内的射影，
故
直线
与平面
所成的角.…………7分
∵
，∴四边形
平行四边形，∴
，
在
中，
，
在
中，
所以，直线
与平面
所成的角的正切值是
．……………9分
（Ⅲ）解法1
∵
平面
，
平面
，∴
．…………10分
，
∴四边形
为正方形，∴
，…………………11分
又
平面
，
平面
，
∴
⊥平面
．…………………12分
∵
平面
，
∴
．………………………13分
解法2
∵
平面
，
平面
，
平面
，∴
，
，
又
，∴
两两垂直．
以点E为坐标原点，
分别为
轴建立如图的空间直角坐标系．
由已知得
（2，0，0），
（2，4，0），
（0，2，2），
（2，2，0）．
∴
，
．
∴
．∴
．…………………13分
18．解：
（Ⅰ）当
，
；…………………………1分
当
时，
，∴
，……………2分
∴
是等比数列，公比为2，首项
，∴
………3分
由
，得
是等差数列，公差为2.……………………4分
又首项
，∴
………………………………5分
∴
∴
①
①×2得
②…6分
①—②得：
………7分
……8分
，……9分
………10分
（Ⅱ）
………11分
．………12分
………13分
19．（
）解：
……………1分
由
在
处取得极大值，得
，…………………2分
所以
（适合题意）.…………………3分
（
）
，因为
在区间
为增函数，所以
在区间
恒成立，…………………5分
所以
恒成立，即
恒成立．………………6分
由于
，得
．
的取值范围是
．…………………7分
（
）
，
故
，得
或
．……………8分
当
时，
，
在
上是增函数，显然不合题意．…………9分
当
时，
、
随
的变化情况如下表：
+
0
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
…………………11分
要使
有三个零点，故需
，…………………13分
解得
．所以
的取值范围是
．…………………14分
20．解：
（Ⅰ）∵
，
……1分,
∴
…………3分
∴椭圆
的标准方程为
.…………………4分
（Ⅱ）联立方程得
消
得
，解得
……………6分
设所求圆的方程为：
依题有
………………8分
解得
所以所求圆的方程为：
.………9分
（Ⅲ）证明：
设
，联立方程组
消
得
---------------10分
在椭圆
内，
恒成立。
设
，
则
，-----------11分
，
---------12分
-------------13分
为定值---------14分
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