ìî
1üý2þ
C．AICRB=íx|x<
ìî
1üý2þ
D．（CRA）UB=R
3.f（x）是R上奇函数，对任意实数x都有f（x）=-f（x-），当xÎ（,）时，32
1322
f（x）=log2（2x-1），则f
（2018）+f
（2019）=（A．0B．1C．-1）D．2
2
4.在区间[0,1]上随机取两个数a，b，则函数f（x）=x+ax+
A．
112
B．
23
C．
16
1b有零点的概率是（41D．3）
5.下列说法中正确的是（）
2①“"x>0，都有x-x+1³0”的否定是“$x0£0，使x02-x0+1<0”.
②已知{an}是等比数列，Sn是其前n项和，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也成等比数列.③“事件A与事件B对立”是“事件A与事件B互斥”的充分不必要条件.④已知变量x，y的回归方程是$y=200-10x，则变量x，y具有负线性相关关系.A．①④B．②③C．②④）D．③④
A．20，5
B．20，4
C．16，5
D．16，4
7.古代数学著作《九章算术》有如下问题：
“今有蒲生一日，长三尺；莞生一日，长一尺。
蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长等？
”.意思是：
“今有蒲草第一天，长为3尺；莞生长第一天，长为1尺.以后蒲的生长长度逐天减半，莞的生长长度逐天加倍.问几天后蒲的长度与莞的长度相等？
”以下给出了问题的4个解，其精确度最高的是（结果保留一位小数，参考数据：
lg2»
0.30，lg3»
0.48）
（A．
1.3日B．
1.5日）C．
2.6日D．
3.0日
222
8.在DABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b=ac，a+bc=c+ac，则
c的值为（bsinB12）
A．
B．
32
C．2
D．
233
9.某几何体的三视图如图所示，其中正视图由矩形和等腰直角三角形组成，侧视图由半圆和等腰直角三角形组成，俯视图的实线部分为正方形，则该几何体的表面积为（）
A．3p+42
B．4（p+2+1）
C．4（p+2）
D．4（p+1）5
10.（x+）
（2x-）的展开式中各项系数之和为2，则该展开式中常数项为（1x
ax）
A．-40
B．-20
C．20
D．40
11.若函数f（x）的导函数f'
（x）=Acos（wx+j）（A>0,w>0,j<如图所示，g（x）=f（x-
p
2），f'
（x）的部分图象）
éppù），当x1,x2Îê-,ú时，则g（x1）-g（x2）的最大值为（12ë123û
p
A．
3+12
B．3+1
C．
32
D．3
12.已知函数f（x）=
12ax-（x-1）ex（aÎR），若对任意实数x1,x2,x3Î[0,1]，都有2）D．[1,4]
f（x1）+f（x2）³f（x3），则实数a的取值范围是（A．[1,2]B．[e,4）
C．[1,2）U[e,4]
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知a=（2,0），b=（1,2），实数l满足a-lb=5，则l=
r
r
r
r
．
ìïx³1ïy-1
14.实数
x、y满足íx+y£3，则的取值范围是x+1ï1ïy³x-1î2
．
24
E、F分别为棱BB1、D1C1的
15.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1底面边长为，侧棱长为，中点，则四面体FECC1的外接球的表面积为．
16.已知双曲线C1，C2的焦点分别在x轴，y轴上，渐近线方程为y=±
1x，离心率分别为a
e1，e2.则e1+e2的最小值为
．
三、解答题：
共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第
22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：
共60分
17.等差数列{an}的首项a1ÎN*，公差dÎç-,-÷，前n项和Sn满足S5=S12.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=
æ1è3
1ö5ø
ì1ü9-an，数列íý的前n项和为Tn，求证Tn<12.4îbnbn+2þ
18.习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民对美好生活的向往作为奋斗目标.在这一号召的引领下，全国人民积极工作，健康生活.当前，“日行万步”正成为健康生活的代名词.某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动.界定日行步数不足4千步的人为“不健康生活方式者”，不少于10千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般生活方式者”.某日，学校工会随机抽取了该校400名教职工，统计他们的日行步数，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示：
（1）求400名教职工日行步数（千步）的样本平均数（结果四舍五入保留整数）；
（2）由直方图可以认为该校教职工的日行步数x（千步）服从正态分布N（m,s），其中m为
2
样本平均数，标准差s的近似值为
2.5，求该校被抽取的400名教职工中日行步数（千步）；xÎ（2,4,5）的人数（结果四舍五入保留整数）
（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该校教职工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：
“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人0元；
“一般生活方式者”奖励金额每人100元；
“超健康生活方式者”奖励金额每人200元.求工会慰问奖励金额X的分布列和数学期望.附：
若随机变量x服从正态分布N（m,s2），则P（m-s 0.6826，P（m-2s 0.9544.
19.如图，在以
A、B、C、D、E、F为顶点的五面体中，平面CDEF^平面ABCD，FC=FB，四边形ABCD为平行四边形，且ÐBCD=45o.
（1）求证：
CD^BF；
o
（2）若AB=2EF=2，BC=2，直线BF与平面ABCD所成角为45，求平面ADE与
平面BCF所成锐二面角的余弦值.
20.线段AB为圆M：
x2+y2+2x-10y+6=0的一条直径，其端点A，B在抛物线C：
x2=2py（p>0）上，且A，B两点到抛物线C焦点的距离之和为
（1）求直径AB所在的直线方程；
21.2
（2）过M点的直线l交抛物线C于P，Q两点，抛物线C在P，Q处的切线相交于N点，求DPQN面积的最小值.
21.已知函数f（x）=ax-x-ln（ax）（a¹0,aÎR）.
2
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）讨论函数f（x）零点的个数.
（二）选考题：
共10分.请考生在
22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.
[选修4-4：
坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程是í
ìx=cosj（j为参数，0£j£p），在îy=2sinj以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程是r=4，等边DABC的顶点都在C2上，且点A，B，C依逆时针次序排列，点A的极坐标为（4,
（1）求点A，B，C的直角坐标；
（2）设P为C1上任意一点，求点P到直线BC距离的取值范围.
23.
[选修4-5：
不等式选讲]已知函数f（x）=x+2+2x+a，aÎR.
（1）当a=1，解不等式f（x）³2；
（2）求证：
f（x）³a-2-
p
6）.
1
a.2
2018年安徽省“江南十校”综合素质检测数学（理科）解析及评分标准
一、选择题1-
5:
CBADD
二、填空题
13.l=1或l=-
三、解答题
17.解：
（1）∵S5=S12，∴5a1+10d=12a1+66d，得a1=-8d，6-
10:
ACDAD
11、12：
CD
15
14.ê-,úë42û
é31ù
15.17p
16.22
1188 ∵-
（2）∵bn=
9n11116-an，∴bn=-，∴=8（-），=44nn+2bnbn+2n（n+2）
Tn=
111++×××+b1b3b2b4bnbn+2
11111111111=8（1-+-+-+-+×××-+-）3243546n-1n+1nn+2111=8（1+--）<12.2n+1n+2
18.解：
（1）
x=
0.04´1+
0.08´3+
0.16´5+
0.44´7+
0.16´9+
0.1´11+
0.02´13=
6.96»7.
（2）∵x:
N（7,2,5），∴P（
4.5 9.5）=
0.6826，P（2 0.9544，∴P（2 4.5）=
1（P（2 4.5 9.5））=
0.1359.2
走路步数xÎ（2,4,5）的总人数为400´
0.1359»54人.
（3）由题意知X的可能取值为400，300，200，100，0，21P（X=400）=C2´
0.122=
0.0144，P（X=300）=C2´
0.12´
0.76=
0.1824，12P（X=200）=C2´
0.12´
0.12+C2´
0.762=
0.6064，1P（X=100）=C2´
0.12´
0.76=
0.1824，P（X=0）=
0.122=
0.0144.
则X的分布列为：
X
P
0
100
200
300
400
0.0144
0.1824
0.6064
0.1824
0.0144
EX=400´
0.0144+300´
0.1824+200´
0.6064+100´
0.1824+0´
0.0144=200.
19.解：
（1）过F作FO^CD交CD于O，连接BO，由平面CDEF^平面ABCD，得FO平面ABCD，因此FO^OB.∴FB=FC，FO=FO，ÐFOC=ÐFOB=90o，∴DFOC@DFOB，∴OB=OC，由已知ÐDCB=45得DBOC为等腰直角三角形，因此OB^CD，又CD^FO，o
∴CD^平面FOB，∴CD^FB.
（2）∵AB//CD，ABË平面CDEF，CDÌ平面CDEF，∴AB//平面CDEF，∵平面ABEFI平面CDEF=EF，∴AB//EF，由
（1）可得OB，OC，OF两两垂直，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
o由题设可得ÐFBO=45，进而可得A，，，O-xyz，（1,-2,0）B（1,0,0）C（0,1,0）D（0,-1,0），E（0,-1,1），F（0,0,1），uruuururìì-x1+y1=0ïm×AD=0设平面ADE的法向量为m=（x1,y1,z1），则íuruuur，即í，ïîz1=0îm×DE=0ur可取m=（1,1,0），ruuurrìn×BC=0ì-x2+y2=0ï设平面BCF的法向量为n=（x2,y2,z2），则íruuu，即í，r-y+z=0n×CF=0ïî22î可取n=（1,1,1），r
urrurrm×n26则cos=urr=，=32×3m×n
∴二面角的余弦值为
6.3
20.解：
（1）设A（x1,y1），B（x2,y2），抛物线C的焦点为F，则AF+BF=y1+y2+p，又y1+y2=10，故10+p=于是C的方程为x2=y.
2ìy-y2ïx1=y1，则1=x1+x2=-2，í2x1-x2ïîx2=y2
211，∴p=，22
∴AB的直线方程为2x+y-3=0.
（2）不妨记P（x1,y1），Q（x2,y2），N（x0,y0），直线l的方程为y=k（x+1）+5，联立í
ìx2=yîy=k（x+1）+5
2得x-kx-k-5=0，则í
ìx1+x2=k22，PQ=1+k×k+4k+20，îx1×x2=-k-5
又因为y0-y1=2x1（x0-x1），则x12-2x0x1+y0=0，同理可得：
x22-2x0x2+y0=0，故x1，x2为一元二次方程x2-2x0x+y0=0的两根，∴í
ì2x0=x1+x2，îy0=-k-5
k2+2k+1021+k2
k2+4k+2021+k2
点N到直线PQ的距离d=
=，SDNPQ=
33111PQ×d=（k2+4k+20）2=[（k+2）2+16]2，244
∴k=-2时，DNPQ的面积S取得最值16.21.解：
（1）当a>0时，f（x）的定义域为（0,+¥），f'
（x）=2ax-1-
12ax2-x-1=，令2ax2-x-1=0得：
xx
x1=
1-1+8a1+1+8a<0，x2=>0，4a4a
∴f（x）的单调递增区间为（x2,+¥）.当a<0时，f（x）的定义域为（-¥,0），f'
（x）=2ax-1-
12ax2-x-1=，xx
当D=1+8a£0即a£-时，f（x）的单调增区间为（-¥,0），当D>0，即-
18
12a （x）=（x-x1）（x-x2）
（x2 f（x）的单调递增区间为（-¥,x2）和（x1,0）.
（2）由
（1）知当a£-时，f（x）在（-¥,0）内单调递增，f（）=0，故f（x）只有一个零点x=当-
18
1a
1，a
1f（）=0，知x1<-1，而 由a=
f（x1）=ax12-x1-ln（ax1）=
∵x1<-1，∴
1-x12x+ln
（1），2x1+1
2x1x-1-1=1>0，∴f（x1）>0，x1+1x1+1
1，a
∴当a<0时，函数f（x）只有一个零点x=当a>0时，令g（a）=f
（1）=a-1-lna，g'
（a）=
a-1，g（a）在（0,1）单调递减，在（1,+¥）单调递增，a，g（a）min=g
（1）=0，∴g（a）=f
（1）³0（当且仅当a=1时，等号成立）i）a>1时，1>
18a+1+11>，f（）=0，f
（1）>0，a4aa
由
（1）函数单调性知，f（8a+1+18a+1+1）<0，所以函数在（,1）存在零点，4a4a
∴f（x）在（0,+¥）有两个零点.ii）0 18a+1+11<，f（）=0，f
（1）>0，a4aa
同理可得函数在（1,8a+1+1）存在零点，4a
∴f（x）在（0,+¥）有两个零点.iii）a=1时，1f（）=f
（1）=0，函数在（0,+¥）有一个零点.a
综上所述：
当a<0或a=1时，函数有一个零点，当a>0且a¹1时，函数有两个零点.
22.解：
（1）由x=rcosq，y=rsinq可得点A的直角坐标A（23,2），由已知，B点的极坐标为（4,C点的极坐标为（4,3p），同理可得C两点的直角坐标为C（0,-4）.2
5p），可得B两点的直角坐标为B（-23,2），6
（2）BC直线的方程为3x+y+4=0，设点P（cosj,2sinj）（0£j£p），则点P到直线BC距离
d=
3cosj+2sinj+42
=
7sin（j+q）+42
（其中cosq=
23，sinq=），77
因为0£j£p，所以q£j+q£p+q，所以-
3£sin（j+q）£1，7
所以dÎ[4-34+7,].2
223.解：
（1）当a=1，f（x）=x+2+2x+1³2
1ì1ììx£-2ï-2 Ûx£-2或-2 1Ûx£-1或x³-，3
所以不等式的解集为{x|x£-1或x³-}.
（2）
13
13
f（x）=x+2+2x+a=x+2+|x+|+|x+|³|2-|+|x+
a2
a2
a2
aaa|³|2-|=|-2|222
111=|（a-2）-a|³|a-2|-|a|=|a-2|-|a|.222
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