第三章概率.docx
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第三章概率
第三章概率
本章包括3节,教学约需8课时,课时分配如下（仅供参考）：
3.1
随机事件的概率
约3课时
3.2
古典概型
约2课时
3.3
几何概型
约2课时
本章复习
约1课时
3.1随机事件的概率
3.1.1随机事件的概率
提出问题
（1）什么是必然事件？
请举例说明.
（2）什么是不可能事件？
请举例说明.
（3）什么是确定事件？
请举例说明.
（4）什么是随机事件？
请举例说明.
（5）什么是事件A的频数与频率？
什么是事件A的概率？
（6）频率与概率的区别与联系有哪些?
讨论结果：
（1）必然事件:
在条件S下,一定会发生的事件,叫相对于条件S的必然事件（certainevent）,简称必然事件.
（2）不可能事件：
在条件S下,一定不会发生的事件,叫相对于条件S的不可能事件（impossibleevent）,简称不可能事件.
（3）确定事件：
必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件.
（4）随机事件：
在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件S的随机事件（randomevent）,简称随机事件；确定事件和随机事件统称为事件,用A,B,C,…表示.
（5）频数与频率：
在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数na为事件A出现的频数（frequency）；称事件A出现的比例fn（A）=
为事件A出现的频率（relativefrequency）;对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率fn（A）稳定在某个常数上,把这个常数记作P（A）,称为事件A的概率（probability）.
（6）频率与概率的区别与联系：
随机事件的频率,指此事件发生的次数na与试验总次数n的比值
它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小.我们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率.
频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率.在实际问题中,通常事件的概率未知,常用频率作为它的估计值.
频率本身是随机的,在试验前不能确定.做同样次数的重复实验得到事件的频率会不同.
概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次试验无关.比如,一个硬币是质地均匀的,则掷硬币出现正面朝上的概率就是0.5,与做多少次实验无关.
例1．判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件.
（1）“抛一石块,下落”.
（2）“在标准大气压下且温度低于0℃时,冰融化”；（3）“某人射击一次,中靶”；（4）“如果a＞b,那么a-b＞0”;（5）“掷一枚硬币,出现正面”；（6）“导体通电后,发热”；（7）“从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签”；（8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；（9）“没有水分,种子能发芽”；（10）“在常温下,焊锡熔化”.
分析：
学生针对有关概念,思考讨论,教师及时指点,为后续学习打下基础.根据自然界的规律和日常生活的经验积累,根据定义,可判断事件
（1）（4）（6）是必然事件；事件
（2）（9）（10）是不可能事件；事件（3）（5）（7）（8）是随机事件.
答案：
事件
（1）（4）（6）是必然事件；事件
（2）（9）（10）是不可能事件；事件（3）（5）（7）（8）是随机事件.
点评：
紧扣各类事件的定义,结合实际来判断.
例2．某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
（1）填写表中击中靶心的频率；
（2）这个射手射击一次,击中靶心的概率约是多少？
分析：
学生回顾所学概念,教师引导学生思考问题的思路,指出事件A出现的频数na与试验次数n的比值即为事件A的频率,当事件A发生的频率fn（A）稳定在某个常数上时,这个常数即为事件A的概率.
解：
（1）表中依次填入的数据为：
0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.
（2）由于频率稳定在常数0.89,所以这个射手击一次,击中靶心的概率约是0.89.
点评：
概率实际上是频率的科学抽象,求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之.
例3.某篮球运动员,在同一条件下进行投篮练习,结果如下表所示.
投篮次数
48
60
75
100
100
50
100
进球次数m
36
48
60
83
80
40
76
进球频率
（1）计算表中进球的频率；
（2）这位运动员投篮一次,进球的概率约为多少？
解：
（1）填入表中的数据依次为0.75,0.8,0.8,0.83,0.8,0.8,0.76.
（2）由于上述频率接近0.80,因此,进球的概率约为0.80.
例4.做掷一枚骰子的试验,观察试验结果.
（1）试验可能出现的结果有几种？
分别把它们写出；
（2）做60次试验,每种结果出现的频数、频率各是多少？
分析：
学生先思考或讨论,教师提示学生注意结果的可能情况,因为每一枚骰子有六个面,每个面上的点数分别是1,2,3,4,5,6,所以应出现六种结果,试验结果可列表求之.
解：
（1）试验可能出现的结果有六种,分别是出现1点、2点、3点、4点、5点、6点.
（2）根据实验结果列表后求出频数、频率,表略.
例5.某人进行打靶练习,共射击10次,其中有2次中10环,有3次中9环,有4次中8环,有1次未中靶,试计算此人中靶的概率,假设此人射击1次,试问中靶的概率约为多大？
中10环的概率约为多大？
分析：
学生先思考或讨论,教师提示学生注意结果的可能情况,中靶的频数为9,试验次数为10,所以中靶的频率为
=0.9,所以中靶的概率约为0.9.
解：
此人中靶的概率约为0.9；此人射击1次,中靶的概率为0.9；中10环的概率约为0.2..
例6.下列说法正确的是（）
A.任一事件的概率总在（0,1）内B.不可能事件的概率不一定为0
C.必然事件的概率一定为1D.以上均不对答案：
C
提示：
任一事件的概率总在［0,1］内,不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1.
课堂小结
本节研究的是那些在相同条件下,可以进行大量重复试验的随机事件,它们都具有频率稳定性,即随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复试验后,随着试验次数的增加,事件A发生的频率逐渐稳定在区间［0,1］内的某个常数上（即事件A的概率）,这个常数越接近于1,事件A发生的概率就越大,也就是事件A发生的可能性就越大.反之,概率越接近于0,事件A发生的可能性就越小.因此说,概率就是用来度量某事件发生的可能性大小的量.
3.1.2概率的意义
提出问题
（1）有人说,既然抛掷一枚硬币出现正面向上的概率为0.5,那么连续抛掷一枚硬币两次,一定是一次正面朝上,一次反面朝上,你认为这种想法正确吗？
（2）如果某种彩票中奖的概率为
那么买1000张彩票一定能中奖吗？
（3）在乒乓球比赛中,裁判员有时也用数名运动员伸出手指数的和的单数与双数来决定谁先发球,其具体规则是：
让两名运动员背对背站立,规定一名运动员得单数胜,另一名运动员得双数胜,然后裁判员让两名运动员同时伸出一只手的手指,两个人的手指数的和为单数,则指定单数的运动员得到先发球权,若两个人的手指数的和为双数,则指定双数胜的运动员得到先发球权,你认为这个规则公平吗？
（4）“天气预报说昨天降水概率为90%,结果根本一点雨都没下,天气预报也太不准确了.”学了概率后,你能给出解释吗？
（5）阅读课本的内容了解孟德尔与遗传学.
（6）如果连续10次掷一枚骰子,结果都是出现1点.你认为这枚骰子的质地均匀吗?
为什么?
讨论结果：
（1）这种想法显然是错误的,通过具体的试验可以发现有三种可能的结果：
“两次正面朝上”“两次反面朝上”“一次正面朝上,一次反面朝上”,而且其概率分别为0.25,0.25,0.5.
（2）不一定能中奖,因为买1000张彩票相当于做1000次试验,因为每次试验的结果都是随机的,即每张彩票可能中奖也可能不中奖,因此,1000张彩票中可能没有一张中奖,也可能有一张、两张乃至多张中奖.
（3）规则是公平的.
（4）天气预报的“降水”是一个随机事件,因此,“昨天没有下雨”并不说明“昨天的降水概率为90%”的天气预报是错误的.
（5）奥地利遗传学家（G.Mendel,1822—1884）用豌豆进行杂交试验,下表为试验结果（其中F1为第一子代,F2为第二子代）：
性状
F1的表现
F2的表现
种子的形状
全部圆粒
圆粒5474
皱粒1850
圆粒∶皱粒≈2.96∶1
茎的高度
全部高茎
高茎787
矮茎277
高茎∶矮茎≈2.84∶1
子叶的颜色
全部黄色
黄色6022
绿色2001
黄色∶绿色≈3.01∶1
豆荚的形状
全部饱满
饱满882
不饱满299
饱满∶不饱满≈2.95∶1
孟德尔发现第一子代对于一种性状为必然事件,其可能性为100%,另一种性状的可能性为0,而第二子代对于前一种性状的可能性约为75%,后一种性状的可能性约为25%,通过进一步研究,他发现了生物遗传的基本规律.实际上,孟德尔是从某种性状发生的频率作出估计的.
（6）利用刚学过的概率知识我们可以进行推断,如果它是均匀的,通过试验和观察,可以发现出现各个面的可能性都应该是
从而连续10次出现1点的概率为（
）10≈0.0000000016538,这在一次试验（即连续10次投掷一枚骰子）中是几乎不可能发生的.而当骰子不均匀时,特别是当6点的那面比较重时（例如灌了铅或水银）,会使出现1点的概率最大,更有可能连续10次出现1点.
现在我们面临两种可能的决策:
一种是这枚骰子的质地均匀,另一种是这枚骰子的质地不均匀.当连续10次投掷这枚骰子,结果都是出现1点,这时我们更愿意接受第二种情况:
这枚骰子靠近6点的那面比较重.原因是在第二种假设下,更有可能出现10个1点.
如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务,那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则,例如对上述思考题所作的推断.这种判断问题的方法称为极大似然法.极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一.
如果我们的判断结论能够使得样本出现的可能性最大,那么判断正确的可能性也最大.这种判断问题的方法称为似然法.似然法是统计中重要的统计思想方法之一.
思路1
例7.为了估计水库中的鱼的尾数,可以使用以下的方法,先从水库中捕出一定数量的鱼,例如2000尾,给每尾鱼作上记号,不影响其存活,然后放回水库.经过适当的时间,让其和水库中其余的鱼充分混合,再从水库中捕出一定数量的鱼,例如500尾,查看其中有记号的鱼,设有40尾.试根据上述数据,估计水库内鱼的尾数.
分析：
学生先思考,然后交流讨论,教师指导,这实际上是概率问题,即2000尾鱼在水库中占所有鱼的百分比,特别是500尾中带记号的有40尾,就说明捕出一定数量的鱼中带记号的概率为
问题可解.
解：
设水库中鱼的尾数为n,A={带有记号的鱼},则有P（A）=
.①因P（A）≈
，②由①②得
解得n≈25000.所以估计水库中约有鱼25000尾.
例8.某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化,10000个鱼卵能孵出8513尾鱼苗,根据概率的统计定义解答下列问题：
（1）求这种鱼卵的孵化概率（孵化率）；
（2）30000个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗？
（3）要孵化5000尾鱼苗,大概得准备多少鱼卵？
（精确到百位）
解：
（1）这种鱼卵的孵化频率为
=0.8513,它近似的为孵化的概率.
（2）设能孵化x个,则
∴x=25539,即30000个鱼卵大约能孵化25539尾鱼苗.
（3）设需备y个鱼卵,则
，∴y≈5873,即大概得准备5873个鱼卵.
例9.有人告诉你,放学后送你回家的概率如下:
（1）50%;
（2）2%;（3）90%.
试将以上数据分别与下面的文字描述相配.
①很可能送你回家,但不一定送.
②送与不送的可能性一样多.
③送你回家的可能性极小.
答案：
50%→②；2%→③；90%→①.
3.1.3概率的基本性质
提出问题
在掷骰子试验中,可以定义许多事件如：
C1={出现1点},C2={出现2点},C3={出现3点},C4={出现4点},C5={出现5点},C6={出现6点},D1={出现的点数不大于1},D2={出现的点数大于3},D3={出现的点数小于5},E={出现的点数小于7},F={出现的点数大于6},G={出现的点数为偶数},H={出现的点数为奇数},……
类比集合与集合的关系、运算说明这些事件的关系和运算,并定义一些新的事件.
（1）如果事件C1发生,则一定发生的事件有哪些？
反之,成立吗？
（2）如果事件C2发生或C4发生或C6发生,就意味着哪个事件发生？
（3）如果事件D2与事件H同时发生,就意味着哪个事件发生？
（4）事件D3与事件F能同时发生吗？
（5）事件G与事件H能同时发生吗？
它们两个事件有什么关系？
讨论结果：
（1）如果事件C1发生,则一定发生的事件有D1,E,D3,H,反之,如果事件D1,E,D3,H分别成立,能推出事件C1发生的只有D1.
（2）如果事件C2发生或C4发生或C6发生,就意味着事件G发生.
（3）如果事件D2与事件H同时发生,就意味着C5事件发生.
（4）事件D3与事件F不能同时发生.
（5）事件G与事件H不能同时发生,但必有一个发生.
由此我们得到事件A,B的关系和运算如下:
①如果事件A发生,则事件B一定发生,这时我们说事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）,记为B
A（或A
B）,不可能事件记为
任何事件都包含不可能事件.
②如果事件A发生,则事件B一定发生,反之也成立,（若B
A同时A
B）,我们说这两个事件相等,即A=B.如C1=D1.
③如果某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为事件A与B的并事件（或和事件）,记为A∪B或A+B.
④如果某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与B的交事件（或积事件）,记为A∩B或AB.
⑤如果A∩B为不可能事件（A∩B=
）,那么称事件A与事件B互斥,即事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生.
⑥如果A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件,即事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生.
继续依次提出以下问题:
（1）概率的取值范围是多少?
（2）必然事件的概率是多少?
（3）不可能事件的概率是多少?
（4）互斥事件的概率应怎样计算?
（5）对立事件的概率应怎样计算?
.
讨论结果：
（1）概率的取值范围是0—1之间,即0≤P（A）≤1.
（2）必然事件的概率是1.如在掷骰子试验中,E={出现的点数小于7},因此P（E）=1.
（3）不可能事件的概率是0,如在掷骰子试验中,F={出现的点数大于6},因此P（F）=0.
（4）当事件A与事件B互斥时,A∪B发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和,互斥事件的概率等于互斥事件分别发生的概率之和,即P（A∪B）=P（A）+P（B）,这就是概率的加法公式.也称互斥事件的概率的加法公式.
（5）事件A与事件B互为对立事件,A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,P（A∪B）=1.所以1=P（A）+P（B）,P（B）=1-P（A）,P（A）=1-P（B）.如在掷骰子试验中,事件G={出现的点数为偶数}与H={出现的点数为奇数}互为对立事件,因此P（G）=1-P（H）.
上述这些都是概率的性质,利用这些性质可以简化概率的计算,下面我们看它的应用.
例10.一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?
哪些是对立事件?
事件A：
命中环数大于7环；事件B：
命中环数为10环；
事件C：
命中环数小于6环；事件D：
命中环数为6、7、8、9、10环.
活动：
教师指导学生,要判断所给事件是对立还是互斥,首先将两个概念的联系与区别弄清楚,互斥事件是指不可能同时发生的两事件,而对立事件是建立在互斥事件的基础上,两个事件中一个不发生,另一个必发生.
解：
A与C互斥（不可能同时发生）,B与C互斥,C与D互斥,C与D是对立事件（至少一个发生）.
点评：
判断互斥事件和对立事件,要紧扣定义,搞清互斥事件和对立事件的关系,互斥事件是对立事件的前提.
例11.从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件,观察正品件数与次品件数,判断下列每件事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.
（1）恰好有1件次品恰好有2件次品；
（2）至少有1件次品和全是次品；（3）至少有1件正品和至少有1件次品；（4）至少有1件次品和全是正品.
解：
依据互斥事件的定义,即事件A与事件B在一定试验中不会同时发生知：
（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生,因此它们是互斥事件,又因为它们并不是必然事件,所以它们不是对立事件.同理可以判断：
（2）中的2个事件不是互斥事件,也不是对立事件.（3）中的2个事件既不是互斥事件也不是对立事件.（4）中的2个事件既互斥又对立.
例12.如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心（事件A）的概率是
取到方块（事件B）的概率是
问：
（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？
（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？
活动：
学生先思考或交流,教师及时指导提示,事件C是事件A与事件B的并,且A与B互斥,因此可用互斥事件的概率和公式求解,事件C与事件D是对立事件,因此P（D）=1-P（C）.
解：
（1）因为C=A∪B,且A与B不会同时发生,所以事件A与事件B互斥,根据概率的加法公式得P（C）=P（A）+P（B）=
.
（2）事件C与事件D互斥,且C∪D为必然事件,因此事件C与事件D是对立事件,P（D）=1-P（C）=
.
例13.某射手在一次射击训练中,射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28,计算该射手在一次射击中：
（1）射中10环或9环的概率；
（2）少于7环的概率.
解：
（1）该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和,即为0.21+0.23=0.44.
（2）射中不少于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环的概率的和,即为0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,而射中少于7环的事件与射中不少于7环的事件为对立事件,所以射中少于7环的概率为1-0.97=0.03.
例14.抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A为“出现奇数点”,B为“出现偶数点”,已知P（A）=
P（B）=
求出“出现奇数点或偶数点”的概率？
解：
记“出现奇数点或偶数点”为事件C,则C=A∪B,因为A、B是互斥事件,所以P（C）=P（A）+P（B）=
+
=1.
出现奇数点或偶数点的概率为1.
例15.抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件A为出现奇数,事件B为出现2点,已知P（A）=
P（B）=
求出现奇数点或2点的概率之和.
解：
“出现奇数点”的概率是事件A,“出现2点”的概率是事件B,“出现奇数点或2点”的概率之和为P（C）=P（A）+P（B）=
+
=
.
例16.袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率为
得到黑球或黄球的概率是
得到黄球或绿球的概率也是
试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？
解：
从袋中任取一球,记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”为A、B、C、D,则有P（B∪C）=P（B）+P（C）=
；P（C∪D）=P（C）+P（D）=
；P（B∪C∪D）=1-P（A）=1
=
解得P（B）=
P（C）=
P（D）=
.即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是
、
、
.
例17.已知盒子中有散落的棋子15粒,其中6粒是黑子,9粒是白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率是
从中取出2粒都是白子的概率是
现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少？
解：
从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与2粒黑子的概率的和,即为
+
.
例18.下列说法中正确的是（）
A.事件A、B中至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大
B.事件A、B同时发生的概率一定比事件A、B恰有一个发生的概率小
C.互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件
D.互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件答案：
D
例19.从男女学生共有36名的班级中,任意选出2名委员,任何人都有同样的当选机会.如果选得同性委员的概率等于
求男女生相差几名?
解：
设男生有x名,则女生有36-x名.选得2名委员都是男性的概率为
.选得2名委员都是女性的概率为
.以上两种选法是互斥的,又选得同性委员的概率等于
得
+
=
.解得x=15或x=21.即男生有15名,女生有36-15=21名,或男生有21名,女生有36-21=15名.总之,男女生相差6名.
例20.黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：
血型
A
B
AB
O
该血型的人所占比/%
28
29
8
35
已知同种血型的人可以输血,O型血可以输给任一种血型的人,任何人的血都可以输给AB型血的人,其他不同血型的人不能互相输血.小明是B型血,若小明因病需要输血,问：
（1）任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少？
（2）任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少？
解：
（1）对任一人,其血型为A,B,AB,O型血的事件分别记为A′,B′,C′,D′,它们是互斥的.由已知,有P（A′）=0.28,P（B′）=0.29,P（C′）=0.08,P（D′）=0.35.
因为B,O型血可以输给B型血的人,故“可以输给B型血的人”为事件B′+D′.根据互斥事件的加法公式,有P（B′+D′）=P（B′）+P（D′）=0.29+0.35=0.64.
（2）由于A,AB型血不能输给B型血的人,故“不能输给B型血的人”为事件A′+C′,且P（A′+C′）=P（A′）+P（C′）=0.28+0.08=0.36.即任找一人,其血可以输给小明的概率为0.64,其血不能输给小明的概率为0.36.
例21.在一个盒子内放有10个大小相同的小球,其中有7个红球、2个绿球、1个黄球,从中任取一个球,求：
（1）得到红球的概率；
（2）得到绿球的概率；（3）得到红球或绿球的概率；（4）得到黄球的概率.
（5）“得到红球”和“得到绿球”这两个事件A、B之间有什么关系,可以同时发生吗？
（6）（3）中的事件D“得到红球或者绿球”与事件A、B有何联系？
答案：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）互斥事件不可以（6）P（D）=P（A）+P（B）
例22.在一只袋子中装有7个红玻璃球,3个绿玻璃球.从中无放回地任意抽取两次,每次只取一个.试求：
（1）取得两个红球的概率；
（2）取得两个绿球的概率；（3）取得两个同颜色的球的概率；（4）至少取得一个红球的概率.
答案：
（1）
（2）
（3）
（
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