天津市高三数学总复习之综合专题导函数理教师版.docx

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天津市高三数学总复习之综合专题导函数理教师版

导函数（理）

1、（单调区间、极值、最值问题）已知函数其中。

（1）当时，求曲线在点处的切线的斜率；

（2）当时，求函数的单调区间与极值。

解：

（1）当时，求曲线在点处的切线的斜率为；

（2）当时，在内是增函数，在内是减函数；

函数在处取得极大值；

函数在处取得极小值

当时，在内是增函数，在内是减函数；

函数在处取得极大值；

函数在处取得极小值。

2、（单调区间、极值、最值问题）设，函数，，，试讨论函数的单调性。

解：

对于，分段进行研究。

对于，对分类：

当时，，∴函数在上是增函数；

当时，，

令，得或（舍），

函数在上是减函数，在上是增函数；

对于，，对分类：

当时，，函数在上是减函数；

当时，由，解得；

函数在上是减函数，在上是增函数。

3、（单调区间、极值、最值问题）已知函数。

（1）求函数的单调区间；

（2）设，求函数在上的最小值。

解：

（1）定义域为，，令，则，

当变化时，，的变化情况如下表：

的单调增区间为；单调减区间为。

（2）由

（1）知在上单调递增，在上单调递减，所以，

当时，即时，在上单调递增，∴

当时，在上单调递减，∴

当时，即时，在上单调递增，在上单调递减，∴

下面比较的大小，∵

∴若，若，

综上，当时，；当时，。

4、（单调性问题）已知，函数，其中，为自然对数的底数。

（1）当时，求函数的单调递增区间；

（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；

（3）函数是否为上的单调函数？

若是，求出实数的取值范围；若不是，请说明理由。

解：

（1）当时，，

令，即，，解得。

函数的单调递增区间是。

（2）函数在上单调递增，对都成立，

，

对都成立。

对都成立，

即对都成立；

令，则，在上单调递增，，。

（3）若函数在上单调递减，则对都成立，即对都成立，对都成立，，即，这是不可能的，故函数不可能在上单调递减；

若函数在上单调递增，则对都成立，即对都成立，

对都成立，而，

故函数不可能在上单调递增。

综上可知函数不可能是上的单调函数。

5、（不等式成立问题）已知函数，，。

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若不等式对一切正整数恒成立，求实数的取值范围。

解：

（1），

由，得，

，，，

又，

∴函数的单调递增区间为，递减区间为。

（2）不等式，即为

令，当时，，则不等式即为；

令，，

在的表达式中，当时，，

又时，，∴在单调递增，在单调递减，

在时，取得最大，最大值为，

因此，对一切正整数，当时，取得最大值，

∴实数的取值范围是。

6、（不等式成立问题）已知函数。

（1）求函数的单调区间；

（2）若不等式恒成立，试确定实数的取值范围；

（3）证明：

①上恒成立；

②。

解：

（1）函数

当时，则上是增函数

当时，若时，有，

若时有，则上是增函数，在上是减函数；

（2）由

（1）知，时递增，而不成立，故，又由

（1）知，要使恒成立，则即可，由；

（3）由

（2）知，当时有恒成立，且上是减函数，，恒成立，即上恒成立；令，则，即，从而，

成立。

7、（不等式成立问题）已知函数，其中。

（1）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；

（2）讨论函数的单调性；

（3）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围。

解：

（1），

由导数的几何意义得，于是，

由切点在直线上可得，

解得，所以函数的解析式为。

（2），

当时，显然，这时在，内是增函数；

当时，令，解得；

当变化时，，的变化情况如下表：

所以在，内是增函数，在，内是减函数。

（3）解：

由

（2）知，在上的最大值为与中的较大者，

对于任意的，不等式在上恒成立，

当且仅当即

对任意的成立，从而得满足条件的的取值范围是。

8、（不等式成立问题）设函数，其中。

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）若函数仅在处有极值，求的取值范围；

（3）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围。

解：

（1）；

当时，。

令，解得，，。

当变化时，，的变化情况如下表：

所以在，内是增函数，在，内是减函数。

（2），显然不是方程的根；

为使仅在处有极值，必须恒成立，

即有；

解此不等式，得，这时，是唯一极值，因此满足条件的的取值范围是。

（3）由条件可知，从而恒成立。

当时，；当时，。

因此函数在上的最大值是与两者中的较大者。

为使对任意的，不等式在上恒成立，

当且仅当即在上恒成立；

所以，因此满足条件的的取值范围是。

9、（不等式证明问题）设，函数。

（1）令，讨论在内的单调性并求极值；

（2）求证：

当时，恒有。

解：

（1）根据求导法则有，

故，于是，列表如下：

故知在内是减函数，在内是增函数，

所以，在处取得极小值。

（2）证明：

由知，的极小值；

于是由上表知，对一切，恒有；

从而当时，恒有，故在内单调增加；

所以当时，，即；

故当时，恒有。

10、（不等式证明问题）已知函数。

（1）求在上的最小值；

（2）若存在（是常数，＝2.71828），使不等式成

立，求实数的取值范围；

（3）证明对一切都有成立。

解：

（1）

11、（不等式证明问题）已知函数。

（1）求函数的单调区间和极值；

（2）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明：

当时，；

（3）如果，且，证明。

解：

（1），令，则。

当变化时，的变化情况如下表，略

所以在区间内是增函数，在区间内是减函数；

函数在处取得极大值且。

（2）因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，

所以，于是。

记，则，，

当时，，从而，又，

所以，于是函数在区间上是增函数，

因为，所以，当时，，因此。

（3）若，由

（1）及，得，与矛盾；

若，由

（1）及，得，与矛盾；

则，不妨设。

由

（2）可知，所以。

因为，所以，又，由

（1），在区间内是增函数，

所以，即。

附：

解决不等式证明问题的思路：

通过构造函数，以导数为工具，证明不等式或比较大小。

证明不等式在区间上成立，等价于函数在区间上的最小值等于零；而证明不等式在区间上成立，等价于函数在区间上的最小值大于零，因此不等式的证明问题可以转化为用导数求函数的极值或最值问题。

12、（函数零点问题）设函数，其中。

（1）当时，求曲线在点处的切线的斜率；1

（2）求函数的单调区间与极值；

（3）已知函数有三个互不相同的零点，且，若对任意的恒成立，求的取值范围。

解：

（1）当时，，故。

所以，曲线在点处的切线的斜率为。

（2），令，解得。

因为，所以，。

当变化时，的变化情况如下表：

所以在区间，内是减函数，在内是增函数；

函数在处取得极小值；

函数在处取得极大值。

（3）由题设，，

所以，方程，有两个相异实根，故，

，由解得。

因为，所以，故。

如果，则，而，不合题意；

如果，对任意的，有，

则，又，

所以，在上的最小值为，于是对任意的，恒成立的充要条件是，即，解得。

注意到，于是的取值范围是。

13、（函数零点问题）已知函数，其中。

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，求的单调区间；

（3）证明：

对任意，在区间内均存在零点。

14、（函数零点问题）已知，函数。

（的图象连续不断）

（1）求的单调区间；

（2）当时，证明：

存在，使；

（3）若存在均属于区间的，且，使，

证明：

。

补充1：

关于函数图象的切线问题的处理方法。

《审题要津与解法研究》第410页题目12，第407页题目9。

补充2：

《审题要津与解法研究》经典例题解析。