姚松涛直线与平面垂直的判定.docx

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姚松涛直线与平面垂直的判定

《2.3.1直线与平面垂直的判定》教学设计

包头市第九中学姚松涛

一、教学内容解析

1.本节内容选自高中数学人教A版必修二第二章第三节：

2.3.1直线与平面垂直的判定（第一课时），属于新授概念性知识.

2.本节课教学内容的内涵是在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间直线与平面垂直的定义；通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理；能运用直线与平面垂直的定义和判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.教学重点是通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理的过程。

其核心是理解判断定理的条件。

由内容所反映的数学思想是转化与化归思想，体现在不同语言之间进行转化，把线面垂直问题转化为线线垂直问题。

3.本节课的内容包括直线与平面垂直的定义和判定定理两部分.直线与平面垂直的研究是直线与直线垂直研究的继续，也为平面与平面垂直的研究做了准备；线面垂直是在学生掌握了线在面内，线面平行之后紧接着研究的线面相交位置关系中的特例.在线面平行中，我们研究了定义、判定定理以及性质定理，为本节课提供了研究内容和研究方法上的示范.线面垂直是线线垂直的拓展，又是面面垂直的基础，后续内容如空间的角和距离等又都使用它来定义，在本章中起着承上启下的作用.判定定理的教学，尽管新课标在必修课程中不要求证明，但通过定理的探索过程，培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，是本节课的重要任务.

4.通过本节课的学习与研究，可进一步完善学生的知识结构，更好地培养学生观察发现、空间想象及推理能力，体会由特殊到一般、类比、归纳、猜想、化归等数学思想方法。

提升直观想象、数学抽象和逻辑推理素养。

因此学习这部分知识有着非常重要的意义.

2、教学目标设置

1.课标要求：

（1）借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面关系的定义。

（2）以立体几何的某些定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质和判定。

2.根据课标要求、教材内容和学生情况，确定本节课的学习目标如下。

（1）借助生活中直线与平面垂直的实例，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，能够抽象出直线与平面垂直的定义，提升数学抽象和直观想象素养；

（2）借助长方体和折叠三角形纸片，通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理，提升直观想象和逻辑推理素养；

（3）能运用直线与平面垂直的定义和判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，提升逻辑推理素养。

针对本节课的学习目标，我设计了如下的评价任务：

评价任务一：

能否从生活现象中直观感受到直线与平面垂直的形象，并由此抽象出直线与平面垂直的概念；

评价任务二：

学生积极参与，通过影子实验，在动手操作、思考、归纳等一系列活动中完成对定义的探索.

评价任务三：

能够从正反例中，通过对比归纳出直线与平面垂直的定义，并能用自己的语言描述定义内容.

评价任务四：

能够根据定义得到直线与平面垂直时，直线与平面内任意一条直线垂直的结论，并能用符号语言表征.

评价任务五：

能够利用将无限转化为有限的思想，寻找判定直线与平面垂直的可能性假设.

评价任务六：

能在实验操作中，确认直线与平面垂直的判定定理，能用自己的语言叙述出定理内容并用符号语言表征.

评价任务七：

能够用定义和判定定理解决空间位置关系的简单命题.

三、学生学情分析

1.学生已具备的认知基础：

所教学生是生源较好的包头市第九中学高一年级理科班的学生，在初中学习的内容中，学生已经掌握了平面内证明线线垂直的方法，在高中也已经学习了直线与平面平行的判定定理和性质定理，对空间概念建立了一定的基础，同时也有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的几何直观能力、推理论证能力。

2.学生面临的问题：

在利用直线与平面垂直的定义直接判定直线和平面垂直的过程中，需要考察平面内的每一条直线与已知直线是否垂直，这在实际运用时是有困难的，如何引出定理，理解“平面化”的思想和“降维”的思想，会给学生造成一定困难。

而且学生的能力发展正处于从形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维，这方面的不足也会对本节课的学习有一定的影响，分析以上因素，我确定本节课的教学难点为：

直线与平面垂直的定义的生成，操作确认直线与平面垂直的判定定理.

突破难点的策略是，在教学过程中我抓住学生好奇心强，学习积极性较高的特点，我让学生通过动手操作，观察、思考、归纳总结，发现直线与平面垂直时，直线与平面内的直线有怎样的位置关系；再通过操作，反向验证，当直线与平面内的直线具有上述位置关系时，能否得到直线与平面垂直，让学生在实验中自然生成直线与平面垂直的定义.

在探究直线与平面垂直的判定定理时，让学生从寻找合理假设出发，通过操作验证假设的正确性，从而获得直线与平面垂直的判定定理.由于学生对这种用“有限”代替“无限”的过程，在理解上可能会有思维障碍，所以强调关于定理的证明，会在后续学习中获得.

四、教学策略分析

1.教学材料的分析

在直线与平面垂直概念形成的过程中，构建“旗杆为什么与地面垂直？

”的问题情境，通过图片实例、动画展示，在师生互动中，让学生认识到“旗杆与地面内的所有直线都垂直”之后，得出直线与平面垂直的定义。

通过观察及小组讨论“为什么比萨斜塔看起来与地面不垂直？

”得出“只要地面内有一条直线与比萨斜塔所在直线不垂直，那么比萨斜塔所在直线与地面所在平面不垂直。

”这就从正反两方面说明了定义的合理性。

在探究判定定理的过程中，通过长方体模型和折叠三角形纸片，让学生通过具体操作进行验证。

2.教学方法的分析

采用“启发－探究”的教学方法，以及“直观感知-操作确认”的认识过程组织教学活动。

通过一系列的教学活动，引导学生进行主动的思考、探究、总结，帮助学生实现从具体到抽象、从特殊到一般的过度，从而完成定义的建构和定理的发现，并且在充分理解判定定理的基础上能对其进行简单应用，能解决简单的直线与平面垂直的证明问题。

3.通过问题引导学生数学思维活动的分析

设问1：

现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的形象，一条直线与一个平面垂直的确切意义到底是什么呢？

通过设问，让学生从实际背景出发，直观感知直线与平面垂直的位置关系。

设问2：

从直线与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？

通过设问引导学生用平面化的思想来思考问题。

设问3：

虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施，有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面的垂直呢？

通过操作确认引导学生发现直线和平面垂直的条件。

设问4：

根据上面的试验，结合两条相交直线确定一个平面的事实，你能给出直线与平面垂直的判定方法吗？

通过设问，引导学生根据直观感知以及已有经验，进行合情推理，获得判定定理。

4.分层教学过程体现

（1）观察部分学生能否根据老师引导，正确进行实验操作，并在观察、分析中达到预设目标，过程中给予恰当引导。

（2）听1-3名学生的描述，若不能准确表达出直线与平面垂直的定义，再让其他同学予以补充。

（3）让学生以小组为单位进行合作，以优带差，通过动手操作，观察、思考、归纳总结，发现直线与平面垂直时，直线与平面内的直线有怎样的位置关系。

5.学生学习反馈的分析

（1）观察学生摆出的线面关系是否正确，来判断学生是否积累大量生活中对直线与平面垂直的形象.

（2）观察学生的探究活动能否在老师指导中顺利展开，是否在活动中有思考，有获得.

（3）根据学生的回答判定学生是否准确掌握定义的内涵.

（4）根据学生对假设命题正确与否的解释，判断学生是否掌握探究问题的一般思路.

（5）观察学生的折纸结果是否满足要求，能否在分析折叠步骤中，体会出折痕的特点，自然发现直线与平面的判定方法.

（6）根据学生回答判断是否掌握直线与平面垂直的判定定理的使用.

（7）关注学生是否能用规范的数学语言、符号来表述解答过程；

（8）关注学生能否独立按时完成当天作业,评价作业的正确率.

五、教学过程

1.直线与平面垂直定义的生成

（1）通过创设情境，对线面垂直的概念建立初步的认识和感知

 ①观看天安门广场五星红旗及其它相关图片

②观察实例：

学生将书打开直立于桌面，观察书脊与桌面的位置关系。

③提出思考问题：

如何定义一条直线与一个平面垂直？

（2）观察归纳概念　　

  ①学生画图：

观察旗杆与地面的位置关系，并画出相应的几何图形。

  ②提出问题：

能否用一条直线垂直于一个平面内的直线，来定义这条直线与这个平面垂直呢？

（学生讨论并交流）　　

　③动画演示：

旗杆与它在地面上影子的位置变化，重点让学生体会直线与平面内不过垂足的直线也垂直。

④归纳直线与平面垂直的定义，并要求学生会用符号语言表示。

  直线和平面垂直的定义：

如果直线

与平面

内的任意一条直线都垂直，我们就说直线

与平面

互相垂直，记作

⊥

。

直线

叫做平面

的垂线，平面

叫做直线

的垂面。

直线与平面垂直时，它们唯一的公共点

叫做垂足。

（3）通过深入理解概念　　

如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线就与这个平面垂直。

说法是否正确？

（4）定义辨析：

当直线

与平面

垂直时，直线

与平面

内任意一条直线

是怎样的位置关系？

定义中体现了什么数学思想？

2.直线与平面垂直的判定定理的探究　　

（1）分析实例—猜想定理　　

问题①：

在长方体

中，棱

与底面

垂直，观察

与底面

内直线

有怎样的位置关系？

由此你认为保证

⊥底面

的条件是什么？

问题②：

你能猜想出一个判断一条直线与一个平面垂直的方法吗？

提出猜想:

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

（2）动手实验—确认定理　　

 折纸实验：

过

的顶点

翻折纸片，得到折痕

，再将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（

与桌面接触），进行观察并思考：

问题④：

折痕

与桌面垂直吗？

如何翻折才能使折痕

与桌面所在的平面垂直？

问题⑤：

由折痕

，翻折之后垂直关系发生变化吗？

（即

，

还成立吗？

）由此你能得到什么结论？

（学生折纸可能会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，引导这两类学生进行交流，分析“不垂直”的原因，从而发现垂直的条件是折痕

是

边上的高，进而引导学生观察动态演示模拟试验，根据“两条相交直线确定一个平面”的事实和实验中的感知进行合情推理，归纳出线面垂直的判定定理，并要求学生画图，用符号语言表示。

直线与平面垂直的判定定理：

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。

图形语言表示：

符号语言表示：

（3）通过质疑深入理解定理　　

问题⑥：

若一条直线与平面内的两条平行直线都垂直，则该直线与此平面垂直吗？

  由于两条平行直线也确定一个平面，这个问题是学生会问到的。

可以引导学生通过操作模型（三角板）来确认，消除学生心中的疑惑，进一步明确线面垂直的判定定理中的“两条”、“相交”缺一不可！

在本环节中，借助学生最熟悉的长方体模型和生活中最简单的经验，引导学生分析，将“与平面内所有直线垂直”逐步转化为“与平面内两条相交直线垂直”，并以此为基础,进行合情推理，提出猜想，使学生的思维顺畅，为进一步的探究做准备。

3.直线与平面垂直的判定定理的初步应用　　

练习1：

已知正方体

.判断：

（1）直线

与哪些平面垂直？

（2）直线

与哪些平面垂直？

变式训练1：

如图所示，已知

，求证：

.

考虑到学生处于初学阶段，学生可以先尝试去做并板演，师生共同评析，帮助学生明确运用定理时的具体步骤，培养学生严谨的逻辑推理。

变式题使学生对线面垂直认识由感性上升到理性；同时，展示了平行与垂直之间的联系，给出判断线面垂直的一种间接方法，为今后多角度研究问题提供思路。

根据学生的实际情况，本题可机动处理。

练习2如图,

垂直于圆

所在面,

是圆

的直径,

是圆周上一点,那么图中有几个直角三角形?

思考题过

所在平面外一点

，作

，垂足为

，连接

若

则

是

的______心.

4.课堂小结　　

（1）通过本节课的学习，你学会了哪些知识与方法？

定义法：

强调是“任何一条直线”

判定定理法：

必须是“两条相交直线”。

间接法：

两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面。

（2）在证明直线与平面垂直时应注意哪些问题？

（3）直线与平面垂直的判定定理中体现了什么数学思想方法？

直线与直线垂直直线与平面垂直

5.课后作业

（1）上述思考题，座位每日一题，规范写在作业本上，在课前三分钟由第二组学生讲解；

（2）学习小组1-3完成练习册例题，变式以及基础巩固的习题；

学习小组4-8完成练习册例题，变式以及能力提高的习题。