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压缩感知技术研究进展分析
压缩感知技术研究进展
摘要：
信号采样是联系模拟信源和数字信息的桥梁•人们对信息的巨量需求
造成了信号采样、传输和存储的巨大压力•如何缓解这种压力又能有效提取承载在信号中的有用信息是信号与信息处理中急需解决的问题之一•近年国际上
出现的压缩感知理论（CompressedSensing,CS）为缓解这些压力提供了解决方法•本文综述了CS理论框架及关键技术问题，并介绍了仿真实例、应用前景，评述了其中的公开问题，对研究中现存的难点问题进行了探讨，最后对CSJ术做了一下总结和展望•
关键词：
压缩感知；稀疏表示；观测矩阵；编码；解码
AdvancesinTheoryandApplicationofCompressed
Sensing
Abstract：
Samplingisthebridgebetweenanalogsourcesignalanddigitalsignal.Withtherapidprogressofinformationtechnologies,thedemandsforinformationareincreasingdramatically.Sotheexistingsystemsareverydifficulttomeetthechallengesofhighspeedsampling,largevolumedatatransmissionandstorage.Howtoacquireinformationinsignalefficientlyisanurgentprobleminelectronicinformationfields.Inrecentyears,anemergingtheoryofsignalacquirement.compressedsensing（CS）providesagoldenopportunityforsolvingthisproblem.Thispaperreviewsthetheoreticalframeworkandthekeytechnicalproblemsofcompressedsensingandintroducesthelatestdevelopmentsofsignalsparserepresentation,designofmeasurementmatrixandreconstructionalgorithm.ThenthispaperalsoreviewsseveralopenproblemsinCStheoryanddiscussestheexistingdifficultproblems.Intheend,theapplicationfieldsofcompressedsensingareintroduced.
Keywords：
compressedsensing;sparserepresentation;theobservationmatrix;
coding;decoding
在过去的半个世纪里，奈奎斯特采样定理几乎支配着所有的信号或图像等
的获取、处理、存储以及传输。
它要求采样频率必须大于或等于信号带宽的两倍，才能不失真的重构原始信号。
在许多实际应用中，例如高分辨率的数码装置及超带宽信号处理，高速采样产生了庞大的数据，为了降低存储，处理或传输成本，只保留其中少量的重要数据。
由于采样后得到的大部分数据都被丢弃了，所以这种方式造成了采样资源的严重浪费。
设想如果在采样的同时直接提取信号的少量重要信息，就可以大大降低采样频率，节约资源，提高效率而且仍能够精确重构原始信号或图像。
这就是Donohc、Candes以及Tac等人提出压缩感知（CompressedSensing、CompressiveSampling或CompressiveSensing，CS理论的主要思想。
压缩感知理论指出：
如果信号在某个变换域是稀疏的或可压缩的，就可以利用一个与变换基不相关的观测矩阵将变换所得的高维信号投影到一个低维空间上，根据这些少量的观测值，通过求解凸优化问题就可以实现信号的精确重构。
在传统理论的指导下，信号X的编解码过程如图1所示：
编码端首先获得X的N点采样值，经变换后只保留其中K个最大的投影系数并对它们的幅度和位置编码，最后将编得的码值进行存储或传输。
解压缩仅是编码过程的逆变换。
实际上，采样得到的大部分数据都是不重要的，即K值很小，但由于奈奎斯特
采样定理的限制，采样点数N可能会非常大，采样后的压缩是造成资源浪费的根本所在。
X—►
采样
N
K
存轉或传辎
接收
K
N
■前
■X
图1传统散宦們编鋼码过程
CS很好的解决了这一问题，它将信号的采样、压缩及编码合并在了同一步骤中，不经过N点采样的中间过程而直接得到信号的表示，其编解码过程如图2所示。
可压缩信号X通过一个线性观测过程获得Mt观测值后直接进行存储或传输。
在满足一定的条件下接收端可以根据这M个观测值通过一个非线性优化过程恢复出原信号X。
二、压缩感知的基本理论及核心问题
假设有一信号f（fRn），长度为N，基向量为Ti（i=1,2,...,N），对信号进
行变换：
N
f-73\-：
i或f-
i4
显然f是信号在时域的表示，:
是信号在宇域的表示。
信号是否具有稀疏性或者近似稀疏性是运用压缩感知理论的关键问题，若
（1）式中的〉只有K个是
非零值（N.K）者仅经排序后按指数级衰减并趋近于零，可认为信号是稀疏的。
信号的可稀疏表示是压缩感知的先验条件。
在已知信号是可压缩的前提下，
压缩感知过程可分为两步：
（1）设计一个与变换基不相关的MN（MN）维测量矩阵对信号进行观测，得到M维的测量向量。
（2）由M维的测量向量重构信号。
2.1信号的稀疏表示
文献［4］给出稀疏的数学定义：
信号X在正交基？
下的变换系数向量为
0-VTX，假如对于0：
：
：
p：
：
：
2和R0，这些系数满足：
户i|P）1/'R
i
则说明系数向量。
在某种意义下是稀疏的.文献［1］给出另一种定义：
如果变换系数
K=：
X,h•的支撑域｛^厂①的势小于等于K，则可以说信号X是K项稀疏。
如何找到信号最佳的稀疏域？
这是压缩感知理论应用的基础和前提，只有选择合适的基表示信号才能保证信号的稀疏度，从而保证信号的恢复精度。
在研究信号的稀疏表示时，可以通过变换系数衰减速度来衡量变换基的稀疏表示能力。
Candes和Tao研究表明，满足具有幕次（power-law）速度衰减的信号，可利用压缩感知理论得到恢复。
最近几年，对稀疏表示研究的另一个热点是信号在冗余字典下的稀疏分
解•这是一种全新的信号表示理论：
用超完备的冗余函数库取代基函数，称之为冗余字典，字典中的元素被称为原子•字典的选择应尽可能好地符合被逼近信号的结构，其构成可以没有任何限制•从从冗余字典中找到具有最佳线性组
合的K项原子来表示一个信号，称作信号的稀疏逼近或高度非线性逼近［12,13］。
目前信号在冗余字典下的稀疏表示的研究集中在两个方面：
（1）如何构造一个适合某一类信号的冗余字典；
（2）如何设计快速有效的稀疏分解算法.这两个
问题也一直是该领域研究的热点，学者们对此已做了一些探索，其中以非相干字典为基础的一系列理论证明得到了进一步改进•西安电子科技大学的石光明教授也对稀疏表示问题进行了认真研究，并基于多组正交基级联而成的冗余字典提出一种新的稀疏分解方法［17。
2.2信号的观测矩阵
用一个与变换矩阵不相关的MN（M「：
：
N）测量矩阵对信号进行线性投影，得到线性测量值y:
y=f
测量值y是一个M维向量，这样使测量对象从N维降为M维。
观测过程
是非自适应的即测量矩阵少的选择不依赖于信号f。
测量矩阵的设计要求信号
从f转换为y的过程中，所测量到的K个测量值不会破坏原始信号的信息，保
证信号的精确重构。
由于信号f是是可稀疏表示的，上式可以表示为下式：
y=f_?
：
.「.-
其中。
是一个MN矩阵。
上式中，方程的个数远小于未知数的个数，方
程无确定解，无法重构信号。
但是，由于信号是K稀疏，若上式中的0满足有限
等距性质（RestrictedIsometryProperty，简称RIP），即对于任意K稀疏信号f和常数》（0,1），矩阵。
满足:
11硏II；
IIfII2
则K个系数能够从M个测量值准确重构。
RIP性质的等价条件是测量矩阵'和
稀疏基7不相关。
目前，用于压缩感知的测量矩阵主要有以下几种：
高斯随机
clc：
clearall:
寻找更有效的求解途径。
文献［10］表明，h最小范数下在一定条件下和lo最小范
数具有等价性，可得到相同的解。
那么上式转化为h最小范数下的最优化问题：
min11：
||ii&y=■'■'
ot
h最小范数下最优化问题又称为基追踪（BP），其常用实现算法有：
内点法和梯度投影法。
内点法速度慢，但得到的结果十分准确：
而梯度投影法速度快，但没有内点法得到的结果准确［14］。
二维图像的重构中，为充分利用图像的梯度结构。
可修正为整体部分（TotalVariation，TV）最小化法。
由于|1最小范数下
的算法速度慢，新的快速贪婪法被逐渐采用，如匹配追踪法（MP）和正交匹配追
踪法（OMP。
此外，有效的算法还有迭代阈值法以及各种改进算法。
三、压缩感知仿真实例
对256x256大小的8bit灰度lena图像进行仿真计算，由于数据量过大，将图像分为16X16大小的分块进行计算，稀疏矩阵采用DC矩阵，观测矩阵采用高斯随机矩阵，重构算法采用OMP（正交匹配追踪）算法。
MATLAB^码如下：
hat_y（pos_array）=aug-_y:
hat_K=hat_y;
hat_K2=inv（A）*hat_K：
，;霁氮原信号
b2=reshape（hat_a2jbn,bn）;
%轉计算奸的分块组合
inc2（（1+（k-I）*ba）:
（x*bR）j（1+（y-1）*bn）:
（y*bn））-b2;
end
end
inc2=uint8（imc2）;
iji2=imc2l:
n）;
>se=sum.（suit（abs（.in-im2）・'2））/;常.|鼻隹'圭
toe;KitMPtffl
figure（l）:
麗显示图慷inagescfimS）:
title（strcat「釆样率二'3num^strCp）^分块」八■.
num2srtr（bmh'梵'^nuniSstr（bn）j计算BtfB]=kj...
nuni2str（round（toc/t））/sMSE=73,nuni2str（round（usef1U）/10）））:
colorwgray;
不同米样率下的计算时间与计算误差如下图所示:
能从少量的非相关观测值中高效获取可压缩信号的信息，CS的这一特点决
定了其应用的广泛性。
CS的应用领域涉及数据压缩、模拟/信息的转换、压缩成像、信道编码、信道估计、生物传感、语音识别、雷达成像、雷达遥感、学习理论及模式识别等诸多领域。
在压缩成像方面，RICE大学已成功研制了“单像素”压缩数码照相机，该相机不像传统相机那样获取原始信号的N个像素值，而是直接获取尬随机线性观测值，在实践中为取代传统相机迈出了实质性的一步。
在通信领域，压缩感知也有着强大的生命力，由于无线多径信道一般情况下是稀疏的，即使在时延扩展很大时，大幅度的径的个数也很少，因此利用少量的导频就能获取未知信道的频域响应估计。
此外压缩感知理论还可用于通信信道的错误检测、传感网络的分布式信源编码、认知无线电中的频谱感知等。
五、研究的公开问题
5.1p2范数优化问题
压缩感知理论在图像压缩编码等方面也应该有很广泛的前景，但由于信号的恢复方法是建立在12范数意义下，数据之间还有很大的冗余性没有去除，相比传统的小波变换编码,压缩感知理论应用于图像压缩的效果还不理想.p2范数的优化是提高基于压缩感知理论的压缩算法效果的必经之路.p2范数的优化方法是一个公开问题（openproblem）,对它的研究将推动压缩感知理论在压缩方面的应用,具有很深远的意义.p2范数意义下的优化问题是一个凸函数优化问题，目前已有一些成熟的算法，但p2范数的优化是一个非凸函数的优化问题，其中有很多数学问题有待解决•有关p2范数非凸函数优化问题，也有一些学者开展研究.如RickChartrand［用典型的合成数据做了一些实验,表明在一定的稀疏误差范围内,可以得到最小值.在文献［19］中,他进一步给出了变换基空间内的系数严格的等距条件（restrictedisometry）,由于有了严格的约束,完全适合于大多数实际的信号.笔者期望通过借用自然优化计算以及将p2范数非凸函数转换为近似凸函数优化等方法，提出一种新的求解p2范数范数的优化问题，以实现在p2范数意义下的压缩感知理论的信号恢复，最大可能减少信号的冗余.该思路正在研究之中.
5.2观测矩阵与恢复性能关系
前面提到,观测矩阵与稀疏变换基的不相干特性是压缩感知理论具有良好性能的基础.由于随机高斯分布的观测矩阵具有与其它固定基都不相关的特性而被广泛采用.但在实际的应用中,这种观测矩阵存在存储矩阵元素容量巨大、计算复杂度高的缺点.文献［20］提出一种部分傅立叶变换采样的方法.
它首先对信号进行傅立叶变换再对变换系数进行随机抽取.这种随机抽取使得
各观测值具有随机不相关的特性.由于变换时可以采用快速算法而使得计算量大大降低.但由于傅立叶基仅与在空域稀疏的信号不相干,故这种观测矩阵的
应用范围受到很大的限制.此外,采用随机滤波器滤波也是一种有效的观测方法,不过目前仍缺乏理论基础,也缺少对其性能的详细分析.文献［21］将伪高斯矩阵和部分傅立叶方法巧妙的结合在一起,提出了一种结构化的随机观测矩阵设计方法,这种观测矩阵具有与所有基不相干的特性,同时也有较快的计算速度.
总结以上的工作可以得出如下结论:
观测矩阵的随机不相关特性是正确恢复信号的一个充分条件,观测矩阵和信号的高度不相干是有效恢复信号的保证但是,现在仍然无法确定随机不相关特性是否是最优恢复信号的必要条件,这仍是一个公开问题.另外,如何衡量观测矩阵的不相干特性,以及它们与恢复性能之间的关系也是一个尚未解决的问题.
另外,自适应的观测矩阵设计也是观测矩阵设计的一个重要方面.在众多有关压缩感知理论的文献中,大部分的观测矩阵都是预先设计好的,不需要根据观测信号而自适应变化.实际上,如果能够进行自适应的观测,压缩感知的压缩性能可以得到进一步的提高.在文献［22］中，作者用Bayes估计的观点对压缩感知做出了一种全新的解释.在文献中,压缩感知的解的可信度可以通过微分熵来衡量,这样在已有观测的基础上,下一次最优的观测向量应该使问题解的微分熵下降最快,它可以由已有的观测向量和观测值唯一确定.而且,幸运的是这一特性在编码端和解码端是同样的.由于对观测矩阵的最优化设计,BayesianCS与使用普通的随机观测矩阵相比,在同等观测次数的情况下,性能得到了很大的提高.当然这也付出了一定的代价,计算最优观测向量需要很大的计算量,所以能够简捷有效地确定最优观测向量仍是这方面的一个有待解决的问题.
5.3分布式压缩感知理论（DistributedCompressedSensing,DCS）
目前,针对单个信号的压缩感知的研究和应用已经开展得比较深入,但是对分布式信号的处理仍然研究得不够.例如,对于一个包含大量传感器节点的传感器网络,每个传感器都会采集大量的数据,这些数据将会传输到一个控制中心,也会在各个节点之间传输.显然,在这种分布式传感器网络中,数据传输对功耗和带宽的需求非常大,那么,如何对分布式信号进行压缩以减少通信压力成为非常紧迫的需求.
2006年,Haupt和Nowak将压缩感知理论应用到多个信号的环境中,然而
他们的方法仅研究了多个信号的互相关性,却没有考虑单个信号的内相关性.Baron等人在压缩感知理论的基础上提出了分布式压缩感知（DCS）[18],进一
步扩展了压缩感知理论的应用,将单信号的压缩采样扩展到了信号群的压缩采样,它着重研究如何利用信号内相关性和互相关性对多个信号进行联合重构.这种联合重构的重要意义在于,相对于压缩感知,分布式压缩感知可节约相当可观的观测数目.文献[18]中的实验结果表明对于两个相关的信号可节约的观测数目大约为30%.
DCS理论建立在一个称之为信号群的/联合稀疏（JSM）0概念上.它指出,如果多个信号都在某个基下稀疏,并且这些信号彼此有关,那么每个信号都能够通过利用另一个不相关基（例如一个随机矩阵）进行观测和编码,得到远少于信号长度的编码.将每个编码后的少量数据传输到解码端,那么在适当的条件（如JSM21下,解码端利用接收到的少量数据就能够精确重建每一个信号.
文献[18]系统地阐述了DCS理论及其应用,提出了相应的压缩感知方法及恢复算法,并采用稀疏的随机投影矩阵作为观测矩阵,详细分析了分布式压缩感知理论的观测过程,而文献[23]则从重构误差估计的角度对分布式压缩感知理论进行了研究.
DCS理论为分布式信号的处理提供了新的方法,目前的热点和难点主要集中在如何将其应用到各种复杂的实际传感器网络中.在某种意义上,DCS是一种分布式信源压缩的框架,它在很长时间内都将是一个具有挑战性的公开难题.
六总结与展望
压缩感知理论利用了信号的稀疏特性,将原来基于奈奎斯特采样定理的信号采样过程转化为基于优化计算恢复信号的观测过程.也就是利用长时间积分换取采样频率的降低,省去了高速采样过程中获得大批冗余数据然后再舍去大部分无用数据的中间过程,从而有效缓解了高速采样实现的压力,减少了处理、存储和传输的成本,使得用低成本的传感器将模拟信息转化为数字信息成为可能.这种新的采样理论将可能成为将采样和压缩过程合二为一的方法的理论基础.
本文对压缩感知理论框架的全过程进行了描述,详细阐述了压缩感知理论所涉及的关键技术,综述了国内外研究成果、存在的公开问题及最新的相关理论扩展,如冗余字典下的压缩感知理论、模拟2信息理论、分布式压缩感知理论等.并对其中的问题进行了概括性讨论.
压缩感知理论的研究已经有了一些成果,但是仍然存在大量的问题需要研究.概括为以下几个方面:
（1）对于稳定的重构算法是否存在一个最优的确定性的观测矩阵;
（2）如何构造稳定的、计算复杂度较低的、对观测次数限制较少的重构算
法来精确地恢复可压缩信号;
（3）如何找到一种有效且快速的稀疏分解算法是冗余字典下的压缩感知理论的难点所在;
（4）如何设计有效的软硬件来应用压缩感知理论解决大量的实际问题,这方面的研究还远远不够;
（5）对于p2范数优化问题的求解研究还远远不够；
（6）含噪信号或采样过程中引入噪声时的信号重构问题也是难点所在,研究结果尚不理想.此外,压缩感知理论与信号处理其它领域的融合也远不够,如信号检测、特征提取等.CS理论与机器学习等领域的内在联系方面的研究工作已经开始.
压缩感知理论是新诞生的,虽然还有许多问题待研究,但它是对传统信号处理的一个极好的补充和完善,是一种具有强大生命力的理论,其研究成果可能对信号处理等领域产生重大影响
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