高考圆锥曲线必刷热点题型MST.docx

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高考圆锥曲线必刷热点题型MST

2020高考圆锥曲线必刷热点题型

2

1．（2020•蚌埠三模）如图，设抛物线C1:

x

2

=4y与抛物线C2:

y

t2

=>

2px（p0）在第一象限的交点为M（t,），

4

点A，B分别在抛物线C2，C1上，AM，BM分别与C1，C2相切．

（1）当点M的纵坐标为4时，求抛物线C2的方程；

（2）若t∈[1，2]，求∆MBA面积的取值范围．

2．（2020•威海一模）已知椭圆x+y=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F，F，点P（-3

22

a2b2

1,）是椭圆上一点，

122

|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若A为椭圆的右顶点，直线AP与y轴交于点H，过点H的另一直线与椭圆交于M、N两点，且

S∆HMA=6S∆PHN，求直线MN的方程．

3．（2020•濮阳一模）已知O为坐标原点，抛物线C:

x2=2py（p>0）的焦点坐标为（0,1）

2

，点A，B在该抛

物线上且位于y轴的两侧，OAOB=3．

（Ⅰ）证明：

直线AB过定点（0,3）；

（Ⅱ）以A，B为切点作C的切线，设两切线的交点为P，点Q为圆（x-1）2+y2=1上任意一点，求|PQ|的最小值．

4．（2020•辽阳一模）已知抛物线C:

x2=2py（p>0）的焦点为F，直线l与抛物线C交于P，Q两点．

（1）若l过点F，抛物线C在点P处的切线与在点Q处的切线交于点G．证明：

点G在定直线上．

1-x2

（2）若p=2，点M在曲线y=上，MP，MQ的中点均在抛物线C上，求∆MPQ面积的取值范围．

5．（2020•东莞市模拟）已知抛物线E:

y2=4x，过抛物线焦点F的直线1分别交抛物线E和圆

F:

（x-1）2+y2=1于点A、C、D、B（自上而下）．

（1）求证：

|AC||BD|为定值；

（2）若|AC|、|CD|、|DB|成等差数列，求直线l的方程．

2

6．（2020•天津一模）已知抛物线C:

y2=42x的焦点为椭圆E:

x

a2

与E交于P，Q两点，且|PQ|=2．

y2

+=>>

1（ab0）的右焦点，C的准线

b2

（1）求E的方程；

（2）过E的左顶点A作直线l交E于另一点B，且BO（O为坐标原点）的延长线交E于点M，若直线AM

的斜率为1，求l的方程．

7．（2020•丹东模拟）已知A（x，y），B（x，y）是抛物线C:

y2=2px（p>0）上的两点．

1122

（1）若y1y2=-p，证明：

直线AB经过C的焦点F．

2

（2）经过点A，B分别作C的两条切线l1，l2，若l1l2的交点M在C的准线l上，证明：

（i）直线AB经过C的焦点F；

（ii）l1⊥l2．

8．（2020•德州一模）已知抛物线E:

x2=2py（p>0）的焦点为F，圆M的方程为：

x2+y2-py=0，若直线x=4与x轴交于点R，与抛物线交于点Q，且|QF|=5|RQ|．

4

（1）求出抛物线E和圆M的方程；

（2）过焦点F的直线l与抛物线E交于A、B两点，与圆M交于C、D两点（A，C在y轴同侧），求证：

|AC||DB|是定值．

-x2+y2=>>

9．（2020•白云区模拟）设F1（

c,0）、F2（c,0）分别是椭圆a2b21（ab

0）的左、右焦点，点P是该椭圆

上的一个定点，同时满足如下三个条件：

3

3

（1）PF2F1F2=0；

（2）tan∠PF1F2=12；（3）PF1在F1F2方向上的投影为2．

（Ⅰ）求椭圆的离心率及椭圆方程；

（Ⅱ）过焦点F1的直线l交椭圆于点A、B两点，问是否存在以线段AB为直径的圆与y相切，若存在，求出此时直线l的方程，若不存在，请说明理由．

x2y2

10．（2020•贵州模拟）设F1，F2分别是椭圆C:

a2+b2=1（a>b>0）的左，右焦点，A、B两点分别是椭

2

圆C的上、下顶点，△AF1F2是等腰直角三角形，延长AF1交椭圆C于D点，且∆ADF2的周长为4．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设点P是椭圆C上异于A、B的动点，直线AP、BP与直线l:

y=-2分别相交于M、N两点，点Q（0,-5），试问：

∆MNQ外接圆是否恒过y轴上的定点（异于点Q）？

若是，求该定点坐标；若否，说明理由．

23

x2y2

11．（2020•湖北模拟）已知F1，F2为椭圆E:

a2+b2=1（a>b>0）的左、右焦点，点P（1,

）在椭圆上，

3

3

且过点F2的直线l交椭圆于A，B两点，△AF1B的周长为4．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）我们知道抛物线有性质：

“过抛物线

y2=2px（p>0）

的焦点为F的弦AB满足

|AF|+|BF|=2|AF||BF|．”那么对于椭圆E，问否存在实数λ，使得|AF

|+|BF

|=λ|AF

||BF

|成立，

p

若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由．

2222

2

12．（2020•永州三模）已知椭圆C:

x

a2

y2

+=>>

1（ab0）与抛物线D:

y2

b2

=-4x有共同的焦点F，且两曲线

的公共点到F的距离是它到直线x=-4（点F在此直线右侧）的距离的一半．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设O为坐标原点，直线l过点F且与椭圆交于A，B两点，以OA，OB为邻边作平行四边形OAMB．是否存在直线l，使点M落在椭圆C或抛物线D上？

若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由．

13．（2020•合肥二模）已知圆（x-4）2+（y-4）2=25经过抛物线E:

y2=2px（p>0）的焦点F，且与抛物线E

的准线l相切．

（1）求抛物线E的标准方程；

（2）设经过点F的直线m交抛物线E于A，B两点，点B关于x轴的对称点为点C，若∆ACF的面积为6，求直线m的方程．

14．（2020•常德模拟）有一种曲线画图工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆

MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，DM=1．当栓子D在

2

滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的曲线记为C．以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．

（1）求曲线C的轨迹方程；

（2）设F2为曲线C的右焦点，P为曲线C上一动点，直线PF2斜率为k（k≠0），且PF2与曲线C的另一个交点为Q，是否存在点T（0,t），使得∠TPQ=∠TQP，若存在，求t的取值范围；若不存在，请说明理由．

15．（2020•赤峰模拟）已知曲线C上的任意一点M到点F（0,1）的距离比到直线l:

y=-2的距离少1，动点P

在直线s:

y=-1上，过点P作曲线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．

（1）求曲线C的方程；

（2）判断直线AB是否能恒过定点？

若能，求定点坐标；若不能，说明理由．

2

2

+=-

16．（2020春•全国月考）已知椭圆C:

xy1，过Q（4,0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且与y

62

轴相交于P点．

3

（1）若PA=AQ，求直线l的方程；

2

（2）设A关于x轴的对称点为C，证明：

直线BC过x轴上的定点．

0

17．（2020•河南模拟）已知焦点为F的抛物线C:

y2=2px（p>0）与圆O:

x2+y2=p2+1交于点P（1,y）．

（1）求抛物线C的方程；

（2）在第一象限内，圆O上是否存在点A，过点A作直线l与抛物线C交于点B（B为第四象限的点），与x

轴交于点D，且以点D为圆心的圆过点O，A，B？

若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由．

18．（2020•兴宁区校级模拟）已知A，B是x轴正半轴上两点（A在B的左侧），且|AB|=a（a>0），过A，B作x轴的垂线，与抛物线y2=2px（p>0）在第一象限分别交于D，C两点．

（Ⅰ）若a=p，点A与抛物线y2=2px的焦点重合，求直线CD的斜率；

（Ⅱ）若O为坐标原点，记∆OCD的面积为S，梯形ABCD的面积为S，求S1的取值范围．

S

12

2

PAPB

19．（2020•广州模拟）已知点P是抛物线C:

y=1x2-3的顶点，A，B是C上的两个动点，且=-4．

4

（1）判断点D（0,1）是否在直线AB上？

说明理由；

（2）设点M是∆PAB的外接圆的圆心，点M到x轴的距离为d，点N（1,0），求|MN|-d的最大值．

x2+y2=>>

20．（2020•海安市模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B两点分别为椭圆

a2

b21（ab0）

的右顶点和上顶点，且AB=7，右准线l的方程为x=4．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点A的直线交椭圆于另一点P，交l于点Q．若以PQ为直径的圆经过原点，求直线PQ的方程．

2

21．（2020•大同模拟）已知双曲线C:

x

a2

y2a2

-=>>==

1（a0,b0）的右焦点F，半焦距c2，点F到直线x

b2c

的距离为1，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N．

2

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）证明：

直线MN必过定点，并求出此定点的坐标．

22．（2020•邵阳一模）半圆O:

x2+y2=1（y…0）的直径两端点为A（-1,0），B（1,0），点P在半圆O及直径AB

上运动，若将点P的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到点Q，记点Q的轨迹为曲线C．

（1）求曲线C的方程；

（2）若称封闭曲线上任意两点距离的最大值为该曲线的“直径”，求曲线C的“直径”．

23．（2020•临汾模拟）已知圆E:

（x-

2）2+y2=16，P为E上任意一点，F（-

2,0），PF的垂直平分线交

PE于点G，记点G的轨迹为曲线C．

（1）求曲线C的方程；

（2）已知点S（2,0），过Q（2,-4）的直线l交C于M，N两点，证明：

直线SM的斜率与直线SN的斜率之和为定值．

24．（2020•桂林一模）已知抛物线C:

y2=2px（p>0），抛物线C与圆D:

（x-1）2+y2=4的相交弦长为4．

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）点F为抛物线C的焦点，A、B为抛物线C上两点，∠AFB=90︒，若∆AFB的面积为25，且直线AB

36

的斜率存在，求直线AB的方程．

25．（2020•如皋市校级模拟）椭圆M的中心在坐标原点O，左、右焦点F1，F2在x轴上，抛物线N的顶点也在原点O，焦点为F2，椭圆M与抛物线N的一个交点为A（3，26）．

（Ⅰ）求椭圆M与抛物线N的方程；

（Ⅱ）在抛物线M位于椭圆内（不含边界）的一段曲线上，是否存在点B，使得△AF1B的外接圆圆心在x

轴上？

若存在，求出B点坐标；若不存在，请说明理由．

26．（2020•一卷模拟）如图，已知圆Q:

（x+2）2+（y-2）2=1，抛物线C:

y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，过F且与l垂直的直线l'与圆Q有交点．

（1）求直线l'的斜率的取值范围；

（2）求∆AOB面积的取值范围．

27．（2020•深圳模拟）在平面直角坐标系xOy中，过点F（2,0）的动圆恒与y轴相切，FP为该圆的直径，设点P的轨迹为曲线C．

（1）求曲线C的方程；

（2）过点A（2,4）的任意直线l与曲线C交于点M，B为AM的中点，过点B作x轴的平行线交曲线C于点

D，B关于点D的对称点为N，除M以外，直线MN与C是否有其它公共点？

说明理由．

28．（2020•武汉模拟）已知抛物线Γ:

y2=2px（p>0）的焦点为F，P是抛物线Γ上一点，且在第一象限，

满足FP=（2，23）

（1）求抛物线Γ的方程；

（2）已知经过点A（3,-2）的直线交抛物线Γ于M，N两点，经过定点B（3,-6）和M的直线与抛物线Γ交于另一点L，问直线NL是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．

2

29．（2020•金牛区校级模拟）已知椭圆C:

x

a2

方形．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

a2+b2

2

（Ⅱ）我们称圆心在椭圆上运动，半径为

y2

+=>>

1（ab0）的两焦点与短轴两端点围成面积为12的正

b2

的圆是椭圆的“卫星圆”．过原点O作椭圆C的“卫星圆”

10

的两条切线，分别交椭圆C于A、B两点，若直线OA、OB的斜率为K1、K2，当k1+k2=2

时，求此

时“卫星圆”的个数．

30．（2020•巴中模拟）在平面直角坐标系中，已知点A（-2,0），B（2,0），动点P（x,y）满足直线AP与BP的斜率之积为-3．记点P的轨迹为曲线C

4

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；

（2）若M，N是曲线C上的动点，且直线MN过点D（0,1）

2

，问在y轴上是否存在定点Q，使得

∠MQO=∠NQO？

若存在，请求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2

1．（2020•蚌埠三模）如图，设抛物线C1:

x

参考答案与试题解析

2

=4y与抛物线C2:

y

t2

=>

2px（p0）在第一象限的交点为M（t,），

4

点A，B分别在抛物线C2，C1上，AM，BM分别与C1，C2相切．

（1）当点M的纵坐标为4时，求抛物线C2的方程；

（2）若t∈[1，2]，求∆MBA面积的取值范围．

【分析】

（1）由点M的纵坐标为4时代入C1可得M的坐标，再代入C2中求出p的值，进而求出抛物线C2

的方程；

（2）将M的坐标代入C2中可得p，t的关系，设A的坐标，设直线AM的方程，与C1联立，由AM与C1

相切，可得判别式为0，求出k1与t的关系，可得A的坐标，设B的坐标，设BM的方程与C2联立，由题意可得判别式为0，可得k2与t的关系，

解得B的坐标，求出|BM|的值，再求出A到直线BM的距离，进而求出三角形MBA的面积的表达式，由t

的范围求出面积的取值范围．

2

【解答】解：

（1）由条件，t=4且t>0，解得t=4，即点M（4,4），

4

2

代入抛物线C2的方程，得8p=16，所以p=2，则抛物线C2的方程为y=4x．

t2t3

（2）将点M（t,）代入抛物线C的方程，得p=．

4232

t

2

设点A（x1，y1）直线AM方程为y=k1（x-t）+4，

⎧t2

联立方⎪y=k1（x-t）+4，消去y，化简得x2-4kx+4kt-t2=0，

⎨11

⎪⎩x2=4y

22t

2

t

y1-4

2

t

y1-4

2

t

y1-4

t3t

则=16k1-4（4k1t-t

）=0，解得k1=2，从而直线AM的斜率

x1-t

=

y2

1-t

=

1

16y2

=

-t4（4y1

+t2）=2，

2pt3

t2tt2t2

解得y1=-8，即点A（4,-8）．设点B（x2，y2），直线BM方程为y=k2（x-t）+4，

⎧t2

⎪y=k（x-t）+

22pt2

联立方⎨2

4，消去x，化简得y-

y-2p（t-

）=0，

⎪⎩y2=2px

k24k2

4p2t2t3t

则=

k2

+8p（t-

4k

）=0，代入p=，解得k=，

3228

22

t

2x2t2

y-2-2

2

从而直线BM的斜率为

4=44

=x2+t=t，解得x=-t，即点B（-t,t）；

x-tx-t4822

216

22

（t+）+（-）2416

t2

t2

t22

3t2

|MB|=

=64+t，

16

t222

tt2

tt2

|+t+t|9t2

点A（,-）到直线BM:

y=x+，即tx-8y+t2=0的距离为d=4=，

4888

1

|MB|d=

27t3

，而t∈[1，2]，所以∆MBA面积的取值范围是[

27,27

2

128

12816

故∆MBA面积为S∆MBA=

t2+644

t2+64

]．

【点评】本题考查抛物线的方程性质及直线与抛物线相切的性质，属于中档题．

22

2．（2020•威海一模）已知椭圆x+y=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F，F，点P（-3

a2b2

1,）是椭圆上一点，

122

|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若A为椭圆的右顶点，直线AP与y轴交于点H，过点H的另一直线与椭圆交于M、N两点，且

S∆HMA=6S∆PHN，求直线MN的方程．

【分析】（Ⅰ）通过|FF

|是|PF|和|PF

|的等差中项，a2=4c2．又P（-

3在椭圆上，得到1+3

=1，

1212

1,）

2

4c2

4c2

求出a2，b2，可得椭圆的标准方程．

（Ⅱ）说明当直线MN与x轴垂直时，不合题意．当直线MN与x轴不垂直时，设直线MN的方程为y=kx+1，

⎧y=kx+1

⎨xy⎪

联立直线与椭圆的方程⎪22

+=

⎩43

，设M（x1，y1），N（x2，y2），由韦达定理，由S∆HMA=6S∆PHN，推出x1=-3x2，

1

然后解得k，求出直线MN的方程．

【解答】解：

（Ⅰ）因为|FF|是|PF|和|PF

|的等差中项，所以a=2c，得a2=4c2．

1212

又P（-1,3）在椭圆上，所以

2

1

4c2

+34c2

=1，所以c=1，a2=4，b2=a2-c2=3，

可得椭圆的标准方程为

x2y2

+=

1．

43

（Ⅱ）因为P（-

1,3）

2

，由（Ⅰ）计算可知A（2,0），H（0,1），当直线MN与x轴垂直时，不合题意．

当直线MN与x轴不垂直时，设直线MN的方程为y=kx+1，

⎧y=kx+1

⎨xy⎪

联立直线与椭圆的方程⎪22

+=

⎩43

，可得（4k

1

2+3）x2

+8kx-8=0，

⎧x+x=

-8k

⎪124k2+3

设M（x1，y1），N（x2，y2），由韦达定理可得⎨-8，

⎩

⎪⎪x1x2

=4k2+3

由S∆HMA=6S∆PHN，可得|AH||MH|=6|NH||PH|，又|AH|=2|PH|，

⎧-2x=-8

⎪24k2+3

-8

所以|MH|=3|NH|，得x1=-3x2，带入①，可得