数学 分数应用题.docx

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数学分数应用题

数学复习分数应用题

【本讲教育信息】

一.教学内容：

复习分数应用题

分数乘、除法应用题属于同一个整体，它们有同一个基本结构，它们的解题思路，解题方法都有一个共同的特点。

本周讲述如何利用分数乘法的意义把它们统一起来。

并从多方面加强训练，提高解答分数应用题的能力。

二.重点、难点：

分数应用题是数学教学重要的内容之一，其中“求一个数的几分之几是多少？

”和“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”。

这两类分数乘除法应用题，比整数、小数应用题有了扩展，数量关系抽象复杂，是教学中的难点，先“找关键句”，确定知“1”或求“1”再选择用乘法还是用除法。

利用基本结构解好简单分数应用题，进一步掌握较复杂的分数应用题，以分散难点，提高解题能力。

A、加强两种意义

“分数的意义”是教学分数乘除法应用题的起点，“一个数乘以分数的意义”是解答分数乘除法应用题的依据。

“求一个数的几分之几”和“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的应用题，都是根据这个意义列出乘法算式或方程的。

因此，要切实理解和掌握“分数的意义”和“一个数乘以分数的意义”，是进行分数应用题的关键所在。

（一）强化分数意义：

所谓“分数”就是把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。

这个概念中有三个知识点：

①、单位“1”：

把要平均分的任何事物看做一个整体，用单位“1”表示，又称整体“1”。

②、平均分：

分数是建立在平均分的基础上的。

③、表示平均分的一份或几份的数才叫分数。

例：

说出下面每句话中分数表示的意义

1、五

（1）班男生人数占全班人数的3/5。

（3/5表示把全班人数看做整体，平均分成5份，其中的3份是男生。

）

2、实际比计划超产1/4。

（1/4表示把计划产量看做一个整体平均分成4份，超产的是这样的1份。

）

3、一台电视机降价1/5。

（1/5表示把电视机原价平均分成5份，降价的是1份。

）

（二）强化分数乘法意义：

学好分数乘法意义，对学好分数应用题至关重要。

1、沟通整数乘法意义与分数乘法意义的联系：

例：

一桶油100千克，2桶油重多少千克？

列式：

100×2=200（千克）。

（就是求100的2倍是多少?

）

一桶油100千克，1.5桶油重多少千克？

列式：

100×1.5=150（千克）。

（就是求100的1.5倍是多少?

）

一桶油100千克，1/2桶油重多少千克？

列式：

100×1/2=50（千克）。

就是求100的1/2是多少?

应注意当倍数不满1时，“倍”字略去。

即把100千克平均分成2份表示这样的1份。

）

一桶油100千克，3/4桶油重多少千克？

列式：

100×3/4=75（千克）。

就是求100的3/4是多少？

即把100千克平均分成4份表示这样的3份。

）

这样就沟通了求一个数的几倍和求一个数的几分之几之间的联系，其实质是一样的。

2、强化分数乘法意义的训练：

例：

说出算式表示的意义：

30×1/4（表示30的1/4是多少。

）

6米×3/5（表示6米的3/5是多少米。

）

A×5/6（表示A的5/6是多少。

）

B、寻找等量关系的训练

（一）寻找单位“1”的训练

例：

在下面的句子中，用横线画出单位“1”的量。

（1）看了一本书的1/3；

（2）一批青菜，其中1/4是白菜。

（3）四月份比三月份节约用电1/5。

（4）水结冰体积膨胀1/11。

（二）寻找分率对应量的训练

例：

看了一本书的1/3。

全书的（1/3）和（已看的页数）相对应。

全书的（1－1/3）和（剩下的页数）相对应。

全书的（1－1/3×2）和（剩下的页数比已看的多的页数）相对应。

透彻理解分率的意义，找出相对应的量与分率是解答分数应用题的突破口。

（三）画线段图的训练

有了初步的对应思想，线段图又具有形象直观的特点，是帮助学生进一步理解数量关系，提高分析能力的有利手段。

要正确解答分数乘除法应用题，必须学会画线段图。

例

（1）：

一本书共有300页，看了全书的2/5，看了多少页？

（此题是部总关系的题）

分三步画图：

（1）、画出单位“1”的量；

（2）、再画和它相比的量；（3）、标出相应的条件和问题。

若把“看了多少页”改为“还剩多少页”就是稍复杂的分数应用题，也一样会画出线段图（如图）。

   例

（2）：

学校有科技书200本，文艺书是科技书的3/4。

文艺书有多少本？

（此题是比较关系的，比较关系是两条线段做比较，画图时一般将标准量画在上面，比较量画在下面，让学生通过画图体会比较关系的几种情况）

若把是科技书的3/4改成比科技书少1/4；求少多少或是多少。

或把是科技书的3/4改成比科技书多1/4，求多多少或求是多少。

（四）找准等量关系的训练

1、训练内容明确：

寻找等量关系，要紧紧地联系实际，首先明确是部总关系还是比较关系。

如：

部总关系，已知单位“1”的量，和一部分分率，求一部分量；求另一部分量；求一部分量比另一部分量多（少）多少。

或反之用方程寻找等量关系。

又如：

比较关系，已知单位“1”的量，是标准量的几分之几求是多少；比标准量多几分之几求多多少，是多少；比标准量少几分之几，求少多少，是多少。

写等量关系式：

例：

实际用电比原计划节约了1/9。

等量关系式：

原计划×1/9=节约的；

原计划×（1－1/9）=实际用电等等。

（五）变换单位“1”的训练

在解答分数乘除法应用题时，对“1”的理解、掌握和运用也是关键的一环。

尤其是对单位“1”变化规律的掌握，

例：

五

（1）班男生人数是女生人数的4/5。

①女生人数为单位“1”，男生人数是女生人数的4/5。

②男生人数为单位“1”，女生人数是男生人数的5/4，女生人数比男生人数多1/4。

③全班人数为单位“1”，男生人数占全班人数的4/9，女生人数占全班人数的5/9，男生人数比女生人数少全班的1/9。

C、加强综合训练

（一）一题多问

例：

某工厂五月份计划生产钢材2400吨，上旬完成了计划的1/3，中旬完成了计划的3/8，？

（二）一题多解

像上例一题多问后，每一问又可有多种解法，这种训练可拓展到倍数、方程、比例等应用题

（三）进行补条件、和编题训练

（四）打破定势，建立思维的可逆性

心理学认为：

学生是否建立思维的可逆性是衡量其思维能力的重要标志。

在分数应用题教学中学生出现逆向思维障碍是长期进行顺向思维训练形成思维定势造成的。

【典型例题】

较复杂的分数应用题，题型广博，变化多端。

拓宽思路，提高解题能力。

一、从确定对应入手找出解题方法

分数应用题中有一个“量率对应”的明显特点，对一个单位“1”来说，每个分率都对应着一个具体的数量，而每一个具体的数量，也同样对应着一个分率，因此，正确地确定“量率对应”是解题的关键。

我们要学会和掌握“明确对应，找准对应分率”的解题方法。

例：

小冬看一本故事书，第一天看了总页数的1/6，第二天看了总页数的1/3，还剩78页没有看，这本故事书共有多少页？

把这本故事书的总页数看作单位“1”，要求这本故事书共有多少页，就要求出剩下的78页的对应分率。

根据已知条件，第一、二天看了总页数的（1/6＋1/3），还剩下78页的对应分率是（1－1/6－1/3），求这本故事书共有多少页，就是已知单位“1”的（1－1/6－1/3）是78页，求单位“1”。

于是列式为：

78÷（1－1/6－1/3）＝156（页）

二、通过统一标准量找出解题方法

在一道分数应用题中，如果出现了几个分率，而且这些分率的标准量不同，量的性质相异，在解题时，必须以题中的某一个量为标准量，将其余量的对应分率统一到这个标准量上来，才可列式解答。

例：

果园里有苹果树和梨树共420棵，苹果树棵数的1/3等于梨树的4/9，问这两种果树各有多少棵？

题中的1/3是以苹果树为标准量，4/9是以梨树为标准量，解题时必须统一成一个标准量。

若以苹果树为单位“1”，则有1×1/3＝梨树×4/9，那么梨树就相当于单位“1”的1/3÷4/9，两种果树的总棵数就相当于单位“1”的（1＋1/3÷4/9），于是列式为：

420÷（1＋1/3÷4/9）＝240（棵）……苹果树

240÷（1/3÷4/9）＝180（棵）……梨树

也可以把梨树看作单位“1”，或把两种果树的总棵数，或者相差棵数看作单位“1”。

三、通过假设推算找出解题方法

有些分数应用题，如果按题中所给条件直接去思考，就难以找到解题方法，如果在解题时先假设一个主观上所需要的条件，然后按照题目里的数量关系推算，所得的结果则发生与题目条件不同的矛盾，再进行适当的调整，即可找到正确的答案。

例：

红花村修一条水渠，第一周修了全长的2/5多10米，第二周修了全长的1/4少5米，还剩下282米没有修。

这条水渠长多少米？

假设第一周修的恰好是全长的2/5，这样第一、二周修后剩下的282米中就要增加10米；假设第二周修的恰好是全长的1/4，这样第一、二周修后剩下的282米中又要减少5米，于是条件变为第一周修了全长的2/5，第二周修了全长的1/4，还剩下（282＋10－5）米没有修。

把这条水渠全长看作单位“1”，那么（282＋10－5）米的对应分率就是（1－2/5－1/4）。

于是列式为：

（282＋10－5）÷（1－2/5－1/4）＝820（米）

四、通过逆推找出解题方法

有些分数应用题，如果按从始至终的先后顺序去分析，很难达到解决问题的目的，甚至陷入绝境。

不妨“反过来想一想“进行逆推，便容易打开思路，顺利解题。

例：

有一个油桶里的油，第一次倒出1/3后加入20千克，第二次倒出油的1/6多5千克，这时桶里剩下油95千克。

问原来桶里有油多少千克？

从最后条件出发思考：

95＋5＝100（千克），即为现存油的5/6，故现在桶里有油100÷5/6＝120，再从第一个条件思考，120－20＝100（千克），即为原存油的2/3，因此，原来桶里有油100÷2/3＝150（千克）。

综合算式：

［（95＋5）÷（1－1/6）－20］÷（1－1/3）＝150（千克）

五、借助线段图找出解题方法

分数应用题的数量关系比较抽象、隐蔽，如果根据题意画出线段图，可使抽象变具体，隐蔽明朗化，从而借助线段图揭示的数量关系可直观地找出解题方法，甚至有的题还可找到简捷的解法。

例：

甲乙两人共存人民币若干元，其中甲占3/5，若乙给甲60元后，则乙余下的钱占总数的1/4，甲乙两人各存人民币多少元？

60元的对应分率是（1－3/5－1/4），于是可求出甲乙两人共存人民币多少元，进而可求出甲乙两人各存人民币多少元。

60÷（1－3/5－1/4）＝400（元）……甲乙两人共存

400×3/5＝240（元）……甲

400×（1－3/5）＝160（元）……乙

或400－240＝160（元）

六、抓住不变量找出解题方法

对于标准量不统一的分数应用题，如果我们能从题中找到一个不变量，就以不变量为突破口，便能够很快找到解题方法。

例：

一个车间有工人360人，其中女工占3/5，后来又招进一批女工，这时女工人数占全车间工人总人数的5/8，又招进女工多少人？

从题中可知，女工人数起了变化，引起全车间工人总人数起了变化，但是男工人数始终没有增减，因此，抓住男工人数没有变化这个不变量来分析。

当全车间工人为360人时，女工占3/5，则男工占1－3/5＝2/5，为360×2/5＝144（人）。

又招进一批女工后，女工人数占这时全车间工人总人数的5/8，则男工人数占这时全车间工人总人数的1－5/8＝3/8，因此，这时全车间有工人144÷3/8＝384（人）。

原来全车间有工人360人，现在增加到384人，增加的原因是由于招进了一批女工，故又招进女工384－360＝24（人）。

综合算式：

360×（1－3/5）÷（1－5/8）－360＝24（人）

七、通过转变条件找出解题方法

有些分数应用题，可以通过改变看问题的角度，将题中某些已知数量转换成与之有关联的另一个数量，使之成为一个较为熟悉的简单的问题，从而找到解题的新方法。

例：

有两缸金鱼，如果从第一缸取出15尾放入第二缸，这时第二缸内的金鱼正好是第一缸的5/7，已知第二缸内原有金鱼35尾，第一缸内原有金鱼多少尾？

这道题可以转化为熟悉的“归一”问题。

题中的5/7根据分数的意义，表示把这时第一缸内的金鱼尾数平均分成7份，这时第二缸内金鱼的尾数占其中的5份，这5份共35＋15＝50（尾），则每份是50÷5＝10（尾），因此，这时第一缸内有金鱼10×7＝70（尾），那么第一缸内原有金鱼70＋15＝85（尾）。

综合算式：

（35＋15）÷5×7＋15＝85（尾）

拓展提高：

鬼谷算

我国汉代有位大将，名叫韩信。

他每次集合部队，只要求部下先后按l～3、1～5、1～7报数，然后再报告一下各队每次报数的余数，他就知道到了多少人。

他的这种巧妙算法，人们称为鬼谷算，也叫隔墙算，或称为韩信点兵，外国人还称它为“中国剩余定理”。

到了明代，数学家程大位用诗歌概括了这一算法，他写道：

三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，

七子团圆月正半，除百零五便得知。

这首诗的意思是：

用3除所得的余数乘上70，加上用5除所得余数乘以21，再加上用7除所得的余数乘上15，结果大于105就减去105的倍数，这样就知道所求的数了。

比如，一篮鸡蛋，三个三个地数余1，五个五个地数余2，七个七个地数余3，篮子里有鸡蛋一定是52个。

算式是：

1×70＋2×21＋3×15＝157

157－105＝52（个）

请你根据这一算法计算下面的题目。

新华小学订了若干张《中国少年报》，如果三张三张地数，余数为1张；五张五张地数，余数为2张；七张七张地数，余数为2张。

新华小学订了多少张《中国少年报》呢？