届高三数学二轮复习冲刺提分作业第一篇专题突破专题五立体几何刺第2讲空间点线面的位置关系文.docx

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届高三数学二轮复习冲刺提分作业第一篇专题突破专题五立体几何刺第2讲空间点线面的位置关系文

第2讲　空间点、线、面的位置关系

A组　基础题组

时间:

40分钟　

分值:

65分　

1.（2017湖北七市（州）联考,5）设直线m与平面α相交但不垂直,则下列说法中正确的是（　　）

A.在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直

B.过直线m有且只有一个平面与平面α垂直

C.与直线m垂直的直线不可能与平面α平行

D.与直线m平行的平面不可能与平面α垂直

2.（2017湖南湘中名校联考）已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,下列命题中正确的是（　　）

A.若m⊥α,n⊥α,则m∥n

B.若m∥α,m∥β,则α∥β

C.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β

D.若m∥α,n∥α,则m∥n

3.（2017新疆第二次适应性检测）已知m,n是不同的直线,α,β,γ是不同的平面,有以下四个命题:

①若α∥β,α∥γ,则β∥γ;

②若α⊥β,m∥α,则m⊥β;

③若m⊥α,m∥β,则α⊥β;

④若m∥n,n⊂α,则m∥α.

其中正确命题的序号是（　　）

A.①③B.①④C.②③D.②④

4.（2017四川成都第一次诊断性检测）在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面α与棱AB,AC,A1C1,A1B1分别交于点E,F,G,H,且直线AA1∥平面α.有下列三个命题:

①四边形EFGH是平行四边形;②平面α∥平面BCC1B1;③平面α⊥平面BCFE.其中正确的命题有（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.①②B.②③

C.①③D.①②③

5.（2017广东惠州第三次调研）如图是一个几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F分别为PA,PD的中点,在此几何体中,给出下面4个结论:

①直线BE与直线CF异面;

②直线BE与直线AF异面;

③直线EF∥平面PBC;

④平面BCE⊥平面PAD.

其中正确的有（　　）

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.（2017云南11校跨区调研）已知m,n是两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,有下列四个命题:

①若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n;

②若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β;

③若m∥α,n∥β,m∥n,则α∥β;

④若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n.

其中所有正确命题的序号是　　　　.

7.已知α,β是两个不同的平面,有下列三个条件:

①存在一个平面γ,γ⊥α,γ∥β;

②存在一条直线a,a⊥β;

③存在两条垂直的直线a,b,a⊥β,b⊥α.

其中,所有能成为“α⊥β”的充要条件的序号是　　　　.

8.（2017湖北武汉武昌调研）在矩形ABCD中,AB

①存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直;

②存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直;

③存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直.

其中正确结论的序号是　　　　.（写出所有正确结论的序号）

9.（2017辽宁沈阳质量检测

（一））在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C⊥底面ABC,AA1=A1C=AC=AB=BC=2,且点O为AC中点.

（1）证明:

A1O⊥平面ABC;

（2）求三棱锥C1-ABC的体积.

10.（2017课标全国Ⅲ,19,12分）如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.

（1）证明:

AC⊥BD;

（2）已知△ACD是直角三角形,AB=BD.若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.

B组　提升题组

时间:

25分钟　

分值:

35分　

1.（2016课标全国Ⅱ,2,5分）平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　

2.（2017河南郑州质量预测

（一））如图,直三棱柱ABC-A'B'C'中,△ABC是边长为2的等边三角形,AA'=4,点E,F,G,H,M分别是边AA',AB,BB',A'B',BC的中点,动点P在四边形EFGH内部运动（包括边界）,并且始终有MP∥平面ACC'A',则动点P的轨迹长度为（　　）

A.2B.2πC.2

D.4

3.（2017河南洛阳第一次统考）如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AB∥CD,AB⊥BC,DC=BC=

AB=1,点M在线段EC上.

（1）证明:

平面BDM⊥平面ADEF;

（2）若AE∥平面MDB,求三棱锥E-BDM的体积.

4.如图1,在等腰梯形PDCB中,PB∥DC,PB=3,DC=1,∠DPB=45°,DA⊥PB于点A,将△PAD沿AD折起,构成如图2所示的四棱锥P-ABCD,点M在棱PB上,且PM=

MB.

（1）求证:

PD∥平面MAC;

（2）若平面PAD⊥平面ABCD,求点A到平面PBC的距离.

答案精解精析

A组　基础题组

1.B　对于A,在平面α内有无数条直线与直线m垂直,这些直线是互相平行的,A错误;对于B,过直线m必有且只有一个平面与平面α垂直,B正确;对于C,类似于A,在平面α外有无数条直线垂直于直线m并且平行于平面α,C错误;对于D,与直线m平行且与平面α垂直的平面有无数个,D错误.故选B.

2.A　若m⊥α,n⊥α,则m∥n,所以A对;若m∥α,m∥β,则α,β可能相交或平行,B错;若α⊥γ,β⊥γ,则α,β可能相交或平行,C错;m∥α,n∥α,则m,n可能平行,相交或异面,D错,故选A.

3.A　对于①,因为平行于同一个平面的两个平面相互平行,所以①正确;对于②,当直线m位于平面β内,且平行于平面α,β的交线时,满足条件,但显然此时m与平面β不垂直,因此②不正确;对于③,在平面β内取直线n平行于m,则由m⊥α,m∥n,得n⊥α,又n⊂β,因此有α⊥β,③正确;对于④,直线m可能位于平面α内,显然此时m与平面α不平行,因此④不正确.综上所述,正确命题的序号是①③,选A.

4.C　AA1∥平面α,平面α∩平面AA1B1B=EH,所以AA1∥EH,同理,AA1∥GF,所以EH∥GF,又ABC-A1B1C1是直三棱柱,易知EH=GF=AA1,所以四边形EFGH是平行四边形,故①正确;若平面α∥平面BB1C1C,由平面α∩平面A1B1C1=GH,平面BCC1B1∩平面A1B1C1=B1C1,知GH∥B1C1,而GH∥B1C1不一定成立,故②错误;由AA1⊥平面BCFE,结合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE,又EH⊂平面α,所以平面α⊥平面BCFE.综上可知,选C.

5.B　将展开图还原为几何体（如图）,因为E,F分别为PA、PD的中点,所以EF∥AD∥BC,即直线BE与CF共面,①错;因为B∉平面PAD,E∈平面PAD,E∉AF,所以BE与AF是异面直线,②正确;因为EF∥AD∥BC,EF⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以EF∥平面PBC,③正确;平面PAD与平面BCE不一定垂直,④错.故选B.

6.答案　②④

解析　对于①,当两个平面互相垂直时,分别位于这两个平面内的两条直线未必垂直,因此①不正确.易知②正确.对于③,分别与两条平行直线平行的两个平面未必平行,因此③不正确.对于④,由n∥β得,在平面β内必存在直线n1平行于直线n;由m⊥α,α∥β得m⊥β,m⊥n1;又n1∥n,因此有m⊥n,④正确.综上所述,所有正确命题的序号是②④.

7.答案　①③

解析　对于①,存在一个平面γ,γ⊥α,γ∥β,则α⊥β,反之也对,即“存在一个平面γ,γ⊥α,γ∥β”是“α⊥β”的充要条件,所以①对;易知②存在一条直线a,a⊥β是α⊥β的既不充分又不必要条件;对于③,存在两条垂直的直线a,b,则直线a,b所成的角为90°,因为a⊥β,b⊥α,所以α,β所成的角为90°,即α⊥β,反之也对,即“存在两条垂直的直线a,b,a⊥β,b⊥α”是“α⊥β”的充要条件,所以③对.

8.答案　②

解析　如图,若AC⊥BD,已知CF⊥BD,AC∩CF=C,那么BD⊥平面ACF,则BD⊥AF,这与平面内,过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾,所以①不正确;当点A在平面BCD内的射影落在线段BC上时,AB⊥CD,所以存在某个位置使AB⊥CD,所以②成立;若AD⊥BC,已知BC⊥CD,CD∩AD=D,所以BC⊥平面ACD,所以BC⊥AC,那么AB>BC,这与已知矛盾,所以③不正确.

9.解析　

（1）证明:

因为AA1=A1C,且O为AC中点,所以A1O⊥AC,又平面AA1C1C⊥平面ABC,平面AA1C1C∩平面ABC=AC,且A1O⊂平面AA1C1C,∴A1O⊥平面ABC.

（2）∵A1C1∥AC,A1C1⊄平面ABC,AC⊂平面ABC,

∴A1C1∥平面ABC,即C1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离.

由

（1）知A1O⊥平面ABC且A1O=

∴

S△ABC·A1O=

×2×

=1.

10.解析　

（1）证明:

取AC的中点O,连接DO,BO.

因为AD=CD,所以AC⊥DO.

又由于△ABC是正三角形,所以AC⊥BO.

从而AC⊥平面DOB,故AC⊥BD.

（2）连接EO.

由

（1）及题设知∠ADC=90°,所以DO=AO.

在Rt△AOB中,BO2+AO2=AB2.

又AB=BD,所以

BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故∠DOB=90°.

由题设知△AEC为直角三角形,所以EO=

AC.

又△ABC是正三角形,且AB=BD,所以EO=

BD.

故E为BD的中点,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的

四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的

即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1∶1.

B组　提升题组

1.A　如图,过点A补作一个与正方体ABCD-A1B1C1D1相同棱长的正方体,易知平面α为平面AF1E,则m,n所成角为∠EAF1或其补角,因为△EAF1为正三角形,所以sin∠EAF1=sin60°=

故选A.

2.D　连接MF,FH,MH,易证MF∥平面AA'C'C,FH∥平面AA'C'C,又MF⊂平面MFH,HF⊂平面MFH,MF∩HF=F,所以平面MFH∥平面AA'C'C,所以点P的运动轨迹是线段FH,其长度为4,故选D.

3.解析　

（1）证明:

∵DC=BC=1,DC⊥BC,∴BD=

在梯形ABCD中,AD=

AB=2,

∴AD2+BD2=AB2,∴∠ADB=90°.

∴AD⊥BD.

又平面ADEF⊥平面ABCD,

平面ADEF∩平面ABCD=AD,

BD⊂平面ABCD,

∴BD⊥平面ADEF.

又BD⊂平面BDM,

∴平面BDM⊥平面ADEF.

（2）如图,连接AC,设AC∩BD=O,连接MO,

∵平面EAC∩平面MBD=MO,AE∥平面MDB,AE⊂平面EAC,

∴AE∥OM.

又AB∥CD,∴

=2,

∴S△EDM=

S△EDC=

×1×

∵ED⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,

∴DE⊥BC.

∵AB∥CD,AB⊥BC,∴BC⊥CD.

又ED∩DC=D,∴BC⊥平面EDC.

∴VE-BDM=VB-EDM=

S△EDM·BC=

×1=

4.解析　

（1）证明:

在四棱锥P-ABCD中,连接BD交AC于点N,连接MN,依题意知AB∥CD,∴△ABN∽△CDN,

又易知PA=1,AB=2,∴

=2,

∵PM=

MB,∴

=2,

∴在△BPD中,MN∥PD,

又PD⊄平面MAC,MN⊂平面MAC,

∴PD∥平面MAC.

（2）解法一:

∵平面PAD⊥平面ABCD,且两平面相交于AD,PA⊥AD,PA⊂平面PAD,∴PA⊥平面ABCD,

∴VP-ABC=

S△ABC·PA=

×1=

∵AB=2,AC=

∴PB=

PC=

BC=

∴PB2=PC2+BC2,故∠PCB=90°,

设点A到平面PBC的距离为h,

∴VA-PBC=

S△PBC·h=

∵VP-ABC=VA-PBC,∴

h,解得h=

故点A到平面PBC的距离为

解法二:

∵平面PAD⊥平面ABCD,且两平面相交于AD,PA⊥AD,PA⊂平面PAD,∴PA⊥平面ABCD,

∵BC⊂平面ABCD,∴PA⊥BC,

∵AB=2,AC=

BC=

∴AB2=AC2+BC2,

∴∠ACB=90°,即BC⊥AC,

又PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,

∴BC⊥平面PAC,

过点A作AE⊥PC于点E,则BC⊥AE,

∵PC∩BC=C,PC,BC⊂平面PBC,

∴AE⊥平面PBC,

∴点A到平面PBC的距离AE=

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