全国2卷理科数学试题及详解.docx
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全国2卷理科数学试题及详解
2019全国2卷理科数学试题
一、选择题：
本题共12小题.每小题5分，共60分。
1设集合A=[x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},JjlJAHB=（.）
A.（—oof1）B.（—2,1}C.（—3,—1）D.（3^+8）
2.设z=-3+2i,则在复平画云对应的点位沢）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3•已知AB=（2,3）,=（3,t）,\BC\=1,则刁®•岚=（C）
A.-3B.-2C.2D.3
42019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系。
为解决这个问题.发射了嫦娥四号中继星“鹉桥乙鹊桥沿看围绕地月拉格朗日-点的轨道运行，-点是平衡点，位于地月连线的延长线上，设地球质量为
月球质量为M2,地月距离为R,D点到月球的距离为厂，根据牛顿运动定理和万有引力定律，厂满足方程：
设由于a的值很小.因此在近似计算中蔦严彩3启贝叶的近似值为（））
5.演讲比赛共有9为评委分别给出某选于的原始评分，评定该选于的成绩时，从9个
原始评分中去掉1个最高分、一个最低分，得到7个有效评分。
7个有效评分与9个
原始评分相比，不变的数字特征是（）
A.中位数B.平均数C.方差D.极差
6•若a>b,则（）
A」n（a-b）>0B.3a<3bC.a3-&3>0D.|a|>|b|
C.a,卩平行于同一条直线
D.a.卩垂直于同一平面
8.若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆話+手=1的一个焦点，贝加=（）
A・2B・3C.4D.8
D.f（x）=sin|x|
A.f（x）=|cos2x|B.f（x）=|sin2x|C.f（x）=cos|x|
10已知aG（0冷）.2sin2a=cos2a+1，则sina=•）
心B?
C.晋D•晋
.设F为双曲线C：
J-^=l（a>0,d>0）的右焦点，0为坐标原点，以OF为直径
的圆与圆%2+y2=a?
交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为（）
A.\[2B.73C.2D.V5
12设函数f（x）的定义域为R,满足f（x+l）=2f（x）,且当X6（0,1]时,f（x）=x（x-1）.
若对任意xE（-co,m],都有f（x）>-5,则m的取值范围是（）
A.（-8,弓B.（―8,f]C.（-8,夕]D.（-8,自
二、填空题：
本题共4小题.每题5分，共20分。
13我国高铁发展迅速，技术先进:
经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的
正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98有10个车次的正点率为0.99,则经
停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为
14.已知f（x）是奇函数，且当xvO时，f（x）=-Hx,若/（加2）=8,则。
=
15△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=±则△ABC
的面积为
16中国有悠久的金石文化，印信时金石文化的代表之一。
印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员孤独信的印信形状是“半正多面体■（图1）.
半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体。
半正多面体体现了数
学的对称美。
图2是一个梭数为48的半正多面体.它的所有顶点都在同一正方
体的表页上，且此正方体的棱长为1,则该半正多面体共有个面’其棱长
为（本题第一空2分.第二空3分。
）
解答题：
共70分。
第17~21题为必考题。
第22、23题为选考题。
（-）必考题：
共60分
17.（12分）如图，长方体ABCD-4辺疋16的底面4BCD是正方形、
点E在棱A4］上，BE1ECX.
（1）证明：
BE丄平面E®G；
⑵若AE=AYEf求二面角B-EC-G的正弦值.
18（12分）11分制乒乓球比赛，每赢—球得1分.当某局打成io：
10平后.每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束。
甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的槪率为05乙发球时甲得分的概率为04各球的结果相互独立。
在某局双方10:
10后,甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.
（1）求P（X=2）;
（2）求事件伙=4且甲获胜■的概率。
19（12分）已知数列｛aJ和｛bj满足也=1,bj=0t4an+1=3an-bn+4r4dn+1=3bn-an-4.
⑴证明:
｛an+bn）是等比数列，（an-bn｝是等差数列；⑵求仏｝和低｝的通项公式
20（12分）已知函数f（x）=lnx-吉⑴讨论f（x）的单调性并证明f（x）有且仅有两个零点；
（2）设X。
是/•（“）的一个零点，证明曲线y=hix在点4（x0J/ix0）处的切线也是曲线y=e*的切线。
21.（12分）已知点A（-2,0）.B（2,0）,动点M（x,y）满足直线AM与BM的斜率之积为一扌.
记M的轨迹为曲线C.（l）求C的方程.并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P,Q两点，点P在第一象限，PE丄x轴，垂足为E,
连结QE并延长交C与点G.（i）证明：
△PQG是直角三角形；（ii）求△PQG面积的最大值.
二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22•【选修4-4：
坐标系与参数方程】（10分）
在极坐标系中，0为极点，点M（po，&o）（Po>O）在曲线C：
p=4sin0±.直线/过点
A（4,0）且与OM垂直，垂足为P.
（1）当&o=扌时求Po及/的极坐标方程；
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.
23.【选修4-5：
不等式选讲】（10分）已知f（x）=|x-a|x+|x-2|（x-a）.
（1）当a=l时，求不等式f（x）vo的解集；
⑵若xe（-8,1）时，f（x）v0,求a的取值范围.
参考答案：
2019全国2卷理科数学试题
一、选择题：
本题共12小题.每小题5分，共60分。
1设集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-KO},则ACB=（A）
A.（-8,1）B.（-2,1）C.（-3,-l）D.（3,+oo）
解析：
•••A={x|x2-5x+6>0}=[x\x<2或x>3）,B=[x\x<1},
.%AHB={x|x<1],选A
2•设z=-3+2i,则在复平面Z对应的点位讯C）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
解析：
•••z=-3+2i,z=-3-2i,对应点（-3,-2）位于复平面第三象限.选C
3•已知AB=（2,3）,4C=（3,t）,\BC\=1,则万E•荒=（C）
A.—3B.—2C.2D.3
解析：
PC=AC-AB=（1^-3）,.-.[B可=“+（t_3）2=1,.-.t=3
・•・BC=（1,0）,AB-BC=2,选C
42019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软看陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系。
为解决这个问题’发射了嫦娥四号中继星“鹊桥二鹊桥沿看围绕地月拉格朗日厶2点的轨道运行，厶2点是平衡点，位于地月连线的延长线上•设地球质量为
月球质星为M2.地月距离为R,s点到月球的距离为厂，根据牛顿运动定理和万有引力定律.厂满足方程：
设a=£由于a的值很小.因此在近似计算中（爲;°彩3代贝叶的近似值为（D）
-...（..1X23a3+3a4+a5Bo3c»r'
•••M2=M「（l+a-而正）a=M「（"a）2彩Ml•3a=3M】•屈
5演讲比赛共有9为评委分别给出某选手的原始评分，评定该选于的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、一个最低分，得到7个有效评分。
7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（A）
解析：
不妨把9个原始评分从小到大排序记作：
%Px2,…，和去掉®和剩余7个
有效评分为，耳乃，…，®由数字特征定义知，不变的数字特征是中位数’选/
6若a>b,则（C）
A.ln（a-b）>0B.3a<3bC.a3-Z?
3>0D.|a|>|b|
解析：
由函数y=Inx,y=3*,y=xty=|x|的基本性质知，当a>b时.只有a3-b3
>o成立，选c
7•设a,卩为两个平面.则a||卩的充要条件是（B）
A.a内有无数条直线与卩平行B.a内有两条相交直线与卩平行
C.a,卩平行于同一条直线D.a,卩垂直于同一平面
解析：
由面面平行的判定定理知，B正确，选B
8.若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆愛+普=1的一个焦点，贝IJp=（D）
A.2B.3C.4D.8
解析：
抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F（?
o）,所以椭圆焦点在x轴上.由题知，
3p=p+（£）2,p2=8p,又p>0,p=8,选D
解析：
由y=|cos2x|,y=|sin2x|,y=cos|x|.y=sin|x|的函数图象可知，周期为？
且
在区间（F9单调递增的函数是y=|cos2x|,选A
又aCsina=y,选B
10已知aG（0冷），2sin2a=cos2a+1,则sina=（B）
A.i
B.更C.吃D.秀
535
解析：
•・•2sin2a=cos2a+1,4sinacosa=2cos2a,sina=^cosa9
•••sin2a=扌（1—sin2a）#.-.sin2a=
11设F为双曲线C：
石—£=l（a>0,b>0）的右焦点.0为坐标原点.以OF为直径
的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若\PQ\=\OF\.则C的离心率为（4）
A.V2B.V3C.2D.V5
解析：
由题知，|PQ|=|OF|,•••2y=c,.-.c4=4a2b2=4a2（c2-a2）.
c4—4a2c2+4a4=0,（c2—2a2）2=0,.-.c2—2a2=0,鼻=2,•••£=V5,选4aa
12•设函数f（x）的定义域为R•满足f（x+l）=2f（x）,且当x6（0,l]时，f（x）=x（x-1）.
若对任言xE（-co,m],都有f（x）则m的取值范围是〔B）
A.（-oo,;]B.（一8,勺：
（一8,却D.（-oo,j]
解析：
•:
f（x+1）=2f（x）,••・f（x）=2/（%一l）,/（x）=+1）
vxE（0,1]时，f（x）=x（x-1）>-i,
xE（1,2]时，f（x）=2f（x-1）=2（%-1）（%-2）>-i
xe（2,3]时，f（x）=2f（x-1）=22（x-2）（x-3）>-1
6（n,n+l]（neN）时，f（x）=2n（x—n）（x—n—1）>—2n"2,
xW（—l,O]^J/（x）=j/（x+1）=j（x+l）x>—
Xe（-2,-1]时.f（x）=J（龙+1）=評+2）（x+1）>-^
2n+a，
故当xe（2,3］时，令f（x）=22（x-2）（x-3）=-|,得*=£%=±结合图象.••xG（-oo,Z］时，都有都有f（x）>-|,m<选B
二、填空题：
本题共4小题.每题5分.共20分。
13我国高铁发展迅速，技术先进。
经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为
解析：
平均正点率估计值为0.97X啓十0.98X孕十0.99X弓=0.98.填0.98404040
14.已知f（x）是奇函数，且当xv0时，f（x）=—eu,若几加2）=8,则。
=
解析：
•・•已知f（x）是奇函数，且当xv0时，f（x）=-ea\
f（ln2）=—f（—Zn2）=e~aln2==（扌）=8,.-.a=—3,填一3
15AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=扌,则△ABC的面积为
解析：
•・•b=6,3=2c,B=£,由余弦定理d2=a2+c2-2accosB,知
36=4c+以—2•2c•c•-=3c^,・••c=2\^3,a=4>/3
2
AABC的面积S=^acsinB=4\/3•2>/3•y=6屈，填6丽
［&中国有悠久的金石文化，印信时金石文化的代表之一。
印信的形状多为长方体、
正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员孤独信的印信形状是“半正多面体"（图1）.
半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体。
半正多面体体现了数学的对称美。
图2是一个棱数为48的半正多面体.它的所有顶点都在同一正方体的表面上，且此正方体的棱长为1,则该半正多面体共有个面，其棱长
为（本题第一空2分.第二空3分。
）
设所求棱长为a则由题知a+y/2a=1八・・a=\[2-1.
第一空填26,第二空填迈—1
3.解答题：
共70分。
第17~21题为必考题。
第22、23题为选考题〉
（-）必考题：
共60分
17.（12分）
如图，长方体ABCD-^BGS的底面ABCD是正方形、
点E在棱A4]上，EE丄EC、.
（1）证明：
BE丄平面EBG；
⑵若AE=ArE,求二面角B-EC-C]的正弦值.
解析：
⑴在正方体ABCD—力疋疋辺1中.丄平面ABB^
BE平面BrCi丄BE,XvBE丄EC「ClE：
=
且BiC19ECi平面EBS・・・BE丄平面EBC
（2）v底面肋CD是正方形，若AE=4]E.由⑴知BE丄平面E^Q.贝IjBE丄
•••△ABE为等腰直角三角形.取AB=BC=1,则AE=1.CC、=2
以C为坐标原点，以CD.CB,CQ分别为xfyfz轴如图建立空间直角坐标系C-xyz.
则C（0,0,0）,B（0,1,0）,E（m），G（0,0,2）,
~CE=（1,1,1）,丽=（04,0）,cq=（0,0,2）设平面CEB的法向量并=（x,y,z）,则
0,0-=TES-C?
••in*
pt+y+z=
Iy=0
，恥：
=b则y=o,z=-1
•••n=（1,0,—1）
设平面CECi的法向Sin=（a,b,c）,则
X2
（m-CE=0瓦=0川
.•.诳=（1,70）
ttmn11
.■.cos=j^=—=-
a。
，取a=1，则y=T，z=0
▲
z-
・••二面角B-EC-q的正弦值为字
18.（12分）
11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分.当某局打成10:
10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束。
甲、乙两位同学进行单打比赛假设甲发球时甲得分的概率为05乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立。
在某局双方10:
10后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束。
⑴求P（X=2）;
（2）求事件=4且甲获胜•的概率。
解析：
（1）用甲表示甲发球时甲得分，用乙表示乙发球时乙得分.用帀表示甲发球时乙得分.用三表示乙发球时甲得分，•••甲先发球只二2,•••甲Z为1012或12江0时比赛结束。
则P（X=2）=P（^Z）+P库乙）=0.5X0.44-（1-0.5）x（1-0.4）=0.5
（2）•••甲先发球’X=4且甲获胜，则甲：
乙为13:
11时比赛结束
贝|JP（x=4且甲获胜）=P（吊乏伊习+P（甲乙甲2）
=（1-0.5）x0.4X0.5X0.4+0.5x（l-0.4）X0.5X0.4=0.1
...事件咲=4且甲获胜■的概率为0.1
19.（12分）
已知数列｛—｝和｛b“｝满足a】=l,b]=0,4an+1=3an—bn+4,4bn+1=3bn—an—4.
（1）证明：
｛an+bj是等比数列，[an-b』是等差数列；
（2）求｛aj和｛如｝的通项公式.
解析：
⑴•••4an+1=3an一％+4①;4bn+1=3bn-an-4②.
1+2得.4（a“+i+bn+1）=2（a„+b”），即an+i+bn+1=-（a„+bj
①-2得:
4（an+1-bn+J=4（an+b“）+8,即an+1+bn+1=a*+人+2
又5=l,Z?
i=0,a】+知=1,a】一加=1
•••｛5+九｝是首项为1・公比为扌的等比数列，｛«„-bn）是首项为1,公差为2的等差数列•
（2）由⑴知,吟+虬=^Z7，a„—bn=2n—1,
Qn=|[（^n+bn）+（s—%）]=/+“一£,bn=|[（an+bj—（an—bj]=穆一71+扌
20.（12分）
已知函数f（x）=lnx-斗
x—1
（1）讨论f（x）的单调性，并证明f（x）有且仅有两个零点；
（2）设X。
是/'（X）的一个零点，证明曲线y=血在点A（x0,lnx0）处的切线也是曲线y=尸的切线。
解析：
（1）・.订（乂）=12-竺=!
磁一丄一1仗＞0直工1）
X—1X—1
•••广（兀）=扌+召＞0,.汀（*）在（0,1）上单调递増，在（1,+8）上单调递增.：
虑）=-1-芒=占＞°』（吉）=暑-2＜0/（佝=扌_需＜0』@2）=2_雯＞0•••f（x）在（0,1）和（1,+8）上各有一个零点f（x）有且仅有两个零点.
（2）设勺是f（%）的一个零点，则15-占一1=0
・••y=lnx,y/=丄，••・y=Er在点A（x0flnx0）处的切线斜率为厶
XXq
.・.y=bir在*4（x0Jnx0）处的切线方程为:
y一lnx0=—｛x-x0）,
“0
即y=^x+Znxo-l=^x+^
设该切线与y=以切于8匕冰），又y‘=et=Lt且=2_上+土
XqXQX
—tH——,t=1—-=:
1=—lnxQ9
X0Xox0-lx0-lx0-l
•••曲线y=加x在点A（xo，bixo）处的切线也是曲线y=e"的切线且切点为B（-lnx0,^）
21.（12分）
已知点A（-2,0）,B（2,0）,动点M（x,y）满足直线AM与BM的斜率之积为-扌.
记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P,Q两点，点P在第一象限.PE丄x轴，垂足为E,
连结QE并延长交C与点G.
⑴证明：
APQG是直角三角形；
（ii）求APQG面积的最大值.
解析：
0设直线AM与BM的斜率分别为kAgkBM.v点A（—2,0）.B（2,0）,动点M（x,y）
=土'三7=骑三=~2r•"•〒+»=1（"式±2）,」・曲线C是去掉左右顶点
A（-2,0）.B（2,0）,长轴长为4,焦点为（皿,0）的椭圆.
⑵⑴设P（x0,y0）,则E（xo,O）,Q（-xo,-yo）,由题知直线PQ斜率存在且不为0.贝IJ直线PQ的方程为y=辭直线QE的方程为厂話（兀一耳）=佥兀一塔
且Xq4-2^q=4,x0>Ofyo>0,由？
+牛=1与『=总％-牛联立得
（2%0+）/）x2-2x0y^x+%oyo一8於=0,解得、x=-xOtxG=辔語評』g=
“PQ丄PG,MPQG是直角三角形.Ao
•••直线pg的斜率为“蕊；°
"6+>'6
~〜2丄・・2-乂0
2xoyo+y2
（Ii）由（i）得|PQ|=2j坊+y£|PG|=2』+必，小PQG的面积
O_llpnllprl=2兀0为（卅+元）_（云+比）_爲+必）
22xJ+y?
（坊+2元）（2卅+y；）x?
yj+（x5+yj）2
令t=:
[°=严+严二2.则S=在[2,+oo）单调递减.•・•y0=%0=¥时’S取得最大值,
心）‘0xqyo丄s
最大值为#••••△PQG面积的最大值为
二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做.则按所做的第一题计分。
22.【选修4-4：
坐标系与参数方程】（10分）
在极坐标系中，0为极点，点M（po,8o）（po>O）在曲线C：
p=4sin0±.直线2过点
A（4,0）且与OM垂直，垂足为P.
（1）当&o=扌时，求必及!
的极坐标方程；
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.
解析：
（】）•・•点M（po，&o）（Po>0）在曲线C：
p=4sin0±,当时.p0=4sin^=2^3
•••|OP|=|OA|cos扌=2.诙（p,0）,则pcos©_令=\OP\=2,
•••直线1的极坐标方程为pCOS（8一专）=2
（2）设P（p,8）,则|OP|=|OA|cosB=4cos0,即p=4cos0
•••P在线段OM上，且AP丄OM.6e
•••点p轨迹的极坐标方程为P=4cos0,ee[^^]
23.【选修4・5：
不等式选讲】（10分）
已知f（x）=|x—a|x+|x—2|（x—a）.
（1）当3=1时，求不等式f（x）VO的解集；
⑵若xG（-8,1）时，f（x）V0,求a的取值范围.
解析：
（1）当a=1时.f（x）=|x-l|x+|x-2|（x-1）={（’_
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