第9讲年金终值和年金现值.docx
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第9讲年金终值和年金现值
3.年金终值与年金现值的计算
香港首富李嘉诚说过“一个人从此刻开始，每年存1.4获取每年均匀20%的投资回报率，40年后财产会增加为
万元，并都能投资到股票或房地产，
1亿零281万元”。
（1）年金的含义和种类
年金是指间隔期相等的系列等额收付款，往常记作A。
如间隔期固定、金额相等的分期付款赊购、分期偿还贷款、发放养老金、分期支付工程款以及每年同样的销售收入等。
一般年金
预支年金
递延年金
永续年金
【提示】
一般年金和付年金都是从第一期开始生等收付，二者的区是付年金生在期初。
一般年金生在期末，
（2）一般年金和年基金的算
①一般年金
F=A+A（1+i）+A（1+i
）2+⋯+A（1+i）n-1
（1）
将此公式两都乘以（
1+i
），
F（1+i）=A（1+i
）+A（1+i
）
2+⋯+A（1+i
）n
（2）
（2）-
（1）
Fi=A（1+i）nA，整理后得
【】
①
称作“年金系数”，作：
（
F/A
，
i
，n）
当n＞
1，年金系数与折率或期数同方向
。
②年金终值系数与复利终值系数关系以下：
=
【应用举例】
【例题】2018年1月16日，某人拟订了一个存款计划，计划从
2019年1月16日开始，每年
存入银行10万元，合计存款5次，最后一次存款时间是
2023年1月16日。
每次的存款限期都是
1
年，到期时利息和本金自动续存。
假定存款年利率为
2%，打算在
2024年1月16日拿出所有本金和
利息，则届时本利和共为多少？
（
F/A，2%，5）=5.2040，（F/P，2%，1）=1.02。
【剖析】依据题干描绘，画出此题表示图以下：
依据图形及要求此题解题步骤以下：
第一步：
2018年1月16日-2023年1月16
日的存进款切合一般年金的形式，因此可先将这
5
个10万元依据一般年金的形式折算到
2023年1月16日。
2023年1月16日的本利和=10×（F/A，2%，5）=10×5.2040=52.04（万元）
第二步：
日，中间间隔
2024年
将第一步计算出来的2023年1月16日的本利和依据复利形式折算到
1个计息期，使用1年期复利终值系数。
1月16日的本利和=52.04×（F/P，2%，1）=52.04×（1+2%）
2024年1月16
=53.08（万元）
【例题】
小王是位热情于民众事业的人，自
2005年
12月尾开始，他每年都要向一位失学少儿
捐献。
小王向这位失学少儿每年捐钱1000元，帮助这位失学少儿从小学一年级读完九年义务教育。
假定每年按期存款利率都是2%，则小王九年捐钱在2013年年终相当于多少钱？
（F/A，2%，
9
）
【剖析】
每年年终支付
1000元的款项，总计支付了
9年，属于一般年金的形式，
已知一般年金，求普
通年金终值
，利用（
F/A
，
i
，n）计算。
一般年金终值
F=1000×（
F/A
，
2%，
9）
=1000×
（元）
②年偿债基金的计算
年偿债基金是指为了在商定的将来某一时点清账某笔债务或聚集必定数额的资本而一定分次等
额形成的存款准备金。
（已知一般年金终值，求一般年金）偿债基金与年金终值互为逆运算，其计算公式为：
称作“偿债基金系数”，记作（A/F，i，n）。
【总结】
【应用举例】
【例题】小王是位热情于民众事业的人，自2005年12月尾开始，他每年都要向一位失学少儿
捐钱，帮其达成9年义务教育。
截止2013年年终小王累计捐钱9754.6元，请问小王向这位失学儿
童每年捐钱多少元，假定每年按期存款利率都是2%。
（F/A，2%，9）
【剖析】
已知一般年金终值9754.6元，求一般年金
一般年金
×（A/F，2%，9）×[
]=9754.6×
=1000
（元）
【剖析】
经过上述例题进一步查验了年金终值系数与偿债基金系数的关系，即互为倒数关系。
【例】某家划10年后一次性拿出50万元，作孩子的出国用。
假行存款年利率
5%，复利息，家划
1年后开始存款，每年存一次，每次存款数同样，共存款
10
次，每次存款多少？
（
F/A，5%，10）
【剖析】
本已知10年后的一般年金F，求一般年金A。
A×（F/A，5%，10）=50，A=3.98万元
（3）一般年金和年本回收①一般年金
利用复利将年金折到第
0年终，第1年年初
P=A×（1+i）-1+A×（1+i）-2+A×（1+i
）-3
+A×（1+i）-4
+⋯⋯+A×（1+i）-
n
（1）
（1）将式子两同乘以（
1+i），获取：
P（1+i）=A+A×（1+i）
-1+A×（1+i）-2+A×（1+i
）-3+A×（1+i
）-4+⋯+A×
（1+i）-（n-1）
（2）
（2）
（2）-
（1）获取：
Pi=A-A×（1+i）-n，整理后获取：
【结论】
（1）
称作“年金现值系数”，计作（P/A，i，n）
年金现金系数与折现率成反向改动；
年金现金系数与期数成同向改动。
（2）一般年金现值系数与复利现值系数的关系是：
=
【应用举例】
【例题】某人于
0.5%，从20×8年2
元，则该人20×8年
20×8年1月25日按揭贷款买房，年限为
月25日开始还款，每个月还一次，合计还款
1月25日贷款的金额为多少？
（P/A，
10年，年利率为6%，月利率为
120次，每次还款的金额为1.11万
0.5%，120）
【剖析】
已知一般年金，求一般年金现值。
一般年金现值=1.11×（P/A，0.5%，120）=1.11×90.08≈100（万元）
②年资本回收额
称作“资本回收系数”，计作（A/P，i，n）。
【例题】某人于20×8年1月25日按揭贷款买房，贷款金额为100万元，年限为10年，年利
率为6%，月利率为0.5%，从20×8年2月25日开始还款，每个月还一次，合计还款120次，每次
还款的金额同样，则每次还款额为多少？
（P/A，0.5%，120）
【剖析】
已知一般年金现值100万元，求一般年金A。
每次还款额A=100×（A/P，0.5%，120）=100×[1/（P/A，0.5%，120）=100×[1/90.08]=1.11（万元）
（3）一般年金现值和年资本回收额【总结】
（4）预支年金终值和预支年金现值的计算
预支年金与一般年金的差别仅在于付款时间的不一样。
若将n期预支年金向前延伸一期，则可看出（-1～n-1）恰好是n个时期的一般年金形式，如
图：
【总结】
预支年金现值
=一般年金现值×（
1+i
）=A×[（P/A，i，n）×（1+i
）]
预支年金终值
=一般年金终值×（
1+i
）=A×[（F/A，i，n）×（1+i
）]
【例题】某企业打算购置一台设施，有两种付款方式：
一是一次性支付500
万元，
二是每年
年初支付200万元，3年付讫。
因为资本不丰裕，企业计划向银行借钱用于支付设施款。
假定银行借钱年利率为5%，复利计息。
请问企业应采纳哪一种付款方式？
（F/P，5%，3）=1.1576；
（F/A，5%，3）=3.1525；
（P/A，5%，3）=2.7232。
（1）比较现值
一次性付款的现值为500万元
分期付款的预支年金现值=200×（P/A，5%，3）×（1+5%）=200×2.7232×1.05=571.
88（万元）
企业会选择一次性付款的方式。
【剖析】
（2）比较终值
一次性付款的复利终值=500×（F/P，5%，3）=578.8（万元）
分期付款的预支年金终值=200×（F/A，5%，3）×（1+5%）=200×3.1525×1.05=662.025（万元）
企业会选择一次性付款的方式。
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