23.[选修4—5:
不等式选讲](10分)已知函数f(x)=x-a+
1(a¹0).2a
(1)若不等式f(x)-f(x+m)£1恒成立,求实数m的最大值;
(2)当a<
1,函数g(x)=f(x)+2x-1有零点,求实数a的取值范围.2荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2018届高三2月联考理科数学参考答案题号答案1D2D3A4D5C6C7C8B9C10B11A12A
13.
22
1n14.(8-1)7
中,
15.
213
16.
16
27.
17.解:
(1)在DABD
ABBD=,
(1)sinÐADBsinÐBAD
………………2分………………4分
在DACD中,又
ACCD=,
(2)sinÐADCsinÐCAD
QsinÐADB=sinÐADC,sinÐBAD=sinÐDAC\
ABBD=………………6分ACDC
(此题没利用正弦定理且证明过程正确的,给2分)
222
(2)在DABC中,BC=2+1-2×2×1×cos120°=7
又QAB=BD=2,\BD=27,DC=7ACDC33
………………8分
222法一:
在DABD中,BD=AB+AD-2AB×ADcosÐBAD
(2247)2=22+AD2-2×2×ADcos60°,AD=或333
………………10分
在DACD中,DC>AC,\ÐADC<ÐDAC=60o,\ÐACD>ÐDAC,\AD>CD\AD=4
3
………………12分
法二:
222222故cosB=AB+BC-AC=2+(7)-1=52AB×BC2´2´727
………………10分
在△ABD中,由余弦定理得AD=AB+BD-2AB•BDcos∠ABD
æ27ö275=4+ç´ç÷-2´2´÷3327èø
2
2
2
2
=
49
………………12分
所以AD=2.3
18.
(1)证明:
取CD中点N,连结
MN、FN.因为N,M分别为CD,BC中点,所以MN∥BD.又BD⊂平面BDE,且MN⊄平面BDE,所以MN∥平面BDE,因为EF∥AB,AB=2EF,所以EF∥CD,EF=DN.所以四边形EFND为平行四边形.所以FN∥ED.又ED⊂平面BDE且FN⊄平面BDE,………………2分
所以FN∥平面BDE,又FN∩MN=N,所以平面MFN∥平面BDE.又FM⊂平面MFN,所以FM∥平面BDE.………………4分
(2)解:
取AD中点O,连结EO,BO.因为EA=ED,所以EO⊥AD.因为平面ADE⊥平面ABCD,所以EO⊥平面ABCD,EO⊥BO.因为AD=AB,∠DAB=60°,所以△ADB为等边三角形.因为O为AD中点,所以AD⊥BO.因为EO,BO,AO两两垂直,设AB=4,以O为原点,OA,OB,OE为x,y,z轴,如图建立空间直角坐标系O﹣xyz6分由题意得,A(2,0,0),B02,(30,),C(-4,23,0),D(﹣2,0,0),E02,(3),………………
F(-1,3,23).
DB=(2,23,0),DF=(1,3,23),CF=(3,-3,23),CB=(4,0,0)
设平面BDF的法向量为n=(x,y,z)则í
ìïn×DB=0ïîn×DF=0,即,í
ì3ïx+3y=0令x=1.则y=-,z=0所以3ïîx+3y+23z=0
n=(1,-
3,0).…8分3
设平面BCF的法向量为m=(x,y,z)
ìm×CB=0ì则ï,即,í3x-3y+23z=0令z=1.则y=2,x=0所以m=(0,2,1).…10íïm×CF=0îx=0î
分
\cos(m,n)=
m×nmn
=
5\二面角D-BF-C平面角的正弦值为5
255
…………………12分
19.解:
(1)数据整理如下表:
健康状况健康基本健康不健康尚能自理不能自理80岁及以上80岁以下
20200
45225
2050
1525
从图表中知采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况,80岁及以上应抽取:
8×2分
(2)在600人中80岁及以上长者在老人中占比为:
用样本估计总体,80岁及以上长者为:
66×80岁及以上长者占户籍人口的百分比为
1525=3人,80岁以下应抽取:
8×=5人.…………………15+2515+2515+20+45+201=6006
1=11万,6
11´100%=
2.75%.……………4分400
(3)用样本估计总体,设任一户籍老人每月享受的生活补助为X元,P(X=0)=
414759518517=,P(X=200)=´=,P(X=120)=´,556006005600600
……………8分
12551153,P(X=220)=´=,P(X=300)=´=56006005600600
则随机变量X的分布列为:
XP
EX=
0
120
200
220
300
45
95600
17600
5600
3600
0+120´95+200´17+220´5+300´3=28600
48
……………10分
全市老人的总预算为28×12×66×10=
2.2176×10元.政府执行此计划的年度预算约为
2.22亿元.……………12分
20.
(1)折痕为PP′的垂直平分线,则|MP|=|MP′|,由题意知圆E的半径为22,∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=22>|EP|,∴E的轨迹是以
E、P为焦点的椭圆,且a=
222∴b=a-c=1,∴M的轨迹C的方程为
……………2分
2,c=1,x2+y2=1.……………4分2
(2)l与以EP为直径的圆x+y=1相切,则O到l即直线AB的距离:
22
|m|k+1
2
=1,即m2=k2+1,……………5分ìx2ï+y2=1222由í2,消去y,得(1+2k)x+4kmx+2m﹣2=0,……………6分ïy=kx+mî
∵直线l与椭圆交于两个不同点,∴△=16km﹣8(1+2k)
(m﹣1)=8k>0,k>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-
222222
4km2m2-2,xx=,121+2k21+2k2
2
y1y2=(kx1+m)
(kx2+m)=kx1x2+km(x1+x2)+m=
2
1-k2,……………7分1+2k2
又OA×OB=x1x2+y1y2=
1+k221+k231££,∴£k2£1,,∴2221+2k31+2k4
114km22m2-22(k4+k2)SDAOB=´|AB|´1=´1+k2´()-4´=221+2k21+2k24(k4+k2)+1
设μ=k+k,则10分∵S△AOB关于μ在[,2]单调递增,∴
42
32m113£m£2,∴SDAOB==-,mÎ[,2],……………44m+122(4m+1)4
34
6262∴△AOB的面积的取值范围是[£SDAOB£,,].4343
………12分
21.解:
(1)a=2时,f(x)=x|x-2|+lnx=í
ì2x-x2+lnx,0 2îx-2x+lnx,x³2,ì-2x2+2x+1,0 ………4分
lnxìx-a+,x>aïlnxx
(2)g(x)=|x-a|+,=ílnxxïa-x+,0 当
a³e
时,则
g(x)=a-x+
lnxx,g/(x)=-1-
lnx1+<0x2x2,得
g(x)min=g(e)=a-e+
1;……6分elnx单调递增,g(x)min=g
(1)=1-a;
xlna当1 当a£1时,g(x)=x-a+综上所述:
1ìïa-e+e,a³eï=í1-a,a£1ïlnaï,1 ……8分……10分
g(x)min
……12分
22.解:
(1)由曲线C1的参数方程为í
ìx=2+2cosj(j为参数)îy=2sinj
22
消去参数得曲线C1的普通方程为(x-2)+y=4.曲线C2的极坐标方程为r=4sinq,\r=4rsinq,2
…………2分
\C2的直角坐标方程为x2+y2=4y,整理,得x2+(y-2)2=4.…………4分
(2)曲线C1:
(x-2)+y=4化为极坐标方程为r=4cosq,…………6分
22
设A(r1,a1),B(r2,a2),曲线C3的极坐标方程为q=a,0 10分
23.解:
(1)∵f(x)=x-a+
∴
p
11,∴f(x+m)=x+m-a+,2a2a,f(x)-f(x+m)=x-a-x+m-a£m
…………3分…………5分
∴
m£1,∴-1£m£1,∴实数m的最大值为1;
1ìï-3x+a+2a+1,x
(2)当a<时,g(x)=f(x)+2x-1=x-a+2x-1+22a=í-x-a+2a+1,a£x£2,ïï11ï3x-a+2a-1,x>2,î∴g(x)min
1-2a2+a+1æ1ö1=gç÷=-a+=£0,2a2aè2ø2
…………8分
1ì1ìa<0,ï0