全国 初中数学联赛试题参考答案和评分标准 1含答案.docx

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全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准1含答案

2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

说明：

评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.

第一试

一、选择题：

（本题满分42分，每小题7分）

1．已知，，，那么的大小关系是（）

A.B.C.D.

【答】C.

因为，，所以，故.又，而，所以，故.因此.

2．方程的整数解的组数为（）

A．3.B．4.C．5.D．6.

【答】B.

方程即，显然必须是偶数，所以可设，则原方程变为，它的整数解为从而可求得原方程的整数解为＝，，，，共4组.

3．已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE＝1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为（）

A．B．C．D．

【答】D.

过点C作CPBG，交DE于点P.因为BC＝CE＝1，所以CP是△BEG的中位线，所以P为EG的中点.

又因为AD＝CE＝1，ADCE，所以△ADF≌△ECF，所以CF＝DF，又CPFG，所以FG是△DCP的中位线，所以G为DP的中点.

因此DG＝GP＝PE＝DE＝.

连接BD，易知∠BDC＝∠EDC＝45°，所以∠BDE＝90°.

又BD＝，所以BG＝.

2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页（共5页）

4．已知实数满足，则的最小值为（）

A．.B．0.C．1.D．.

【答】B.

.

因为，所以，从而，故，因此，即.

因此的最小值为0，当或时取得.

5．若方程的两个不相等的实数根满足，则实数的所有可能的值之和为（）

A．0.B．.C．.D．.

【答】B.

由一元二次方程的根与系数的关系可得，，所以

，

.

又由得，所以，所以，所以.

代入检验可知：

均满足题意，不满足题意.

因此，实数的所有可能的值之和为.

6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数（数字可重复使用），要求满足.这样的四位数共有（）

A．36个.B．40个.C．44个.D．48个.

【答】C.

根据使用的不同数字的个数分类考虑：

（1）只用1个数字，组成的四位数可以是1111，2222，3333，4444，共有4个.

（2）使用2个不同的数字，使用的数字有6种可能（1、2，1、3，1、4，2、3，2、4，3、4）.如果使用的数字是1、2，组成的四位数可以是1122，1221，2112，2211，共有4个；同样地，如果使用的数字是另外5种情况，组成的四位数也各有4个.因此，这样的四位数共有6×4＝24个.

（3）使用3个不同的数字，只能是1、2、2、3或2、3、3、4，组成的四位数可以是1232，2123，2321，3212，2343，3234，3432，4323，共有8个.

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（4）使用4个不同的数字1，2，3，4，组成的四位数可以是1243，1342，2134，2431，3124，3421，4213，4312，共有8个.

因此，满足要求的四位数共有4＋24＋8＋8＝44个.

二、填空题：

（本题满分28分，每小题7分）

1．已知互不相等的实数满足，则_________．

【答】.

由得，代入得，整理得①

又由可得，代入①式得，即，又，所以，所以.

验证可知：

时；时.因此，.

2．使得是完全平方数的整数的个数为．

【答】1．

设（其中为正整数），则，显然为奇数，设（其中是正整数），则，即.

显然，此时和互质，所以或或解得.

因此，满足要求的整数只有1个.

3．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝40°，P为AB上一点，∠ACP＝20°，则＝．

【答】.

设D为BC的中点，在△ABC外作∠CAE＝20°，则∠BAE＝60°.

作CE⊥AE，PF⊥AE，则易证△ACE≌△ACD，所以CE＝CD＝BC.

又PF＝PA∠BAE＝PA60°＝AP，PF＝CE，所以AP＝BC，

因此＝.

4．已知实数满足，，，则＝．

【答】.

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因为，所以

.

同理可得，.

结合可得，所以.

结合，，可得.

因此，.

实际上，满足条件的可以分别为.

第二试（A）

一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积.

解设直角三角形的三边长分别为（），则.

显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长，下面先求的值.

由及得，所以.

由及得，所以.

又因为为整数，所以.……………………5分

根据勾股定理可得，把代入，化简得，所以

，……………………10分

因为均为整数且，所以只可能是解得……………………15分

所以，直角三角形的斜边长，三角形的外接圆的面积为.……………………20分

二．（本题满分25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D.证明：

.

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证明：

连接OA，OB，OC.

∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得，.……………………5分

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又由切割线定理可得，∴，∴D、B、C、O四点共圆，

……………………10分

∴∠PDB＝∠PCO＝∠OBC＝∠ODC，∠PBD＝∠COD，∴△PBD∽△COD，……………………20分

∴，∴.……………………25分

三．（本题满分25分）已知抛物线的顶点为P，与轴的正半轴交于A、B（）两点，与轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线.设M，若AMBC，求抛物线的解析式.

解易求得点P，点C.

设△ABC的外接圆的圆心为D，则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上，设点D的坐标为.

显然，是一元二次方程的两根，所以，，又AB的中点E的坐标为，所以AE＝.……………………5分

因为PA为⊙D的切线，所以PA⊥AD，又AE⊥PD，所以由射影定理可得，即，又易知，所以可得.……………………10分

又由DA＝DC得，即，把代入后可解得（另一解舍去）.……………………15分

又因为AMBC，所以，即.……………………20分

把代入解得（另一解舍去）.

因此，抛物线的解析式为.……………………25分

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