数学广东省深圳市届高三第二次调研考试试题文.docx

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数学广东省深圳市届高三第二次调研考试试题文

广东省深圳市2018届高三第二次（4月）调研考试

数学试题（文）

第Ⅰ卷

一、选择题

1.已知集合

，

，则

（）

A．

B．

C．

D．

2.设

为虚数单位，则复数

（）

A．

B．

C．

D．

3.袋中装有外形相同的四个小球，四个球上分别标有2,3,4,6四个数，现从袋中随机取出两个球，则两球上数字之差的绝对值不小于2的概率为（）

A．

B．

C．

D．

4.如图，在三棱柱

中，侧棱

底面

，且

是正三角形，若点

是上底面

内的任意一点，则三棱锥

的正视图与侧视图的面积之比为（）

（注：

以垂直于平面

的方向为正视图方向）

A．

B．

C．

D．

5.设

是等差数列

的前

项和，若

，则

（）

A．

B．

C．

D．

6.九连环是我国一种传统的智力玩具，其构造如图：

要将9个圆环全部从框架上解下（或套上），无论是那种情形，都需要遵循一定的规则．解下（或套上）全部9个圆环所需的最少移动次数可由如图所示的程序框图得到，执行该程序框图，则输出结果为（）

A．

B．

C．

D．

7.设函数

，若曲线

在点

处的切线经过坐标原点，则

（）

A．

B．

C．

D．

8.设

为双曲线

：

（

，

）的右焦点，

是双曲线

右支上一点，且满足

，线段

的垂直平分线经过坐标原点，设

是线段

的中点，若

，则双曲线

的离心率为（）

A．

B．

C．

D．

9.已知

，则函数

为（）

A．奇函数B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数D．既非奇函数也非偶函数

10.已知直线

经过不等式组

所表示的平面区域，则实数

的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

11.如图，在矩形

中，

，

，

、

分别为边

、

的中点，

为

和

的交点，则以

、

为长轴端点，且经过

的椭圆的标准方程为（）

A．

B．

C．

D．

12.对

，不等式

恒成立，则实数

的取值范围为（）

A．

B．

C．

D．

第Ⅱ卷

二、填空题

13.已知向量

，

，若

，则

．

14.在

中，

，

，

，以

为轴将

旋转一周，所得几何体的外接球的表面积为．

15.已知数列

是一个各项均为正数的等比数列，且

，若

，则数列

的前2018项的和为．

16.如图，

，

为某市的两个旅游中心，海岸线

可看做一条直线，且与

所在直线平行，现计划将两个旅游中心与海岸线连接起来，由于地势原因，需在以

为直径的半圆上选定一点

，修建

，

，

三段公路，其中

，

，两平行直线

与

之间的距离为

，公路

和

段的造价均为6千万元/

，公路

段的造价为5千万元/

，为便于筹备充足资金，需要计算该项工程的最大预算，根据以上信息，这三段公路总造价的最大值为千万．

三、解答题

17.在

中，记内角

，

，

所对的边分别为

，

，

，已知

为锐角，且

．

（1）求角

；

（2）若

，延长线段

至点

，使得

，且

的面积为

，求线段

的长度．

18.耐盐碱水稻俗称“海水稻”，是一种可以长在滩涂和盐碱地的水稻．海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉．某试验基地为了研究海水浓度

（‰）对亩产量

（吨）的影响，通过在试验田的种植实验，测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表：

绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合亩产量

与海水浓度

之间的相关关系，用最小二乘法计算得

与

之间的线性回归方程为

．

（1）求

，并估计当浇灌海水浓度为8‰时该品种的亩产量；

（2）（i）完成下列残差表：

（ii）统计学中常用相关指数

来刻画回归效果，

越大，模型拟合效果越好，如假设

，就说明预报变量

的差异有

是由解释变量

引起的．请计算相关指数

（精确到0.01），并指出亩产量的变化多大程度上是由浇灌海水浓度引起的？

（附：

残差公式

，相关指数

）

19.在四棱锥

中，侧棱

底面

，

，

，

是

的中点，

在线段

上，且

，已知

，

．　

（1）证明：

平面

；

（2）将过

，

，

三点的平面

与侧棱

的交点记为

，

（i）确定点

的位置，并说明理由；

（ii）求四棱锥

的体积．

20.直线

经过抛物线

：

的焦点

，且与抛物线

交于

，

两点，抛物线

在

，

两点处的切线分别与

轴交于点

，

．

（1）证明：

；

（2）记

和

的面积分别为

和

，求

的最小值．

21.设函数

，其中

为自然对数的底数．

（1）若

，求

的单调区间；

（2）若

，求证：

无零点．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：

坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线

的参数方程为

（

为参数），圆

的参数方程为

（

为参数），圆

的参数方程为

（

为参数）．若直线

分别与圆

和圆

交于不同于原点的点

和

．

（1）以直角坐标系的原点为极点，

轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求圆

和圆

的极坐标方程；

（2）求

的面积．

23.选修4-5：

不等式选讲

已知函数

，

．

（1）求不等式

的解集；

（2）若

恒成立，求

的取值范围．

【参考答案】

一、选择题

1-5:

6-10:

11、12：

二、填空题

13.

14.

15.100916.222

三、解答题

17.解：

（1）由正弦定理可知：

，

∴

，

∴

，

∴

，

，

∴

，即

，

∴

，

，

∴

，即

，

∴

．

（2）设

，

，

∴

，

，

∴

，

，

，

∴

，即

．①

在

中，由余弦定理可得

，即

．②

联立①②可解得

，即

．

18.解：

（1）经计算，

，

，

由

可得，

，

当

时，

，

所以当海水浓度为8‰时，该品种的亩产量为0.24吨．

（2）（ii）由

（1）知

，从而有

（ii）

，

所以亩产量的变化有

是由海水引起的．

19.

（1）证明：

取

的中点

，连接

，

．　

∴

，

，

，

，

∴

，

，即四边形

为平行四边形，

∴

．　

∴

，

是

的中点，

∴

，

∴

平面

，

∴

，

∴

，

，

∴

平面

，

∴

，

∵

，

∴

平面

，即

平面

.

（2）解：

（i）∵

为

的中点，

∴

，

，

，∴

，

又∵

平面

，平面

平面

，

∴

，

∵

为

的中点，

∴

是

的中点．

（ii）由

（1）知，

，

∴

，

∵

，

，

∴

，

∴梯形

的面积

．

设点

到平面

的距离为

，则由

，可得

，

即

，故

，

∴

．

20.解：

（1）不妨设

，

，其中

，

，

由导数知识可知，抛物线

在

点处的切线

的斜率

，

则切线

的方程为

，令

，可得

，

∵

，∴直线

的斜率

，

∴

，∴

．

（2）由

（1）可知

，

其中

，

，

∴

，同理可得

．

∴

．

设直线

的方程为

，联立方程

可得

，

∴

，

∴

，

∴

，当且仅当

时，等号成立，

∴

的最小值为1．

21.解：

（1）若

，则

，

∴

．

令

，则

，

当

时，

，即

单调递增，

又

，

∴当

时，

，

，

单调递减，

当

时，

，

，

单调递增．

∴

的单调递减区间为

，单调递增区间为

．

（2）当

时，

显然成立．

当

时，

（i）当

时，

，

，

显然成立．

（ii）当

时，易证：

，

∴

，

∴

．

综上，

恒成立，

∴

没有零点．

22.解：

（1）由题意可知，圆

的直角坐标方程为

，即

，

∴极坐标方程为

，

由题意可知，圆

的直角坐标方程为

，即

，

∴极坐标方程为

．

（2）直线

的极坐标方程为

（

），

∵直线

与圆

，

交于不同于原点的点

，

，

∴

，

，

∴

，

又点

到直线

的距离为

，

∴

，

∴

的面积为

．

23.解：

（1）由题意可知，

，

①当

时，原式可化为

，即

或

，∴

；

②当

时，原式可化为

，即

或

，∴

无解；

③当

时，原式可化为

，即

或

，∴

；

综上所述，

．

（2）由题意可知，

，

当

时，等号成立，

又

，当且仅当

时，等号成立，

令

，当

时，

取到最小值为

，

由题意可知

，故

．