届人教A版 双曲线 检测卷1.docx
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届人教A版双曲线检测卷1
考点测试53 双曲线
一、基础小题
1.已知平面内两定点A(-5,0),B(5,0),动点M满足|MA|-|MB|=6,则点M的轨迹方程是( )
A.-=1B.-=1(x≥4)
C.-=1D.-=1(x≥3)
答案 D
解析 由双曲线的定义知,点M的轨迹是双曲线的右支,故排除A、C;又c=5,a=3,∴b==4.
∵焦点在x轴上,∴轨迹方程为-=1(x≥3).故选D.
2.若双曲线-=1(a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为( )
A.B.5C.D.2
答案 A
解析 焦点(c,0)到渐近线y=x的距离为=2a,解得b=2a,又a2+b2=c2,∴5a2=c2,∴离心率e==.
3.已知双曲线C:
-=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为( )
A.-=1B.-=1
C.-=1D.-=1
答案 A
解析 根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解.
∵-=1的焦距为10,
∴c=5=.①
又双曲线渐近线方程为y=±x,且P(2,1)在渐近线上,
∴=1,即a=2b.②
由①②解得a=2,b=,
则C的方程为-=1,故应选A.
4.已知双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,且|AF1|=|BF1|,则|AB|=( )
A.2B.3C.4D.2+1
答案 C
解析 设双曲线的实半轴长为a,依题意可得a=1,由双曲线的定义可得|AF2|-|AF1|=2a=2,|BF1|-|BF2|=2a=2,又|AF1|=|BF1|,故|AF2|-|BF2|=4,又|AB|=|AF2|-|BF2|,故|AB|=4,选C.
5.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),过F2的直线l交双曲线于A,D两点,交渐近线于B,C两点.设+=m,+=n,则下列各式成立的是( )
A.|m|>|n|B.|m|<|n|
C.|m-n|=0D.|m-n|>0
答案 C
解析 取过点F2且垂直于x轴的直线l交双曲线于A,D两点,交渐近线于B,C两点,则+=m=2,+=n=2,故|m-n|=0,选C.
6.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(,0),直线y=x-1与其相交于M,N两点,MN中点的横坐标为-,则此双曲线的方程是( )
A.-=1B.-=1
C.-=1D.-=1
答案 D
解析 依题意得a2+b2=c2=7,
由此设双曲线方程为-=1,
另设直线与双曲线的交点为M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为(x,y).
则-=1,①
-=1,②
①-②得:
(x1+x2)(x1-x2)=(y1+y2)(y1-y2),
又由x1+x2=2x,y1+y2=2y,x=-,y=x-1,k==1,得a2=2.
∴双曲线方程为-=1,故选D.
7.已知双曲线C:
-=1(a>0,b>0)的离心率e=2,且它的一个顶点到相应焦点的距离为1,则双曲线C的方程为________.
答案 x2-=1
解析 由题意得解得则b=,故所求方程为x2-=1.
8.设F1,F2分别为双曲线-=1的左、右焦点,点P在双曲线上,若点P到焦点F1的距离等于9,则点P到焦点F2的距离为________.
答案 17
解析 解法一:
∵实轴长2a=8,半焦距c=6,
∴||PF1|-|PF2||=8.
∵|PF1|=9,∴|PF2|=1或|PF2|=17.
又∵|PF2|的最小值为c-a=6-4=2,
∴|PF2|=17.
解法二:
由题知,若P在右支上,
则|PF1|≥2+8=10>9,∴P在左支上.
∴|PF2|-|PF1|=2a=8,∴|PF2|=9+8=17.
二、高考小题
9.[2016·全国卷Ⅰ]已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )
A.(-1,3)B.(-1,)C.(0,3)D.(0,)
答案 A
解析 ∵原方程表示双曲线,且焦距为4,
∴①
或②
由①得m2=1,n∈(-1,3).②无解.故选A.
10.[2016·天津高考]已知双曲线-=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为( )
A.-=1B.-=1
C.-=1D.-=1
答案 D
解析 不妨设A(x0,y0)在第一象限,由题意得
由①③得x=,④
所以y=×=,⑤
由②④⑤可得b2=12.
所以双曲线的方程为-=1.故选D.
11.[2016·浙江高考]已知椭圆C1:
+y2=1(m>1)与双曲线C2:
-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则( )
A.m>n且e1e2>1B.m>n且e1e2<1
C.m1D.m答案 A
解析 在椭圆中,a1=m,c1=,e1=.在双曲线中,a2=n,c2=,e2=.因为c1=c2,所以n2=m2-2.从而e·e==,令t=m2-1,则t>0,e·e=>1,即e1e2>1.结合图形易知m>n,故选A.
12.[2016·全国卷Ⅱ]已知F1,F2是双曲线E:
-=1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=,则E的离心率为( )
A.B.C.D.2
答案 A
解析 解法一:
由MF1⊥x轴,可得M,
∴|MF1|=.由sin∠MF2F1=,可得cos∠MF2F1==,又tan∠MF2F1==,∴=,∴b2=ac,∵c2=a2+b2⇒b2=c2-a2,∴c2-a2-ac=0⇒e2-e-1=0,∴e=.故选A.
解法二:
由MF1⊥x轴,得M,
∴|MF1|=,由双曲线的定义可得|MF2|=2a+|MF1|=2a+,又sin∠MF2F1===⇒a2=b2⇒a=b,∴e==.故选A.
13.[2016·北京高考]双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=________.
答案 2
解析 由OA、OC所在直线为渐近线,且OA⊥OC,知两条渐近线的夹角为90°,从而双曲线为等轴双曲线,则其方程为x2-y2=a2.OB是正方形的对角线,且点B是双曲线的焦点,则c=2,根据c2=2a2可得a=2.
三、模拟小题
14.[2017·山西质量监测]设P为双曲线C:
x2-y2=1上一点,F1、F2分别为双曲线C的左、右焦点,若cos∠F1PF2=,则△PF1F2的外接圆半径为( )
A.B.9C.D.3
答案 C
解析 由题意知双曲线中a=1,b=1,c=,所以|F1F2|=2.因为cos∠F1PF2=,所以sin∠F1PF2=.在△PF1F2中,=2R(R为△PF1F2的外接圆半径),即=2R,解得R=,即△PF1F2的外接圆半径为,故选C.
15.[2017·哈尔滨调研]已知双曲线C的右焦点F与抛物线y2=8x的焦点相同,若以点F为圆心,为半径的圆与双曲线C的渐近线相切,则双曲线C的方程为( )
A.-x2=1B.-y2=1
C.-=1D.-=1
答案 D
解析 设双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),而抛物线y2=8x的焦点为(2,0),即F(2,0),∴4=a2+b2.又圆F:
(x-2)2+y2=2与双曲线C的渐近线y=±x相切,由双曲线的对称性可知圆心F到双曲线的渐近线的距离为=,∴a2=b2=2,故双曲线C的方程为-=1.
16.[2016·河南三市调研]若双曲线-=1(a>0,b>0)和椭圆+=1(m>n>0)有共同的焦点F1、F2,P是两条曲线的一个交点,则|PF1|·|PF2|=( )
A.m2-a2B.-
C.(m-a)D.m-a
答案 D
解析 不妨设点P是第一象限内两曲线的交点,由椭圆的定义可知,|PF1|+|PF2|=2,由双曲线的定义可令|PF1|-|PF2|=2,两式联立得|PF1|=+,|PF2|=-,所以|PF1|·|PF2|=m-a.
17.[2016·河北石家庄二模]已知直线l与双曲线C:
x2-y2=2的两条渐近线分别交于A,B两点,若AB的中点在该双曲线上,O为坐标原点,则△AOB的面积为( )
A.B.1C.2D.4
答案 C
解析 由题意得,双曲线的两条渐近线方程为y=±x,设A(x1,x1),B(x2,-x2),则OA⊥OB,AB的中点为,又因为AB的中点在双曲线上,所以2-2=2,化简得x1x2=2,所以S△AOB=|OA|·|OB|=|x1|·|x2|=|x1x2|=2,故选C.
18.[2016·广东茂名二模]已知双曲线:
-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,焦距为2c,直线y=(x+c)与双曲线的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则双曲线的离心率为( )
A.B.C.2D.+1
答案 D
解析 ∵直线y=(x+c)过左焦点F1,且其倾斜角为60°,∴∠MF1F2=60°,∠MF2F1=30°.∴∠F1MF2=90°,即F1M⊥F2M.∴|MF1|=|F1F2|=c,|MF2|=|F1F2|·sin60°=c,由双曲线的定义有:
|MF2|-|MF1|=c-c=2a,∴离心率e===+1,故选D.
一、高考大题
1.[2014·福建高考]已知双曲线E:
-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1:
y=2x,l2:
y=-2x.
(1)求双曲线E的离心率;
(2)如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、四象限),且△OAB的面积恒为8.试探究:
是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?
若存在,求出双曲线E的方程;若不存在,说明理由.
解
(1)因为双曲线E的渐近线分别为y=2x,
y=-2x,所以=2,所以=2,故c=a,
从而双曲线E的离心率e==.
(2)解法一:
由
(1)知,双曲线E的方程为-=1.
设直线l与x轴相交于点C.
当l⊥x轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点,
则|OC|=a,|AB|=4a,
又因为△OAB的面积为8,
所以|OC|·|AB|=8,因此a·4a=8,解得a=2,
此时双曲线E的方程为-=1.
若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为-=1.
以下证明:
当直线l不与x轴垂直时,双曲线E:
-=1也满足条件.
设直线l的方程为y=kx+m,依题意,得k>2或k<-2,
则C.记A(x1,y1),B(x2,y2).
由得y1=,
同理得y2=.
由S△OAB=|OC|·|y1-y2|,得
·=8,
所以m2=4|4-k2|=4(k2-4).
由得(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0.
又因为4-k2<0,所以Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)
=-16(4k2-m2-16),
又因为m2=4(k2-4),
所以Δ=0,即l与双曲线E有且只有一个公共点.
因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为-=1.
解法二:
由
(1)知,双曲线E的方程为-=1.
设直线l的方程为x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2).
依题意得-由得y1=,同理得y2=.
设直线l与x轴相交于点C,则C(t,0).
由S△OAB=|OC|·|y1-y2|=8,
得|t|·=8,
所以t2=4|1-4m2|=4(1-4m2).
由得(4m2-1)y2+8mty+4(t2-a2)=0.
因为4m2-1<0,直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ=64m2t2-16(4m2-1)(t2-a2)=0,
即4m2a2+t2-a2=0,即4m2a2+4(1-4m2)-a2=0,
即(1-4m2)(a2-4)=0,所以a2=4,
因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为-=1.
解法三:
当直线l不与x轴垂直时,设直线l的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).
依题意得k>2或k<-2.
由得(4-k2)x2-2kmx-m2=0,
因为4-k2<0,Δ>0,所以x1x2=,
又因为△OAB的面积为8,
所以|OA|·|OB|·sin∠AOB=8,
又易知sin∠AOB=,
所以·=8,化简得x1x2=4.
所以=4,即m2=4(k2-4).
由
(1)得双曲线E的方程为-=1,
由得(4-k2)x2-2kmx-m2-4a2=0,
因为4-k2<0,直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+4a2)=0,
即(k2-4)(a2-4)=0,所以a2=4,
所以双曲线E的方程为-=1.
当l⊥x轴时,由△OAB的面积等于8可得l:
x=2,又易知l:
x=2与双曲线E:
-=1有且只有一个公共点.
综上所述,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为-=1.
二、模拟大题
2.[2017·惠州月考]已知双曲线C:
-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为y=x,右焦点F到直线x=的距离为.
(1)求双曲线C的方程;
(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B、D两点,已知A(1,0),若·=1,证明:
过A、B、D三点的圆与x轴相切.
解
(1)依题意有=,c-=,
∵a2+b2=c2,∴c=2a,
∴a=1,c=2,∴b2=3,
∴双曲线C的方程为x2-=1.
(2)证明:
设直线l的方程为y=x+m(m>0),B(x1,x1+m),D(x2,x2+m),BD的中点为M,
由得2x2-2mx-m2-3=0,
∴x1+x2=m,x1x2=-,
又∵·=1,
即(2-x1)(2-x2)+(x1+m)(x2+m)=1,
∴m=0(舍)或m=2,
∴x1+x2=2,x1x2=-,M点的横坐标为=1,
∵·=(1-x1)(1-x2)+(x1+2)(x2+2)
=5+2x1x2+x1+x2=5-7+2=0,
∴AD⊥AB,
∴过A、B、D三点的圆以点M为圆心,BD为直径,
∵点M的横坐标为1,∴MA⊥x轴,∵|MA|=|BD|,
∴过A、B、D三点的圆与x轴相切.
3.[2017·山东临沂月考]P(x0,y0)(x0≠±a)是双曲线E:
-=1(a>0,b>0)上一点,M,N分别是双曲线E的左,右顶点,直线PM,PN的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率;
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足=λ+,求λ的值.
解
(1)由点P(x0,y0)(x0≠±a)在双曲线-=1上,有-=1.
由题意有·=,
可得a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,e==.
(2)联立得4x2-10cx+35b2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则①
设=(x3,y3),=λ+,即
又C为双曲线上一点,即x-5y=5b2,有
(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2.
化简得
λ2(x-5y)+(x-5y)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2.②
又A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,
所以x-5y=5b2,x-5y=5b2.
由①式又有x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2,
②式可化为λ2+4λ=0,解得λ=0或λ=-4.
4.[2017·邢台月考]直线l:
y=kx+1与双曲线C:
2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B.
(1)求实数k的取值范围;
(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?
若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
解
(1)将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后,整理得(k2-2)x2+2kx+2=0.①
依题意,直线l与双曲线C的右支交于不同两点,
故
解得k的取值范围是-2(2)设A、B两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),
则由①式得②
假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0).
则由FA⊥FB,得(x1-c)(x2-c)+y1y2=0,
即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0.
整理得(k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0.③
把②式及c=代入③式,化简得5k2+2k-6=0.
解得k=-或k=∉(-2,-)(舍去),
可知存在k=-使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.
5.[2016·江苏泰州质检]已知点N(1,2),过点N的直线交双曲线x2-=1于A,B两点,且=(+).
(1)求直线AB的方程;
(2)若过N的另一条直线交双曲线于C,D两点,且·=0,那么A,B,C,D四点是否共圆?
为什么?
解
(1)由题意知直线AB的斜率存在.
设直线AB:
y=k(x-1)+2,代入x2-=1,
得(2-k2)x2-2k·(2-k)x-(2-k)2-2=0.(*)
由Δ>0,得k<.
令A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两根,
∴2-k2≠0且x1+x2=.
∵=(+),
∴N是AB的中点,∴=1.
∴k(2-k)=-k2+2,∴k=1,满足k<.
∴AB的方程为y=x+1.
(2)将k=1代入方程(*),得x2-2x-3=0,
∴x=-1或x=3,
∴不妨设A(-1,0),B(3,4).
∵·=0,∴CD垂直AB.
∴CD所在直线方程为y=-(x-1)+2,
即y=3-x,代入双曲线方程整理得x2+6x-11=0.
令C(x3,y3),D(x4,y4)及CD中点M(x0,y0),则
x3+x4=-6,x3·x4=-11,
∴x0==-3,y0=6,即M(-3,6).
|CD|=|x3-x4|
==4,
|MC|=|MD|=|CD|=2,
|MA|=|MB|=2,
即A,B,C,D到M的距离相等,
∴A,B,C,D四点共圆.