二进制小波算法实现.docx

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二进制小波算法实现

山东师范大学

本科毕业论文（设计）

论文（设计）题目：

二进制小波算法实现

ImplementationofBinaryWaveletAlgorithm

学号：

姓名：

学科专业：

指导教师：

山东师范大学教务处制

2013年5月20日

毕业论文（设计）内容介绍

论文（设计）

题目

二进制小波算法实现

选题时间

2013.1.11

完成时间

2013.5.18

论文（设计）

字数

9093

关键词

二进制小波变换，快速二进制小波变换，图像压缩，QRS检测

论文（设计）题目的来源、理论和实践意义：

来源：

教师推荐

理论：

科学技术迅速发展使人类生活发生了日新月异的变换，在信息大爆炸的时代，人们在各个领域都会与信号的各个方面接触。

自从傅里叶变换被研究出来，已经发展成一套内容丰富而且对实际问题也是行之有效的理论。

但是傅里叶变换也存在一些缺点，例如：

变换后缺少时间信息、变换需要时域信息等问题，而小波变换则很好客服了傅里叶变换缺点，正在得到迅速的发展。

实践意义：

小波变换的实际运用也非常的广泛，受到越来越重视，尤其在图像压缩、QRS检测中也发挥着举足重轻的作用，日渐称为一个热门的研究领域，同时在不同领域也扮演着重要的角色。

论文（设计）的主要内容及创新点：

论文首先介绍了小波变换的发展历程，以及小波的定义，然后介绍了小波分析的有关理论，即连续小波变换和离散小波变换。

随后终点介绍了二进制小波算法实现的概念及快速算法，快速二进制小波变换分为传统的快速二进制小波变换和改进的快速二进制小波变换。

之后介绍了图像压缩中二进制小波变换算法实现和在QRS检测中二进制小波实现。

论文能够从小波变换理论发展出发，为了介绍二进制小波算法实现理论和其应用，先介绍传统的二进制小波算法实现和快速的二进制小算法的优缺点，从而本论文较为全面的阐述二进制小波有关理论、应用。

附：

论文（设计）

本人签名：

2013年5月18日

二进制小波算法实现

居昌盛

摘要：

小波变换是继小波分析之后二十世纪八十年代发展起来的一门新兴学科。

克服了传统的傅里叶变换缺点（只能获得信号的整个频谱，而难以得到信号局部特性），能在各个领域中得到很好的发挥的工具。

应用数学、信号与信息处理等学科都与小波变换紧密联系，使得其成为强有力分析方法。

本文介绍了小波变换的有关知识，尤其介绍了二进制小波的理论，以及二进制小波变换在实际应用中的实现。

二进制小波算法作为一种先进的分析方法，在图像研究、信号处理等领域将发挥越来越重要的作用。

关键词：

二进制小波变换；快速二进制小波变换；图像压缩；QRS检测；

ImplementationofBinaryWaveletAlgorithm

Juchangsheng

Abstract:

Wavelettransformisdevelopedinthe1980safterthewaveletanalysisisanewdiscipline.OvercomethetraditionalFouriertransformfaults（canwinthewholespectrumofthesignal,anddifficulttogetlocalsignalfeatures）,cangetgoodplayinthevariousfieldsoftools.Appliedmathematics,signalandinformationprocessingsubjectsarecloselycontactwithwavelettransform,makeitbecomeapowerfulanalyticalmethod.Ontheknowledgeofthewavelettransformhasbeenintroducedinthispaper,inparticularbinarywavelettheoryareintroduced,andthebinarywavelettransformisrealizedinpracticalapplication.Binarywaveletalgorithmasakindofadvancedanalysismethodofresearchinimageandsignalprocessing,andotherfieldswillplayanincreasinglyimportantrole.

Weywords:

Binarywavelettransform；Fastbinarywavelettransfor；Imagecompression；QRSdetection；

第1章有关小波变换理论

小波变换（Wavaelet）变换是20世纪80年代末发展起来的一项集数学，科学计算方法及信号处理与一体的新理论，目前被广泛应用于信号处理中，如计算机视觉的多分辨率（Multiresolution）信号处理、语音及图像处理中的压缩编码、去噪等。

小波变换特别适合于飞非稳定信号的分析，优于经典的短时Fourier变换STFT分析方法，不仅用于连续时间条件下，同样也可用于离散时间条件下，在实际运用中起着举足重轻的作用。

1.1小波简史

小波变换理论最早是应用在应用数学中。

在信号处理方面，20世纪80年代初，J.Morlet首先把它应用于地震信号的数据分析之中，之后他又与A.Grossmann一起合作提出了连续小波变换的理论体系，其基本思想是平移（Shift）和尺度（Scale），使我们在一个时间-尺度平面上表示信号，同时又不失原信号所包含的任何信息，从而奠定了小波变换用于信号处理的理论基础。

在此以后许多数学家和信号处理专家不断继续充实和完善这方面的理论，特别是I.Daubechies、S.Mallat和Y.Meyer的工作之后，把小波变换与信号处理中的数字滤波器紧密联系在一起，即用滤波器组可以计算等效的离散小波变换，且在某些条件（低通滤波器的正则性）下，可导出连续的小波基，才使小波理论得到进一步发展。

更有应用价值的是S.Mallat提出的多分辨率分析的概念，给出了构造正交小波基的一般方法和快速算法-Mallat算法，使小波理论的应用得到进一步加强，相应的Mallat算法也被称为小波变换的快速算法。

从信号处理的角度，小波变换是一种把信号或函数分解成不同的频率成份，然后用与其尺度相匹配的分辨率研究每个成份的工具。

在数学上，小波变换可以看作是信号在一组正交基函数上的分解，而被称之为小波基的函数可以通过一个原型小波的伸缩（尺度）和平移得到。

原型小波可以看作是一个带通滤波器，而原型小波的尺度和平移（小波基）可看作是带通滤波器组，并且该带通滤波器组具有恒定的相对带宽或恒-Q特性；在实现方法上，Mallat算法的实质是一种分析/综合倍频程滤波器组，这种滤波器组与小波变换的关系，正如Mallat指出的那样，如果小波变换的分辨率步幅取为2，那么小波变换可以用正交镜象滤波器QMF（QuadratureMirrorFilter）组来实现。

而后者已被广泛应用于语音及图象处理之中，可以说该理论正是小波变换理论应用研究的渊源。

从分析方法的角度，小波变换用于信号分析是一种时-频分析，优于传统的时域或频域分析方法。

传统的时域信号分析方法是直接在时域对信号进行分析，它对时间的分辨率是无穷的，但对频率的分辨率则为零；而传统的频域分析方法则是将信号变换到频域中研究信号，它对频率的分辨率是无穷的，但对时间分辨率却为零。

而小波变换则是将时频统一于一体来研究信号，对时间和频率同时具有较好的分辨率。

在具体应用中，有各种形式的小波变换，主要取决于各自的应用要求，对于连续时间信号，且尺度及平移参数都是连续的，可定义连续的小波变换（CWT）；如果尺度及平移参数是离散的，可定义所谓的小波级数（WS）；对于离散时间序列信号，如果尺度及平移参数也是离散的，可定义离散小波变换（DWT），它们分别类似于连续Fourier变换，Fourier级数及离散Fourier变换。

连续小波变换一般用于理论分析，而离散小波变换被认为是对离散时间信号的一种自然小波变换。

此时，时间和尺度参数都是离散的，就所涉及的计算结构而言，离散小波变换与倍频程滤波器组完全相同。

第2章小波变换理论

2.1傅里叶变换与短时傅里叶变换

首先我们先来看看傅里叶变换，相当长的一段时间以来，在各种信号处理方面，尤其是在信号的频谱分析和各种滤波方法的方面，最基本的方法就是著名的Fourier分析。

Fourier分析是这样定义的，从数学角度就是对一个函数进行Fourier变换，而从信号处理的角度，则是对任意信号则是对任意信号f（t）的频谱F（w）进行分析，这方面的工作已有非常丰富的内容和很多比较有成效的方法，对任意信号f（t），其Fourier变换定义为：

F（t）

（2.1）

Fourier变换的反变换定义为：

F（t）=

（2.2）

函数f（t）及其Fourier变换F（w）建立了信号的时域t和频域w的一对一关系，而信号的时域和频域的不同表示连续型和离散型两类不同的分析方法，Fourier之所以能作为信号分析强大方法，是因为Fourier分析的基函数分析的基函数{

}−是一组正交基，而且函数形式非常简单。

其变换函数F（w）是信号f（t）在这组正交基上的分量。

F（w）的的大小在L2（R）内完全刻画了f（t）的特征：

F（w）有着明确和极其重要的物理意义：

由于Fourier变换以{

}为基函数，因此带来了许多其它变换所不具备的微分/积分特性，即f（t）的微、积分运算在F（w）方面的表现为乘/除运算，这给Fourier分析的应用带来了很大的方便。

但是Fourier分析也有其很明显的不足之处：

基函数{

}不是一个无条件基，它要求被分析的信号应满足绝对可积等条件；此外Fourier分析不能做局部分析，只能获得所分析信号的整体频谱。

在实际具体应用中，假设信号f（t）由一些稳定的分量（如正弦信号）组成，那么Fourier变换方法非常有效。

但遗憾的是Fourier变换不能反映信号在时域的局部区域上的频率特征，而在不少实际问题中，人们所关心的恰恰是信号在局部时间范围内的突变特征，这些特征往往是所分析的信息所在，例如在语音信号中人们关心的是什么时刻发出什么样的音节，在图象信号中，什么位置出现什么样的轮廓等。

这类信号由于在时域（或空间域）上具有突变的非稳定特性，它们的频谱分布在整个频率轴，用Fourier变换的方法分析往往不是那么有效。

为此对这类信号必须采用其它途径，通常的方法是引入局部频率“参数”，这样局部Fourier变换可以通过一个窗口分析信号，在这个窗口内信号近似是稳定的；另一种等效的方法是修改Fourier变换中的正交基函数。

短时Fourier变换及小波变换就是根据以上原理提出来的。

（a）信号f（t）及其频谱F（w）

（b）时间分辨率和频率分辨率

图2.1Fourier变换及其分辨率

其次我们再来看看短时Fourier变换，其基本原理是取一个成为窗口的函数g（t），使它在有限区间范围外恒等于或者趋向于零，如下图所示：

图2.2函数f（t）和窗口函数g（t）

假设任意信号f（t）而且飞信号在一个以时间τ为中心、范围有限的窗口函数：

g（t-τ）内是稳定的，由此，窗口函数f（t）g（t-τ）的Fourier变换就定义为短时Fourier变换；

（2.3）

其中

=

；

然而，STFT（τ,ω）不仅包含了原信号f（t）全部信息，而且其变换的窗口位置随参数变化而变化（平移），符合研究信号不同位置局部性的要求，这是其相比于Fourier变换优越之处。

但短时Fourier变换不足在于，在整个频率上用一个分析窗，即窗口的形状及大小与频率变化无关而保持不变。

所以分析的分辨率在整个时间-频率,（ω,τ）平面上的所有位置都相同而不变。

这与实际问题中高频信号的分辨率应比低频信号高的情况不相符合，换而言之变换窗口大小应随频率而变，频率愈高，窗口应愈小的要求。

另外，在数值计算中，必须将连续依赖于参数的变换进行离散化，熟知将Fourier变换离散化后即得正交的三角函数基展开的Fourier级数，这不论在理论上，还是在数值计算上都是非常重要的。

但是对于短时Fourier变换，可以证明不论如何离散化均不可能使之成为一组正交基。

由于短时Fourier变换的这些缺点，使之未能得到广泛应用及进一步发展。

2.2小波变换定义

最后在傅里叶变换和短时傅里叶变换基础之上我们可以得出一种更为先进的变换，即小波变换；小波的定义如下，设

（

表示平方可积的实数空间，即能量有限的空间），其傅立叶变换为

。

当

满足允许条件

（2.4）

时，我们称

是一个基本小波或母小波。

将母函数

经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列。

对于连续的情况，小波序列为：

（2.5）

其中：

为伸缩因子，

为平移因子。

对于离散的情况，小波序列为：

（2.6）

2.3连续小波变换

连续小波是由一个基本小波函数ψ（t），当ψ（t）满足条件

dw<+∞其中

是

的Fourier时，作平移和伸缩或者尺度而得的一种信号分析方法，它与短时Fourier变换的主要区别是：

短时Fourier变换在整个信号分析中用一个分析窗，而小波变换在分析中用多个窗，即在高频端用短窗，在低频端用长窗。

对于平移和尺度因子分别为τ和，连续小波基定义为：

（a>0）（2.7）

其中

为归一化因子。

这样f（t）∈L2（R）,连续小波变换定义为：

CWT（τ，a）=

（2.8）

即信号f（t）被映射成一个时间－尺度平面CWT（τ，a）。

在这里，尺度概念的引入是极其重要的。

对于大的尺度，小波基函数是原型小波的延伸，即低频函数；而对于小的尺度，基函数变成原型小波的压缩，呈现为高频函数，如图（2.3）（a）

从分辨率的角度，小波变换对时间分辨率和频率分辨率进行了折衷，当尺度参数1/a较小时，分辨率在时域或空间域较低，而在频域较高；如果尺度参数增大，分辨率在时域或空域增加，在频域减小，即在高频端，小波变换在时间上较快，而在低频端，小波变换在频率上较快，如图（2.3）（b）所示。

（a）基函数（b）时间-频率分辨率

图2.3小波变换基函数和时间-频率分辨率

2.4离散小波变换

在函数族

中，限制

都是离散值，于是得到了

离散小波。

这时，对于固定的伸缩步长

及固定值

，选取

，

，这时相应的离散族就是：

（2.9）

若取

=2，

=1，即相当于连续小波只在尺度上进行了二进制离散，而位移仍取连续变化，称这类小波为二进小波。

表示为

（2-10）

二进制小波介于连续小波和离散小波之间，它只是对尺度参量进行了离散化，而在时间域上的平移量仍保持连续变化。

因此二进小波变换仍具有连续小波变换的时移共变性，这是它较之离散小波变换所具有连续的独特优点。

第3章二进制小波变换概念及快速算法

3.1传统二进制小波变换

一维离散正交小波变换可以很容易地推广到二维情况.设一维尺度函数为φ（x）,相应的小波为ψ（x）,则L2（R2）的可分离小波正交基用尺度函数φ（x）和小波ψ（x）的可分离乘积构造,即:

（3.1）

以ψ（x，y）=ψ（x）ψ（y）为基础,Mallat[3]给出了快速的二进制小波分解算法,该算法简单叙述如下:

在所有尺度上,对任意n=（n1,n2）,记:

αj[n]=和djk[n]=,（1≤k≤3）

对任意一维滤波器对y[n]和z[n],记乘积滤波器yz[n]=y[n1]z[n2],y[m]=y[-m],记h[m]和g[m]是与小波ψ关联的共轭镜像滤波器.

在尺度2j+1上的小波系数可以使用二维可分离卷积及子采样从aj算出.对任意n=（n1,n2）,可得到如下分解公式;

（3.2）

试中“*”表示卷积.即:

首先aj的行和

、

做卷积,并以因子2做子采样.然后将这两个输出图像的列分别和

、

做卷积,再做子采样,就生成了4个子采样图像aj+1，aj+2，aj+3，aj+4图像的快速二进制小波变换如图1所示.

其中,j为对应的尺度;aj+1为图像的近似表示,即为图像的低频信息;aj+2为水平方向上的小波系数;aj+3为垂直方向上的小波系数;aj+4为对角线方向上的小波系数.由于图像的边缘信号表现为信号的不连续性,对应着图像中的高频信息,故aj+1，aj+2和aj+3包含着图像的边缘信息,文献[1-2]就是利用这3部分小波系数提取图像边缘的.

3.2快速二进制小波算法

小波快速算法是在多分辨率分析（多尺度分析）的基础之上，由S．Mallat在研究图像处理问题时建立起来的，多分辨率分析不仅为正交小波基的构造提供了一种简单的方法，而且为正交小波变换的快速算法提供了理论依据。

若

为空间

的正交基,由伸缩规则性

得

必为子空间

的标准正交基。

由多分辨率分析的性质可知所有的闭字空间

都是由同一个尺度函数

伸缩后的平移系列张成的尺度空间，其相互包含关系如图3.1所示，称

为多分辨率的尺度函数。

Mallat算法是由多分辨率分析、尺度函数和小波函数推导而来的，它表明f（t）∈L2（R）可分解为无穷多个小波分量的直和[3]。

小波快速算法包括快速分解和快速重构算法，在MATLAB的小波工具箱中具有小波快速算法的功能，因此可以在计算机上实现测得回波信号的小波快速分解和快速重构。

图3.1尺度空间相互关系图

第4章二进制小波算法实现的应用

4.1小波变换在图像压缩中的应用

小波变换可以把原始图象分解成不同分辨率的逼近图像和细节图像，而利用小波变换进行图象数据压缩其关键是传输所分解的细节图象，通常细节图象的信息熵较原始图像的信息熵要小得多，且数值分布比较集中在零点附近，因此传输的信息量可以减少，也就是说可以对图象数据进行压缩。

在数字图象处理中，图象通常以数字化的离散样值来表示，一般一幅数字化后的图象的数据量是非常大的，以黑白图象为例，对于一幅N×N（如N×N=256×256）大小的图象，如果每个象素以8bit编码，那么一张黑白图象的数据量为N×N×8bit。

如果实时传输一系列的动态图象，例如每秒25帧，那么数据量会更大，为25×N×N×8bit。

这样大的数据量在图象的传输、存贮、加工处理等方面都会引起极大的困难。

图象数据压缩正是为解决这种大数据量传输和存储问题而提出的一门技术，其主要任务是在保证人们要求的图象质量的前提下，尽量用较少的比特数存储或传输数字图象，从而降低码速率，以便满足数字图象传输时所要求的信道容量及数字图象处理中的存储量要求。

图象能够被压缩的根本原因有二：

1.图象相邻象素间存在相关性，图象信号有很大的冗余度，2.图象的接收者一般是人眼的视觉系统，而人眼的视觉系统对不同频率的信号，敏感度是不同的，对不同方向的图象，敏感度也有很大差异。

因此我们可以利用这种特性对人眼视觉系统不敏感的部分进行压缩。

基于Laplacian金字塔的图像压缩，利用Laplacian金字塔分解的差图像或细节图像去除相关，从而实现图像数据压缩，这就是基于Laplacian金字塔压缩方法的基本原理。

我们采用一副典型每个像素为8bit，大小为256×256象素的Lena图象作为原始图象进行系统模拟实验，原始图象如图（4.1）所示，这样我们既可以更好地实现数据压缩，从而说明该方法的具体实现过程。

（a）原始图像（b）直方图

图4.1原始图像Lena及其直方图

对该图像分别进行4层Gaussian和Laplacian金字塔分解，分解图像分别如图4.2和图4.3

图4.2Gaussian金字塔图像分解

图4.3Lalapcian金字塔图分解

用信息熵衡量其指标，而信源的无失真编码也可以信息熵为下限，从而说明Laplacian金字塔分解去相关程度。

在Lapacian金字塔分解中，我们主要是去除图像像素间的相关性，去相关的结果使像素值更加集中在零点附近，并且方差和熵都减小，而这些测度程度主要取决于金字塔生成核中参数a的选择不同参数a的选择与相应的信息熵的结果如表4.1所示。

表4.1参数a选择与相应的Laplacian金字塔图像信息熵

a

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

H

5.4525

5.226

5.0761

4.8849

4.7552

4.8586

5.7228

4.8586

5.0745

由表4.1可见，在参数a=0.6时，熵的减小量最大。

在实际应用中，通过对Laplacian金字塔分解的图像进行量化，可以进一步减少信息熵，实现进一步的压缩，但此时将引入误差。

如果我们恰当地选择量化器，可以使这种失真让人几乎察觉不出来。

整个Laplacian金字塔分解方法实现图像数据压缩编码过程如图4.4所以。

整个系统压缩步骤为：

第一，从底到顶构成Gaussian金字塔图像f0（x，y），f（x，y）……fj（x，y）。

而Laplacian金字塔图像d0（x，y），d1（x，y），…，dJ（x,y）是由两个相邻Gussian金字塔层间的信息获得。

他们被量化、编码，生成被压缩的图像；在接收端，图像的重建遵循展开—相加的原则可恢复图像。

图4.4Laplacian金字塔压缩过程

由上述我们可以总结道，Lapalacian金字塔编码方法特别适合于渐进式图像传输，在这种传输中，粗糙分辨率的图像首先被发送，在接收端，接受者首先可获得每一个大致图像轮廓；然后逐渐传输较高分辨率细节图像，一旦图像内容满足接受者的要求时，观察者可以中断传输图像。

Laplacian金字塔分解方法实现图像数据压缩的主要特点是方法见大，定义比较直接。

4.2基于二进制小波变换的QRS检测

由小波分析理论知道，非平稳信号

的连续小波变换定义为：

WSf（

）（x）=f（x）*Ψ（x）=

Ψ（

）dt（4.1）

其中S称为尺度：

Ψ（x）=

Ψ（

）是母小波Ψ（x）在尺度S上的伸缩。

对于数字信号f（n）进行二进制小波变换，应用Mallat算法求得，其数值滤波器的表示形式为

S2jf（n）=

kS2j-1f（n-2j-1k）（4.2）

W2jf（n）=

S2j-1f（n-2j-1k）（4.3）

其中S20f（n）是要处理ECG信号，W2jf（n）是信号f（n）的二进制小波变换，S2J称为光滑算子，hk和gk分别是正交的数字低通滤波器H（w）和高通滤波器G（w）的系数。

由式（4.1）、（4.2）和（4.3）可见，小波基函数的选取不是唯一的，选用不同的小波基对信号及进行小波变换，可以突出不同特点的信号特征的具体形由参考文献{【4】知道样条小波同时具有线性相位，短支集、