初中总复习中考数学新课标安徽专用单元检测卷四.docx
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初中总复习中考数学新课标安徽专用单元检测卷四
单元检测卷四 图形初步与三角形
（时间:
120分钟 满分:
150分）
一、选择题（本大题共10小题,每小题4分,共40分）
1.已知线段AB=16cm,O是线段AB上一点,M是AO的中点,N是BO的中点,则MN=（ ）
A.10cmB.6cmC.8cmD.9cm
解析:
∵M是AO的中点,N是BO的中点,
∴MN=MO+ON=AO+OB=AB=8cm.
答案:
C
2.已知∠1=1°30',∠2=1°18',则∠1与∠2的数量关系为（ ）
A.∠1=∠2B.∠1-∠2=12'
C.∠1-∠2=22'D.∠2-∠1=12'
解析:
∠1-∠2=1°30'-1°18'=12'.
答案:
B
3.如图,直线l1,l2,l3交于一点,直线l4∥l1,若∠1=124°,∠2=88°,则∠3的度数为（ ）
A.26°B.36°C.46°D.56°
解析:
∵∠1=∠2+∠4,∠1=124°,∠2=88°,
∴∠4=36°.
∵l1∥l2,∴∠3=∠4=36°.故选B.
答案:
B
4.现有3cm,4cm,7cm,9cm长的四根木棒,任取其中三根组成一个三角形,那么可以组成的三角形的个数有（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个
解析:
四条木棒的所有组合:
3,4,7;3,4,9;3,7,9;4,7,9,只有3,7,9和4,7,9能组成三角形.故选B.
答案:
B
5.等腰三角形的底边长为6,底边上的中线长为4,它的腰长为（ ）
A.5B.6C.7D.8
答案:
A
6.如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=2,CD=,点P在四边形ABCD的边上.若点P到BD的距离为,则点P的个数为（ ）
A.2B.3C.4D.5
解析:
过点A作AE⊥BD于点E,过点C作CF⊥BD于点F,
∵∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=2,CD=,
∴∠ABD=∠ADB=45°.
∴∠CDF=90°-∠ADB=45°.
∵sin∠ABD=,
∴AE=AB·sin∠ABD=2·sin45°=2=2>,
∴在AB和AD边上符合P到BD的距离为的点有2个.
答案:
A
7.如图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形.根据图中标示的各点位置,判断△ACD与下列哪一个三角形全等?
（ ）
A.△ACF
B.△AED
C.△ABC
D.△BCF
解析:
∵根据图形可知AD=AD,AE=AC,DE=DC,∴△ACD≌△AED.
答案:
B
8.如图,某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C,此时飞行高度AC=1200m,从飞机上看地平面指挥台B的仰角α=30°,则飞机A与指挥台B的距离为（ ）
A.1200mB.1200m
C.1200mD.2400m
解析:
∵∠ABC=∠α=30°,
∴AB==2400（m）.
答案:
D
9.
如图,若正方形网格中每个小方格的边长为1,则△ABC是（ ）
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
解析:
根据勾股定理计算出BC2,AB2,AC2,再根据勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形.
答案:
A
10.如图,点A,C都在直线l上,AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,三点E,B,D到直线l的距离分别是6,3,4,计算图中由线段AB,BC,CD,DE,EA所围成的图形的面积是（ ）
A.50B.62C.65D.68
解析:
如图,过点E,B,D分别作EF⊥l,BG⊥l,DH⊥l,点F,G,H分别为垂足.
易得△EFA≌△AGB,△BGC≌△CHD,从而AF=BG,AG=EF;GC=DH,CH=BG.故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16,
则所求面积为（6+4）×16-3×4-6×3=50.
答案:
A
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）
11.如图,AC与BD相交于点O,且AB=CD,请添加一个条件 ,使得△ABO≌△CDO.
解析:
由题意可知∠AOB=∠COD,AB=CD,
∵AB是∠AOB的对边,CD是∠COD的对边,
∴只能添加角相等,故可添加∠A=∠C或∠B=∠D或AB∥CD.
答案:
∠A=∠C（或AB∥CD或∠B=∠D）
12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的角平分线AD交BC于点D,CD=2,则点D到AB的距离是 .
解析:
由角平分线的性质,得点D到AB的距离等于CD,也是2.
答案:
2
13.如图,在△ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射线CO上的一个动点,∠AOC=60°,则当△PAB为直角三角形时,AP的长为 .
解析:
如图,分三种情况讨论:
（1）
（2）
（3）
图
（1）中,∠APB=90°,
∵AO=BO,∠APB=90°,
∴PO=AO=BO=2,
又∠AOC=60°,∴△APO是等边三角形,
∴AP=2.
图
（2）中,∠APB=90°,
∵AO=BO,∠APB=90°,
∴PO=AO=BO=2,
又∠AOC=60°,∴∠BAP=30°,
在Rt△ABP中,AP=cos30°×4=2.
图（3）中,∠ABP=90°,
∵BO=AO=2,∠BOP=∠AOC=60°,
∴PB=2.
∴AP==2.
答案:
2,2或2
14.
已知△ABC是直角边长为1的等腰直角三角形,以Rt△ABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰Rt△ADE,…,依此类推,第n个等腰直角三角形的斜边长是 .
解析:
反复运用勾股定理,得AC=,AD=（）2,AE=（）3,…,所以第n个等腰直角三角形的斜边长是（）n.
答案:
（）n
三、（本大题共2小题,每小题8分,共16分）
15.
如图,锐角三角形ABC中,直线l为BC的中垂线,直线m为∠ABC的角平分线,l与m相交于P点.若∠A=60°,∠ACP=24°,求∠ABP的度数.
解:
∵直线m为∠ABC的角平分线,
∴∠ABP=∠CBP.
∵直线l为BC的中垂线,
∴BP=CP,
∴∠CBP=∠BCP,
∴∠ABP=∠CBP=∠BCP,
在△ABC中,3∠ABP+∠A+∠ACP=180°,即3∠ABP+60°+24°=180°,
解得∠ABP=32°.
16.
如图所示,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AB=BC,E是AB的中点,CE⊥BD.
（1）求证:
BE=AD.
（2）求证:
AC是线段ED的垂直平分线.
（3）△DBC是等腰三角形吗?
并说明理由.
（1）证明:
∵∠ABC=90°,BD⊥EC,
∴∠1与∠3互余,∠2与∠3互余.
∴∠1=∠2.
∵∠ABC=∠DAB=90°,AB=BC,
∴△BAD≌△CBE（ASA）.
∴AD=BE.
（2）证明:
∵E是AB中点,
∴EB=EA.
由
（1）AD=BE得AE=AD.
∵AD∥BC,∴∠7=∠ACB=45°.
∵∠6=45°,
∴∠6=∠7.由等腰三角形的性质,得EM=MD,AM⊥DE.
∴AC是线段ED的垂直平分线.
（3）解:
△DBC是等腰三角形（CD=BD）.
理由:
由
（2）,得CD=CE.由
（1）,得CE=BD.
∴CD=BD.
∴△DBC是等腰三角形.
四、（本大题共2小题,每小题8分,共16分）
17.
如图,已知∠DAB+∠D=180°,AC平分∠A,且∠CAD=25°,∠B=95°.
（1）求∠DCA的度数;
（2）求∠ACE的度数.
解:
（1）∵∠DAB+∠D=180°,
∴AB∥CD.
∵∠CAD=∠CAB=25°,
∴∠DCA=∠CAB=25°.
（2）∵∠CAD=∠CAB=25°,∠B=95°,
∠ACE是△ABC的外角,
∴∠ACE=∠B+∠CAB=95°+25°=120°.
18.如图,四边形ABCD是平行四边形,△AB'C和△ABC关于AC所在的直线对称,AD和B'C相交于点O,连接BB'.
（1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）;
（2）求证:
△AB'O≌△CDO.
（1）解:
△ABB',△AOC和△BB'C;
（2）证明:
在▱ABCD中,AB=DC,∠ABC=∠D,
由轴对称知AB'=AB,∠ABC=∠AB'C,
∴AB'=CD,∠AB'O=∠D.
在△AB'O和△CDO中,
∴△AB'O≌△CDO.
五、（本大题共2小题,每小题10分,共20分）
19.2015年4月25日14时11分,尼泊尔发生8.1级地震,震源深度20km.中国救援队火速赶往灾区救援,探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象.在废墟一侧某面上选两探测点A,B,AB相距2m,探测线与该面的夹角分别是30°和45°（如图）.试确定生命所在点C与探测面的距离.（参考数据≈1.41,≈1.73）
解:
过点C作CD⊥AB,
设CD=xm,
∵∠ABE=45°,∴∠CBD=45°,
∴DB=CD=xm,
∵∠CAD=30°,
∴AD=CD=xm.
∵AB相距2米,∴x-x=2,
解得x=.
答:
生命所在点C与探测面的距离是m.
20.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点E,∠BAC=90°,∠CED=45°,∠DCE=30°,DE=,BE=2.
（1）求CD的长;
（2）求四边形ABCD的面积.
解:
（1）如图,过点D作DH⊥AC,
∵∠CED=45°,DH⊥EC,DE=,
∴EH=DH,
∵EH2+DH2=ED2,
∴EH2=1,∴EH=DH=1.
又∵∠DCE=30°,∴DC=2.
（2）由
（1）知HC=,
∵∠AEB=45°,∠BAC=90°,BE=2,
∴AB=AE=2,∴AC=2+1+=3+,
∴×2×（3+）+×1×（3+）=.
六、（本题满分12分）
21.如图,AB=AC,CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,BE与CD相交于点O.
（1）求证:
AD=AE;
（2）连接BC,DE,试判断BC与DE的位置关系,并说明理由.
证明:
（1）在△ACD与△ABE中,
∵∠A=∠A,∠ADC=∠AEB=90°,AB=AC,
∴△ACD≌△ABE.∴AD=AE.
（2）互相平行.
在△ADE与△ABC中,
∵AD=AE,AB=AC,
∴∠ADE=∠AED,∠ABC=∠ACB,且∠ADE==∠ABC.
∴DE∥BC.
七、（本题满分12分）
22.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的角平分线,且∠B=∠ADB,过点C作CM垂直于AD的延长线,垂足为M.
（1）若∠DCM=α,试用α表示∠BAD;
（2）求证:
AB+AC=2AM.
解:
（1）∵CM⊥AM,∠DCM=α,
∴∠CDM=∠ADB=∠B=90°-α,
∴∠BAD=180°-2∠ABD=180°-2（90°-α）=2α.
（2）证明:
如图,延长AM到F使MF=AM,连接CF,则有AC=CF.
∵AD平分∠CAB,∴∠CAF=∠BAF=∠F.
∴CF∥AB.
∴∠FCD=∠ABD=∠ADB=∠CDF.
∴CF=DF.
∵AD+DF=2MA,∴AB+AC=2MA.
八、（本题满分14分）
23.我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.例如图1,图2,图3中,AF,BE是△ABC的中线,AF⊥BE,垂足为P.像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”.设BC=a,AC=b,AB=c.
特例探索
（1）如图1,当∠ABE=45°,c=2时,a= ,b= ;
如图2,当∠ABE=30°,c=4时,a= ,b= ;
图1
图2
图3
归纳证明
（2）请你观察
（1）中的计算结果,猜想a2,b2,c2三者之间的关系,用等式表示出来,利用图3证明你发现的关系式;
拓展应用
（3）如图4,在▱ABCD中,点E,F,G分别是AD,BC,CD的中点,BE⊥EG,AD=2,AB=3,求AF的长.
图4
解:
（1）如图1,连接EF,则EF是△ABC的中位线,
∴EF=AB=.
∵∠ABE=45°,AF⊥BE,
∴△ABP是等腰直角三角形.
∵EF∥AB,
∴△EFP也是等腰直角三角形.
∴AP=BP=2,EP=FP=1.
∴AE=BF=.
∴a=b=2.
图1
图2
图3
图4
如图2,连接EF,则EF是△ABC的中位线.
∵∠ABE=30°,AF⊥BE,AB=4,
∴AP=2,BP=2.
∵EFAB,
∴PE=,PF=1.
∴AE=,BF=.
∴a=2,b=2.
（2）a2+b2=5c2.
如图3,连接EF,设AP=m,BP=n,
则c2=AB2=m2+n2,
∵EFAB,
∴PE=BP=n,PF=AP=m.
∴AE2=m2+n2,BF2=n2+m2.
∴b2=AC2=4AE2=4m2+n2,
a2=BC2=4BF2=4n2+m2.
∴a2+b2=5（m2+n2）=5c2.
（3）如图4,延长EG,BC交于点Q,延长QD,BA交于点P,延长QE,BE分别交PB,PQ于点M,N,连接EF.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴ADBC,ABCD.
∵E,G分别是AD,CD的中点,
∴△EDG≌△QCG≌△EAM,
∴CQ=DE=,DG=AM=1.5,
∴BM=4.5.
∵,
∴.
∴BP=9.∴M是BP的中点.
∵ADFQ,
∴四边形ADQF是平行四边形.
∴AF∥PQ.
∵E,F分别是AD,BC的中点,∴AEBF.
∴四边形ABFE是平行四边形,
∴OA=OF.
由AF∥PQ得:
∴.
∴PN=QN.
∴N是PQ的中点.
∴△BQP是“中垂三角形”,
∴PQ2=5BQ2-BP2=5×（3）2-92=144,
∴PQ=12.
∴AF=PQ=4.
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