的检验问题就是多重比较问题。
3区组设计
我们假定有v个处理和b个区组，共需要进行n=v*b次试验，其中在一个区组内的v个处理的次序是随机的。
用yij表示第i个处理在第j个区间内进行试验所得到的观察值。
表1列出随机化完全区组设计的数据.
其中：
v=b=4
表1右侧列出了各处理下所有观察值之和Ti（行和）
，该表下侧还列出了各区组内所有观察值之和Bj（列和）
，该表右下侧还列出了vb个数据的总和T及总平均
。
表1随机化完全区组设计的数据
区组
处理
12………b
和平均
1
2
v
y11y12………y1b
y21y22………y2b
yv1yv2………yvb
T1
T2
Tv
和
平均
B1B2………Bb
………
将试验数据代入得到初步处理后的数据，见表2。
表2初步处理后的数据
区组
处理
1234
和平均
1
2
3
4
9.39.49.610.0
9.49.39.89.9
9.29.49.59.7
9.79.610.010.2
38.39.575
38.49.6
37.89.45
39.59.875
和
平均
37.637.738.939.8
9.49.4259.7259.95
154
9.625
4统计分析
4.1获取数据
硬度计把杆尖压入金属试件后显示的读数就是该金属硬度的测试值。
如今考察4种不同的杆尖在同一台硬度计上是否得出不同的读数。
为了减少金属试件间的差异对硬度读数的影响，只取4块金属试件，让每个杆尖在每块试件上各压入一次。
这样安排是含有4个处理（杆尖）和4个区组（金属试件）的随机化完全区组设计。
实验数据见附录.
4.2统计模型
随机化完全区组设计的统计模型是：
yij=μ+ai+bj+εiji=1，2，…,vj=1，2，…,b
其中：
Øyij为第i个处理在在第j个区间内的试验结果
Øμ为总体均值，是待估参数
Øai为第i个处理的效应，是待估参数，且满足a1+a2+…+av=0
Øbj为第j个区组的效应，是待估参数，且满足b1+b2+…+bb=0
Øεij为试验误差，诸εij是相互独立同分布的随机变量，它们的共同分布为N（0,σ2）,其中σ2为误差方差，是待估参数
利用最小二乘法很容易获得各种效应的估计，它们是：
由此可得各拟合值与残差：
易知第i个处理在第j个区间内进行试验所得到的观察值yij服从正态分布N（μ+ai+bj,σ2），它们涉及vb个正态总体，这些总体的方差都相同，而它们的期望E（yij）=μ+ai+bj依赖于处理效应和区组效应。
区组效应的设立是为了把它从随机误差中分离出来，以便更准确地估计误差方差σ2，从而使以后的方差分析结果更为可信。
在随机化完全区组设计中我们需要关心的是v个处理效应是否彼此相等，即需要检验的一对假设是：
H0:
a1=a2=…=av=0
H1:
诸ai不全为零
（1）
这需要我们采用方差分析来检验这一对假设。
4.3方差分析
由平方和分解式：
ST=SA+SB+Se，fT=fA+fB+fe以及定理2.2.4可以证明
（1）在处理效应皆为零时，SA/σ2～χ2（v-1）
（2）在区组效应皆为零时，SB/σ2～χ2（b-1）
（3）Se/σ2～χ2（（v-1）（b-1））
并且他们相互独立。
因此检验处理效应皆为零的假设可用的检验统计量是：
在假设
（1）为真时，它服从F分布F（fA,fe）.对给定的显著性水平α，其拒绝域为：
W={F>F1-α（fA,fe）}
其方差分析表如下：
表3随机化完全区组设计的方差分析表
来源
平方和自由度均方和F比
处理
区组
误差
fA=v-1MSA=SA/fA
fB=b-1MSB=SB/fB___
Se=ST-SA-SBfe=（v-1）（b-1）MSe=Se/fe
总和
fT=vb-1
将试验数据代入所建立的模型并进行方差分析:
ST=9.32+9.42+9.62+…+102+10.22-1542/16=1.29,fT=15
SA=（38.32+38.42+37.82+39.52）/4-1542/16=0.385,fA=3
SB=（37.62+37.72+38.92+39.82）/4-1542/16=0.825,fB=3
Se=1.29-0.385-0.825=0.08,fe=9
把这些平方和以及其自由度移至方差分析表上再进行F检验，见表4.
表4方差分析表
来源
平方和自由度均方和F比
处理
区组
误差
0.38530.12814.4
0.82530.275
0.0890.0089
总和
1.2915
若取显著性水平α=0.05，则其临界值F0.95（3,9）=3.86,由于F>3.86，从而拒绝H0，故4种杆尖对金属试件的硬度测量结果有显著差异。
另外，还可得到这个试验的误差方差σ2的估计：
，其标准差的估计为
。
4.4区组检验
仍给定显著性水平α=0.05，其临界值为F0.05（3,9）=3.86,由于F>3.86，从而认为区组效应显著，当初设立区组是很有必要的。
若不设立区组，区组平方和将并入误差平方和，其方差如表5所示。
表5不设立区组的方差分析表
来源
平方和自由度均方和F比
处理
误差
0.38530.1281.6972
0.905120.0754
总和
1.2915
若设显著性水平α=0.05，那么该检验的临界值为F0.95（3,12）=3.49，由于F<3.49，故不能拒绝H0，即4种处理间没有显著差异。
这一错误结论是没有重视区组作用而导致的。
所以在试验中，凡是在试件中存在（或可能存在）明显差异时，都应运用区组概念去减少数据中的误差。
4.5多重比较
在随机化区组设计中，若经方差分析处理因子是显著的，那对各处理间还需作多重比较，以便发现哪些处理值得重视。
由于此次试验为随机化完全区组设计，区组数b就是重复数，且各处理的重复数都相等，这时误差自由度fe=（r-1）（b-1）所以采用T法对此4种处理进行多重比较。
重复次数相等情况的T法
这是Tukey在1953年提出的多重比较方法，简称T法，适用于重复数相等的情况，这里设重复数皆为m。
直观考虑，当H0ij为真时，
不应过大，过大就应该拒绝H0ij。
因此在同时考虑
个假设H0ij时，“诸H0ij中至少有一个不成立”就构成多重比较的拒绝域W，它应有如下形式：
这里
表示水平Ai下数据的平均值，i=1,2,…,r。
如果给定显著性水平α，就要确定这样的临界值c，使得上述
个假设H0ij都成立时，而犯第一类错误的概率P（W）=α。
下面来确定临界值c。
其中MSe为方差分析中的误差均方和，它是方差σ2的无偏估计，并且与诸
相互独立，从而
于是
分别是来自t（fe）分布的容量为r的样本的最大与最小次序统计量，从而
是t（fe）的容量为r的样本极差，它被称为t化极差统计量，它的分布不易导出，但知它的分布只与t分布的自由度fe（即误差平方和的自由度）和样本量r（即因子A的水平数有关，因此可以用随机模拟法获得
分布的分位数，为使
可取
的1-α分位数，使
，从而显著性水平为α的临界值为：
综上可知，其显著性水平为α的拒绝域为：
在本次试验中，经方差分析已确定4种杆尖间有显著差异。
现用上述的T法对4种处理进行多重比较。
在给定的显著性水平下，拒绝域应为：
其中α=0.05，r=4，b=4，fe=，MSe=0.0089，q0.95（4,9）=4.41,故当
时，表示第i个处理与第j个处理间有显著差异。
如今从表2可查得：
它们两两之间差的绝对值分别为：
由此可见，除了第1种与第4种、第2种与第4种杆尖之间无显著差异外，其他各对之间均有显著差异。
特别是第2种和第3种杆尖之间有显著差异。
4.6模型检验
对于模型的检验涉及正态性假定和方差齐性等两个问题，而我们的此次试验缺少重复的情况，对误差方差齐性的检验还缺少方法，我们只能从数据的产生过程对误差方差齐性做些定性的判断。
譬如此次试验所得数据是在相同的或类似的试验环境下产生的，可以认为误差方差近似达到齐性。
正态性诊断我们可以借助残差分析进行。
在此次试验中，r-4，b=4，共进行16次试验，故有16个残差。
考虑到区组效应显著，故残差计算公式为：
可得16个残差，它们（按从小到大次序）是：
-0.1-0.075-0.075-0.075-0.05-0.05-0.025-0.025
00.0250.0250.0250.050.10.10.15
这时残差的正态概率图如图1所示。
从该图可以看出，没有非正态性的严重标志，可认为该组残差近似为正态分布。
图1残差的正态概率图
5总结
硬度是指材料抵抗其它较硬物体压入其表面的能力，是衡量材料软硬的一个指标，对不同的应用材料有不同的含义。
硬度值的大小是表征材料软硬程度的有条件的定量反映。
它不是一个单纯而确定物理量，而是表征着材料的弹性、塑性、强度和韧性等一系列不同物理量组合的一种综合性能指标。
硬度值的大小不仅取决于材料的本身，而且取决于测试条件和测定方法，即不同的硬度测量方法，对同一种材料测定的硬度值不尽相同。
因此，要衡量材料之间的硬度大小，必须使用同一种测量方法测量的硬度值进行比较。
通过方差分析我们得出4种杆尖对金属试件的硬度测量结果有显著差异，再经过对区组的检验，我们发现当初设立区组是很有必要的，凡是在试件中存在（或可能存在）明显差异时，都应运用区组概念去减少数据中的误差。
最后对各处理作多重比较，发现第1种与第4种、第2种与第4种杆尖之间无显著差异外，其他各对之间均有显著差异，特别是第2种和第3种杆尖之间有显著差异。
参考文献
[1]茆诗松周纪芗陈颖主编．试验设计（第2版）．中国统计出版社，2012
[2]赵选民著.试验设计科学出版社，2005
[3]李云雁胡传荣著.试验设计与数据处理化学工艺出版社，2004
[4]方开泰刘民千周永道主编试验设计与建模北京高等教育出版社2011
[5]苏均和编试验设计上海财经大学出版社2005
附录
试验实测数据
区组j
处理i
1234
1
2
3
4
9.39.49.610.0
9.49.39.89.9
9.29.49.59.7
9.79.610.010.2
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