找等量关系列方程.docx

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找等量关系列方程

找等量关系列方程讲义2

（根据常见的数量关系或公式确定等量关系）

二、根据常见的数量关系或公式确定等量关系。

包括行程问题（一般行程问题、相遇问题、追击问题）、总价问题、工程问题，面积问题、体积问题等。

如：

路程=速度×时间、总价=单价×数量、工作总量=工作效率×工作时间、

正方形面积=边长×边长、正方体体积=棱长×棱长×棱长等

1、行程问题：

解决行程问题一定要用到行程的公式：

路程=速度×时间。

因此要牢记并熟练运用它的变形公式：

速度=路程÷时间、时间=路程÷速度

（1）一般行程问题：

一般行程问题可以直接用行程公式或者它的变形公式来找出等量关系从而列出方程解决问题。

例题：

1、北京到天津的铁路长137千米，一列火车从北京出发，平均每小时行68.5千米，多少小时到达天津？

这是一个关于一般行程的问题，解决行程的问题首先要想到行程的公式：

速度×时间=路程，它也是一个数量的关系，根据它即可找出等量关系。

设火车X小时到达天津，得：

68.5X=137

2、小明骑自行车去学校，小明家距离学校10千米，小明骑自行车到达学校用了2小时，小明骑自行车的速度是多少？

这也是一个关于一般行程的问题，运用行程的变形公式即可解决。

设小明骑自行车的速度为X。

则根据行程的变形公式可得：

2X=10即可解决。

（2）相遇问题：

实际解决问题的应用中我们经常会遇到关于相遇的问题，即两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。

解决关于相遇的问题，它是一般行程问题的变形题目，是一般行程问题的拓展，也要运用行程公式来解决。

由此我们可以看出相遇问题的等量关系是：

两个运动物体的行使路程的和=总路程。

（在解题过程中简单的画图是一个行之有效、简便快捷的方法）

例题：

1、南京到上海的水路长392千米，甲、乙两船同时从两港相向开出，甲船每小时行28千米，乙船每小时行21千米，经过几小时两船相遇？

这就是一个相遇的问题，我们可以直接运用相遇问题的等量关系列方程解决。

设经过X小时两船相遇。

那么X小时后甲船行驶28X千米，乙船行驶21X千米，根据相遇问题的等量关系式：

甲船行驶的路程+乙船行驶的路程=总路程，我们可以列出方程：

28X+21X=392即可求出时间。

2、甲乙两列火车从东西两城相向开出，甲车每小时行驶78千米，乙车每小时行驶72千米，经过5小时相遇，东西两城相距多少千米？

这又是一个关于相遇的问题，只要我们记住相遇问题的等量关系式便可以很快地解决。

甲车行驶的距离+乙车行驶的距离=总距离

设东西两城相距X千米。

则:

78×5+72×5=X即可求得

3、甲、乙两人同时从两地骑车相向而行，甲的速度是每小时20千米，乙每小时行18千米，两人相遇时距中点3千米。

问全程有多少千米？

这也是一道关于相遇的题目，但是，我们还可以发现，如果我们直接求两地之间的距离是由困难的，因为没有时间。

那么我们是否可以迂回求得结果呢？

可以！

我们可以先求出他们相遇时花费的时间，然后再求出距离，等量关系就是甲、乙行驶的路程差。

设他们相遇用了X小时。

则甲行驶的距离：

20X,乙行驶的距离：

18X。

由题目可知，他们的距离差为3×2=6千米，因此：

20X-18X=3×2，即可求得。

两个及两个以上运动物体运动时总速度即它们的速度之和.

因此,上面的题目还可以这样做

设东西两城相距X千米。

X÷（78+72）=5即可求得.

（3）追击问题:

实际解决问题的应用中我们经常会遇到关于追击的问题，即两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体,这就是追及问题。

追击问题也是行程问题的变形问题,也要运用行程公式解决。

①两个运动的物体在同一地点而不是同时出发的追击问题：

这是甲和乙在同一地点不同时间出发的情形,由此我们可以看出,甲和乙行驶的路程是相同的.因此,甲和乙在同一地点而不是同时出发题目的等量关系式是:

甲行驶的路程=乙行驶的路程

例题:

1、甲在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度到乙地，乙在晚上22点以每小时30千米的速度从甲地出发开始追击。

问乙几个小时可以追上甲？

这就是一个关于在同一个地点出发的追击问题，因此我们可以利用在同一地点而不是同时出发的等量关系式是:

甲行驶的路程=乙行驶的路程，即可很容易的解决。

设X小时乙可以追上甲。

甲行驶的路程为6×10+10X，乙行驶的路程为30X

那么方程为：

6×10+10X=30X

2、甲、乙两人驾车自A地出发同向而行，甲先出发半小时后，乙以每小时80千米的速度追赶甲，如果乙行进了3.5小时后追上甲，求甲的速度是多少?

这也是关于追击的问题,所不同的是求速度。

但是,同样要用在同一地点而不是同时出发的等量关系式是:

甲行驶的路程=乙行驶的路程，来解决。

设甲的速度是X。

则甲行驶的路程为：

0.5X+3.5X，乙行驶的路程为：

80×3.5

因此方程为：

0.5X+3.5X=80×3.5

②两个运动物体在不同地点同时出发的追击问题：

如上图,这是甲和乙在不同地点同时间出发的情形,由此我们可以看出,乙行驶的路程就是甲和乙相距得路程加上乙行驶的路程。

因此，甲和乙在不地点同时出发题目的等量关系式是:

甲行驶的路程+甲乙相距的距离=乙行驶的路程

例题：

1、甲、乙两地相距60千米，甲从甲地以每小时10千米的速度到乙地，乙以每小时30千米的速度从乙地出发开始追击。

问乙几个小时可以追上甲？

很典型的两个运动物体在不同地点同时出发的追击问题，因此，我们直接运用甲和乙在不地点同时出发的等量关系式:

甲行驶的路程+甲乙相距的距离=乙行驶的路程，即可解决。

设X小时乙可以追上甲。

则甲行驶的距离为：

10X，那么乙行驶的距离为：

30X。

则方程为：

10X+60=30X

2、甲在乙后边36千米处，两人同时同向而行，甲的速度是每小时18千米，他用了4小时追上了乙，乙的速度是多少？

这也是关于两个运动物体在不同地点同时出发的追击问题，尽管是求速度的问题，但我们同样可以利用甲和乙在不地点同时出发的等量关系式:

甲行驶的路程+甲乙相距的距离=乙行驶的路程，来解决问题。

由于在这道题中，甲在乙的后边，因此此题的等量关系式是：

乙行驶的路程+甲乙相距的距离=甲行驶的路程。

设乙的速度为X。

则乙行驶的路程为：

4X，甲行驶的路程为：

18×4

因此根据等量关系是，方程为：

4X+36=18×4

③两个运动物体在不同地点又不是同时出发的追击问题：

如上图,这是在不同地点又不是同时出发的情形,由此我们可以看出,这种情形跟甲和乙在不同地点同时间出发的情形是一样的,都是乙行驶的路程就是甲和乙相距得路程加上乙行驶的路程。

因此，甲和乙在不地点不同时出发题目的等量关系式也是:

甲行驶的路程+甲乙相距的距离=乙行驶的路程

例题:

1、甲从下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度到乙地，乙在晚上22点从乙地以每小时30千米的速度从乙地出发开始追击，甲、乙两地相距60千米。

问乙几个小时可以追上甲？

这就是两个运动物体在不同地点不同时出发的追击问题，因此，我们直接运用甲和乙在不地点不同时出发的等量关系式:

甲行驶的路程+甲乙相距的距离=乙行驶的路程来解决。

设X小时乙可以追上甲。

则甲行驶的距离为：

（22-16）×10+10X，那么乙行驶的距离为：

30X。

则方程为：

（22-16）×10+10X+60=30X即可解决。

2、甲在乙后边36千米处，乙先行驶0.5小时后甲再同向而行，甲的速度是每小时18千米，他用了4小时追上了乙，乙的速度是多少？

这也是关于两个运动物体在不同地点不同时出发的追击问题，尽管是求速度的问题，但我们同样可以利用甲和乙在不地点不同时出发的等量关系式:

甲行驶的路程+甲乙相距的距离=乙行驶的路程，来解决问题。

由于在这道题中，甲在乙的后边，因此此题的等量关系式是：

乙行驶的路程+甲乙相距的距离=甲行驶的路程。

设乙的速度为X。

则乙行驶得路程为：

0.5X+4X、甲行驶的路程为：

18×4

根据等量关系式，方程为：

0.5X+4X+36=18×4

2、工程问题：

在日常解决数学问题的过程中我们还经常回遇到关于工程的问题。

那么什么是工程问题呢？

如做某件事、制造某种产品、完成某项任务或者工程都属于工程问题。

比如：

小王要打印一份资料、同学们要完成数学作业、工人们要打通一条隧道

等等都属于工程问题的解决范畴。

工程问题有三个基本量：

工作效率、工作时间、工作总量。

工作效率：

单位时间内完成的工作量，它是衡量一个人工作快慢的量。

单位时间的选取根据题意可以是天，也可以是小时、分、秒等。

如：

小王每分钟打60个字、淘气每小时做50道数学题、工人们每天挖100米隧道等。

工作时间：

完成工作总量所需要的时间。

如：

小王打印资料需要1天时间，一天即工作时间。

淘气完成数学题需要2小时，2小时即工作时间。

工人们打通隧道需要2个月时间，2个月即工作时间。

工作量：

是指工作的多少，它可以是全部的工作量，一般的，通常用单位“1”来表示工作量。

如：

小王打印资料，资料就是工作量，用“1”表示。

淘气完成数学题，数学题就是工作量，用“1”表示。

工人们打通隧道，隧道就是工作量，用“1”表示。

工作总量、工作效率、工作时间三者之间的数量关系是：

工作总量=工作效率×工作时间

工程问题的题目，都要运用这个等量关系式或者它的变形式子来解决。

工作效率=工作总量÷工作时间、工作时间=工作总量÷工作效率

上述三个关系式就是我们今后列方程要运动到的三个等量关系式。

同时我们还要注意到：

A、如果我们以工作量作为等量关系，那么：

部分工作量之和=总工作量。

如：

淘气和笑笑两个人一起打印完了一份资料。

那么：

淘气打印的数量+笑笑打印的数量=总数量

B、如果我们以工作时间做等量关系，那么：

完成同一工作的时间差=多用的时间。

如：

完成一项工作，计划10天，结果8天完成。

那么：

计划的时间与实际时间的差就是计划多了的时间。

C、总工作效率=部分工作效率之和

如：

淘气每分钟打字60个，笑笑每分钟打字50个。

那么如果淘气和笑笑共同打字，他们的效率就是：

每分钟60+50=110个。

例题：

1、甲、乙两个工程队共同开凿一具隧道。

15天共开凿了2070米，甲队每天开凿65米，乙队每天开凿多少米？

这是基本的工程问题，我们可以利用工程的等量关系很容易的解决。

我们可以以工作量作为等量关系，那么：

部分工作量之和=总工作量。

设乙队每天开凿X米。

那么，甲队15天开凿了（15×65）米，

乙队15天开凿了15×X。

那么这道题的方程为：

15X+（15×65）=2070

2、修一条公路，计划每天修1.2千米，比实际少修0.2千米，结果提前5天修完，这条路全长多少米？

这道题也需要运用工程的等量关系来解决。

计划的工作效率已经知道了是每天1.2千米，根据题意，我们还可以知道实际的工作效率：

1.2+0.2=1.4千米/每天。

由于题目要求这条路的总长，因此我们可以设为X。

如此总工作量也知道了。

我们可以以工作时间做等量关系：

完成同一工作的时间差=多用的时间。

即计划工作时间-实际工作时间=多余的时间。

计划工作时间是：

（X÷1.2），实际工作时间为：

X÷（1.2+0.2）。

那么，这道题的方程为：

X÷1.2-X÷（1.2+0.2）=5

3、修一条公路，单独修甲要8天完成，乙要10天完成，甲乙合做4天后，还余下72米没有修，这条公路全长多少米？

这是一道关于工程的题目，因此一定要用工程的等量关系式：

工作总量=工作效率×工作时间，来解决。

而要解决这个问题就要知道甲和乙的各自的效率，我们可以发现：

题目中已经告诉了甲和乙各自独立完成所需要的时间，因此，如果知道了全长，我们就可以知道它们的效率，而这道题就是要求全长，因此我们可以设全长为X,设定以后，全长就是已知的了，那么，甲的工作效率为：

，乙的工作效率为：

。

那么他们合作的工作效率就是：

（

+

）,他们合作4天完成的工作量为:

（

+

）×4。

总工作量-已经完成的工作量=剩下的工作量

因此，这道题的方程就是：

X-（

+

）×4=72

3、年龄问题：

这类问题是根据题目的内容而得名，即求年龄。

这类问题的特点是：

在任何时候两个人的年龄差是不变的。

无论向前或向后运算，每个人的年龄增加或减少的都一样。

随着时间的改变，两个人的年龄的倍数关系是变化的。

两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。

根据上述特点，我们就可以利用“和”、“差”、“倍数”等关系找出等量关系，从而列出方程。

例题：

1、小红和妈妈的年龄合起来一共是40岁，再过2年，妈妈的年龄就是小红的3倍。

今年小红和妈妈分别是多少岁？

我们很容易知道这是一道关于年龄的题目。

根据年龄问题的特点，再根据叙述的先后顺序即可以找出等量关系。

因为要求小红和妈妈两个人的年龄，我们可以先设一个人的年龄，因为题目中有“小红和妈妈的年龄合起来一共是40岁”，那么设了一个人的年龄后，另外一个人的年龄也就知道了。

设小红的年龄是X。

则妈妈的年龄就是：

40-X。

再根据年龄问题“无论向前或向后运算，每个人的年龄增加或减少的都一样。

”特点，两年后小红（X+2）岁，妈妈：

（40-X+2）岁。

然后根据题目中给的“妈妈的年龄就是小红的3倍”就可以找出等量关系，列出方程。

3×（X+2）=（40-X+2）

2、10年前刘丽的妈妈的年龄是她的7倍，15年后刘丽的年龄正好是妈妈年龄的一半，问：

刘丽现在多少岁？

我们设刘丽现在X岁。

根据年龄问题“无论向前或向后运算，每个人的年龄增加或减少的都一样。

”特点，10年前刘丽：

（X-10）岁，妈妈：

7×（X-10）。

15年后，刘丽的年龄是：

（X+15）岁，妈妈：

7×（X-10）+25岁。

在根据：

“15年后刘丽的年龄正好是妈妈年龄的一半”，即可找出等量关系，列出方程。

2×（X+15）=7×（X-10）+25

4、面积和体积问题：

关于这类问题的解决首先要熟练的掌握各种图形的面积和体积公式，如此才能准确的找出等量关系，列出方程。

三角形面积=底×高÷2、长方形面积=长×宽、正方形面积=边长×边长

梯形面积=（上底+下底）×高÷2、圆面积=半径×半径×π

长方体体积=长×宽×高、正方体体积=边长×边长×边长

圆柱体积=底面积×高、圆锥体积=底面积×高÷3

等积变形是一个以形状改变而体积不变为前提的数学论题，它的等量关系是：

（1）形状面积变了，周长没有变。

（2）原材料体积=成品体积。

例题：

1、一个三角形的面积是28.26平方厘米，已知底是18厘米，求高。

这是一个关于三角形面积的问题，因此，我们要立即想到三角形的面积公式：

面积=底×高÷2，根据面积公式即可找出等量关系，列出方程。

设三角形的高为X,得：

18X÷2=28.26

2、有一内径为20cm、高为36cm的圆柱形水桶，装满水后，将水倒入内径为24cm的圆柱形水箱中，水占水箱容积的一半，求这个水箱的高。

这是一个关于体积问题的题目，我们要明确水在两个桶的转化过程中它的体积是没有发生任何变化的。

据此我们可以找出等量关系。

首先，我们要很清楚圆柱的体积公式：

体积=底面积×高。

那么水的体积即第一个圆柱形水桶的体积：

36×20×20×π÷4。

这些水倒入第二个水桶后体积没有发生任何的变化，从题目中我们可以发现这样的字“水占水箱容积的一半”，因此，我们只要知道第二个水箱的体积，就能用它的体积表示出水的体积。

我们设水箱的高为X，则水箱的体积为：

24×24×X×π÷4，那么，水的体积用水箱的体积就表示为：

24×24×X×π÷4÷2

那么方程就是：

24×24×X×π÷4÷2=36×20×20×π÷4