数学建模氮磷钾配比.docx
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数学建模氮磷钾配比
摘要
农作物的生长所需营养素主要是氮、磷、钾，肥料的选择及施用量的选取
对作物的生长有着重要的影响，针对该地区的土豆与菜做了一定的数量实验，
当一个营养素的施肥量变化时，总将另两个营养素的施肥量保持在第七个水平
上，结合各变量的散点图可以判断土豆产量与氮肥施用量之间应该可以用二次
函数关系来拟合。
利用SPSS进行曲线估计考察选择曲线拟合函数的类型，用
MATLAB编制相应的程序进行计算，并得出相应的结论对施肥的效果做出分析，
给予田间生产一定的参考作用
关键字：
曲线拟合、散点图、施肥效果、SPSS
施肥量 N
（kg/ha）
产量
（t/ha）
施肥量 P
（kg/ha）
产量
（t/ha）
施肥量 K
（kg/ha）
产量
（t/ha）
0
15.18
0
33.46
0
18.98
34
21.36
24
32.47
47
27.35
67
25.72
49
36.06
93
34.86
101
32.29
73
37.96
140
39.52
135
34.03
98
41.04
186
38.44
202
39.45
147
40.09
279
37.73
259
43.15
196
41.26
372
38.43
336
43.46
245
42.17
465
43.87
404
40.83
294
40.36
558
42.77
471
30.75
342
42.73
651
46.22
一、问题的提出
随着经济的发展人们的饮食发生了改变，从营养学的观点看，为了保证平
衡膳食、满足机体需要，又不致营养过剩，营养师提倡大家多吃绿色植物，因
此农作物中的营养元素越来越少到是消费者的关注，而保持农作物中的营养元
素也越来越重要。
某地区作物生长所需的营养素主要是氮（N）、钾（K）、磷
（P）。
某作物研究所在某地区对土豆与菜做了一定数量的实验，实验数据如下
列表所示，其中 ha 表示公顷，t 表示吨，kg 表示公斤。
当一个营养素的施肥
量变化时，总将另两个营养素的施肥量保持在第七个水平上，如对土豆产量关
于 N 的施肥量做实验时，P 与 K 的施肥量分别取为 196kg／ha 与 372kg／ha。
试分析施肥量与产量之间关系，并对所得结果从应用价值与如何改进等方
面做出估计。
土豆：
N P K
菜：
N P K
施肥量
（kg/ha）
产量
（t/ha）
施肥量
（kg/ha）
产量
（t/ha）
施肥量
（kg/ha）
产量
（t/ha）
0
11.02
0
6.39
0
15.75
28
12.70
49
9.48
47
16.76
56
14.56
98
12.46
93
16.89
84
16.27
147
14.33
140
16.24
112
17.75
196
17.10
186
17.56
168
22.59
294
21.94
279
19.20
224
21.63
391
22.64
372
17.97
280
19.34
489
21.34
465
15.84
336
16.12
587
22.07
558
20.11
392
14.11
685
24.53
651
19.40
二、模型假设
1.两种植物在相同的温度、适宜的水分、充足的光照等外界环境下生长
2.两种植物的施肥量相同，不同的营养元素对两种植物的影响
3.两种植物的营养元素相同，不同的施肥量对两种植物的影响
三、符号说明
N1—土豆含 N 的施肥量Y1—施 N 后土豆的产量
N2—菜含 N 的施肥量Y12—施 N 后菜的产量
P1—土豆含 P 的施肥量Y2—施 P 后土豆的产量
P2—菜含 P 的施肥量Y22—施 P 后菜的产量
K1—土豆含 K 的施肥量Y3—施 K 后土豆的产量
K2—菜含 K 的施肥量Y32—施 K 后菜的产量
四、模型分析
利用散点图,对所拟合问题的曲线类型做出判断当需要拟合两个变量之间的函
数关系时,首先需要确定所求函数对应曲线的类型,然后根据曲线类型对所 求函
数的对应关系进行假设,并利用已知数据计算所需参数,从而形成对两个变量之
间函数关系的最终确定.考虑函数所对应曲线的类型,通常有三个参照指标
1.是绘制两个变量的散点图,从图象的角度判断函数关系的类型;
2.是根据给出变量的数据关系以及数据走向来判断
3.是根据所考虑变量之间内在的规律来讨论.本问题中,我们需要考察的是土豆
产量与各营养素之间的函数关系
应用 Matlab 程序得下图绘制土豆和生菜与三种营养素之间的散点图如下：
土豆产量与氮肥、磷肥、钾肥施用量之间关系的散点图
从散点图中我们可以看到：
N 肥的用量对有些农作物产量的影响是：
当 N 肥的
使用量较少时，随着 N 肥的用量的增加，农作物的产量会增加，到一定用量后
产量达到最大值，然后，当 N 肥的用量继续增加时，农作物的产量反而会降低。
而在一定的范围内，P 肥和 K 肥的用量对农作物产量的影响将随着其用量的增
加而一直增加，只是当 P 肥和 K 肥用量较少时，随着其用量的增加，农作物的
产量增加不大。
具有这种特点的函数关系在数学上用二次多项式就能很好的反
映出来。
五、模型建立与求解
（一）确定各变量间函数关系
由上段的讨论, 可以确定土豆产量与各营养素施用水平之间的函数关系为:
y1 = a1n2 + b1n + c1
y1 =
p
a 2 p + b2
y1 = a3 + b3ec3k
ai , bi , ci 等为待拟合常数。
（二）生菜与三种营养元素的关系
直接利用SPSS进行曲线估计可得，生菜产量与氮肥、磷肥、钾肥用量之间
拟合的函数关系（见下图）
用SPSS软件拟合可得到结果
（三）模型求解
1.土豆产量的求解
编制Matlab程序，对上述拟合问题进行求解，
可以解得：
a1 = -0.0003
a2 = 0.0222
a3 = 42.6644
b1 = 0.1971
b2 = 0.6675
b3 = -23.3945
c1 = 14.7416
c3 = -0.009
从而所拟合的函数为：
氮肥：
y1（N）= -0.0003n2 + 0.1971n +14.7416
y1
磷肥：
（P）=
p
0.0222 p + 0.6675
y1=
钾肥：
（K） 42.6644 - 23.3945e-0.009k
2.生菜产量的求解
利用SPSS曲线估计对上述拟合问题进行求解,由数据分析可得拟合函数为三次函
数时 R 2 均比较大，因此三个图的拟合曲线均可利用三次函数表示：
令 y = ain3 + bin2 + cin + di
a 4 = -1.859e-8
a5 = 1.064e-7
a 6 = 5.423e-8
b4 = 0
b5 = 0
b6 = -5.291e-5
c4 = 0.099
c5 = 0.88
c6 = 0.018
d4 = 10.357
d5 = 5.661
d6 = 15.711
题, 方法简练, 道理清晰, 结果可信。
SPSS 曲线估计用 R 统计量比较得知虽适
氮肥:
y2 （N ） = -1.859e-8n3 + 0.099n + 10.375
磷肥：
y2 （P） = 1.064e-7n3 + 0.88n + 5.661
钾肥：
y2 （K ） = 5.423e-8n3 - 5.291e-7n2 + 0.018n + 15.711
分析结果表明土豆的产量对N具有强线性依赖性, 而生菜是对P；最佳施肥
方案中N、P、K的用量土豆为292, 246,542（ 公斤/公顷）, 生菜为213,667 ,
427（公斤/公顷）。
对应产量为43.18和23.13吨/公顷, 且均在试验范围内达到,
可信性强；对土豆, 强影响因子依次为N、K、P, 对生菜为P、N、K；
六、模型评价
1.模型优点
本模型利用 Matlab 编程,SPSS 曲线估计较成功地解决了施肥最佳方案问
2
合曲线，最终得到拟合曲线函数表达式。
2.模型缺点
在实际工作中, 三种肥料之间除了与产量有直接的数量关系外,还有彼此之
间的交互作用。
因此, 本模型只是一个初步的探讨, 要得到三种营养素与产量
之间的准确关系, 应该在实验之初就采取正交实验或均匀设计的方法, 得到更
有价值的实验数据, 从而更好的把握变量间的数量关系, 以达到直到农业生产
实践的目的。
七．模型应用
1.出钢时所用的盛钢水的钢包，由于钢水对耐火材料的侵蚀，容积不断增大。
研究使用次数与增大容积之间的关系
2.孔隙度与渗透率的关系模型
3.岩心孔隙度与声波时差的关系模型
参考文献
[1]赵静,但琦.数学建模与数学实验[M].北京:
高等教育出版社，2008
[2]张志涌.MATLAB 教程（R2006a-R2007a）[M].北京:
北京航天航天大学出版社,
2007:
165-168&177-192.
[3]刘志芳.施肥效果分析[J].科技信息（科学教研）,2007（29）
附录
1．N 与产量的关系应用 Matlab 程序如下：
N1=[0 34 67 101 135 202 259 336 404 471];Y1=[]15.18 21.36 25.72 32.29
34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75];
plot （N1,Y1,’+’）
N2=[0 28 56 84 112 168 224 280 336 392];Y12=[11.0212.7014.56
16.27 17.75 22.59 21.63 19.34 16.12 14.11];
Plot（N2,Y12,’+’）
2．P 与产量的关系应用 Matlab 程序如下：
P1=[0 24 49 73 98 147 196 245 294 342];Y2=[0 47 93 140 186 279 372
465 558 651];
plot （P1,Y2,’*’）
P2=[0 49 98 147 196 294 391 489 587 685];Y22=[6.39 9.48 12.46 14.33
17.10 21.94 22.64 21.34 22.07 24.53];
Plot（P2,Y22,’*’）
3．K 与产量的关系应用 Matlab 程序如下：
K1=[0 47 93 140 186 279 372 465 558 651];Y3=[18.98 27.35 34.86 38.52
38.44 37.73 38.43 43.87 42.77 46.22];
plot（K1,Y3,’*’）
K2=[0 47 93 140 186 279 372 465 558 651];Y32=[15.75 16.76 16.89 16.24
17.56 19.2017.97 15.84 20.11 19.40]
plot（K2,Y32,’*’）
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