届高考数学大一轮复习第十章计数原理103二项式定理学案理北师大版.docx

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届高考数学大一轮复习第十章计数原理103二项式定理学案理北师大版

§10.3　二项式定理

最新考纲

考情考向分析

1.能用计数原理证明二项式定理．

2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

以理解和应用二项式定理为主，常考查二项展开式，通项公式以及二项式系数的性质，赋值法求系数的和也是考查的热点；本节内容在高考中以选择题、填空题的形式进行考查，难度中档.

1．二项式定理

二项式定理

（a＋b）n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn（n∈N＋）

二项展开式的通项公式

Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项

二项式系数

二项展开式中各项的系数C（r∈{0,1,2，…，n}）

2.二项式系数的性质

（1）C＝1，C＝1.

C＝C＋C.

（2）C＝C.

（3）当n是偶数时，项的二项式系数最大；当n是奇数时，与项的二项式系数相等且最大．

（4）（a＋b）n展开式的二项式系数和：

C＋C＋C＋…＋C＝2n.

知识拓展

二项展开式形式上的特点

（1）项数为n＋1.

（2）各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.

（3）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.

（4）二项式的系数从C，C，一直到C，C.

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）Can－rbr是二项展开式的第r项．（　×　）

（2）二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．（　×　）

（3）（a＋b）n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．（　√　）

（4）（a－b）n的展开式第r＋1项的系数为Can－rbr.（　×　）

（5）（x－1）n的展开式二项式系数和为－2n.（　×　）

题组二　教材改编

2．（1＋2x）5的展开式中，x2的系数等于（　　）

A．80B．40

C．20D．10

答案　B

解析　Tr＋1＝C（2x）r＝C2rxr，当r＝2时，x2的系数为C·22＝40.

3．若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（　　）

A．10B．20

C．30D．120

答案　B

解析　二项式系数之和2n＝64，所以n＝6，Tr＋1＝C·x6－r·r＝Cx6－2r，当6－2r＝0，即当r＝3时为常数项，T4＝C＝20.

4．若（x－1）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为（　　）

A．9B．8C．7D．6

答案　B

解析　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.

题组三　易错自纠

5．（x－y）n的二项展开式中，第m项的系数是（　　）

A．CB．C

C．CD．（－1）m－1C

答案　D

解析　（x－y）n二项展开式第m项的通项公式为

Tm＝C（－y）m－1xn－m＋1，

所以系数为C（－1）m－1.

6．已知（x＋1）10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak（1≤k≤11，k∈N＋）是一个递增数列，则k的最大值是（　　）

A．5B．6

C．7D．8

答案　B

解析　由二项式定理知，an＝C（n＝1,2,3，…，11）．

又（x＋1）10展开式中二项式系数最大项是第6项，

所以a6＝C，则k的最大值为6.

7．（x－y）4的展开式中，x3y3项的系数为________．

答案　6

解析　二项展开式的通项是Tr＋1＝C（x）4－r·（－y）r＝（－1）rC，令4－＝2＋＝3，解得r＝2，故展开式中x3y3的系数为（－1）2C＝6.

题型一　二项展开式

命题点1　求二项展开式中的特定项或指定项的系数

典例

（1）（2017·全国Ⅰ）（1＋x）6的展开式中x2项的系数为（　　）

A．15B．20C．30D．35

答案　C

解析　因为（1＋x）6的通项为Cxr，所以（1＋x）6的展开式中含x2的项为1·Cx2和·Cx4.

因为C＋C＝2C＝2×＝30，

所以（1＋x）6的展开式中x2项的系数为30.

故选C.

（2）（x2＋x＋y）5的展开式中，x5y2项的系数为（　　）

A．10B．20

C．30D．60

答案　C

解析　方法一　利用二项展开式的通项公式求解．

（x2＋x＋y）5＝[（x2＋x）＋y]5，

含y2的项为T3＝C（x2＋x）3·y2.

其中（x2＋x）3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.

所以x5y2项的系数为CC＝30.故选C.

方法二　利用组合知识求解．

（x2＋x＋y）5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC＝30.故选C.

命题点2　已知二项展开式某项的系数求参数

典例

（1）（2018届海口调研）若（x2－a）10的展开式中x6的系数为30，则a等于（　　）

A.B.C．1D．2

答案　D

解析　由题意得10的展开式的通项公式是Tr＋1＝C·x10－r·r＝Cx10－2r，10的展开式中含x4（当r＝3时），x6（当r＝2时）项的系数分别为C，C，因此由题意得C－aC＝120－45a＝30，由此解得a＝2，故选D.

（2）（2016·山东）若5项的展开式中x5项的系数为－80，则实数a＝________.

答案　－2

解析　∵Tr＋1＝C（ax2）5－rr＝a5－rC，

∴10－r＝5，解得r＝2，∴a3C＝－80，解得a＝－2.

思维升华求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求（求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等），解出项数r＋1，代回通项公式即可．

跟踪训练

（1）（2017·全国Ⅲ）（x＋y）（2x－y）5的展开式中x3y3的系数为（　　）

A．－80B．－40C．40D．80

答案　C

解析　因为x3y3＝x·（x2y3），其系数为－C·22＝－40，

x3y3＝y·（x3y2），其系数为C·23＝80.

所以x3y3的系数为80－40＝40.

故选C.

（2）（x＋a）10的展开式中，x7项的系数为15，则a＝______.（用数字填写答案）

答案　

解析　设通项为Tr＋1＝Cx10－rar，令10－r＝7，

∴r＝3，∴x7项的系数为Ca3＝15，

∴a3＝，∴a＝.

题型二　二项式系数的和与各项的系数和问题

典例

（1）（a＋x）（1＋x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝____________.

答案　3

解析　设（a＋x）（1＋x）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，

令x＝1，得16（a＋1）＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①

令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②

①－②，得16（a＋1）＝2（a1＋a3＋a5），

即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1＋a3＋a5＝8（a＋1），所以8（a＋1）＝32，解得a＝3.

（2）（2018·汕头质检）若（x＋2＋m）9＝a0＋a1（x＋1）＋a2（x＋1）2＋…＋a9（x＋1）9，且（a0＋a2＋…＋a8）2－（a1＋a3＋…＋a9）2＝39，则实数m的值为________．

答案　1或－3

解析　令x＝0，则（2＋m）9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，

令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，

又（a0＋a2＋…＋a8）2－（a1＋a3＋…＋a9）2

＝（a0＋a1＋a2＋…＋a9）（a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9）＝39，

∴（2＋m）9·m9＝39，∴m（2＋m）＝3，

∴m＝－3或m＝1.

（3）若n的展开式中含x的项为第6项，设（1－3x）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a1＋a2＋…＋an的值为________．

答案　255

解析　n展开式的第r＋1项为

Tr＋1＝C（x2）n－r·r

＝C（－1）rx2n－3r，

当r＝5时，2n－3r＝1，∴n＝8.

对（1－3x）8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，

令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝28＝256.

又当x＝0时，a0＝1，

∴a1＋a2＋…＋a8＝255.

思维升华

（1）“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如（ax＋b）n，（ax2＋bx＋c）m（a，b，c∈R）的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法．

（2）若f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f（x）展开式中各项系数之和为f

（1），奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.

跟踪训练

（1）（2017·岳阳模拟）若二项式n的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为（　　）

A．－27CB．27C

C．－9CD．9C

答案　B

解析　令x＝1，得2n＝512，所以n＝9，故9的展开式的通项为Tr＋1＝C（3x2）9－rr＝（－1）rC·39－rx18－3r，令18－3r＝0，得r＝6.

所以常数项为T7＝（－1）6C·33＝27C.

（2）（2017·绵阳模拟）（1－3x）5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|等于（　　）

A．1024B．243

C．32D．24

答案　A

解析　令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝[1－（－3）]5＝45＝1024.

题型三　二项式定理的应用

典例

（1）设a∈Z且0≤a＜13，若512012＋a能被13整除，则a等于（　　）

A．0B．1C．11D．12

答案　D

解析　512012＋a＝（52－1）2012＋a＝C·522012－C·522011＋…＋C·52·（－1）2011＋C·（－1）2012＋a，

∵C·522012－C·522011＋…＋C·52·（－1）2011能被13整除且512012＋a能被13整除，

∴C·（－1）2012＋a＝1＋a也能被13整除，因此a的值为12.

（2）（2017·安徽江南名校联考）设复数x＝（i是虚数单位），则Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2017等于（　　）

A．iB．－i

C．－1＋iD．－1－i

答案　C

解析　x＝＝＝－1＋i，

Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2017

＝（1＋x）2017－1＝i2017－1＝i－1.

思维升华

（1）逆用二项式定理的关键

根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解．

（2）利用二项式定理解决整除问题的思路

①观察除式与被除式间的关系；

②将被除式拆成二项式；

③结合二项式定理得出结论．

跟踪训练

（1）（2018·泉州模拟）1－90C＋902C－903C＋…＋（－1）r90rC＋…＋9010C除以88的余数是（　　）

A．－1B．1

C．－87D．87

答案　B

解析　1－90C＋902C－903C＋…＋（－1）r90rC＋…＋9010C＝（1－90）10＝8910＝（88＋1）10＝8810＋C889＋…＋C88＋1，

∵前10项均能被88整除，∴余数是1.

（2）若（1－2x）2018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2018x2018，则＋＋…＋＝________.

答案　－1

解析