四川省泸州市届高三三诊考试理数试题 Word版含答案.docx
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四川省泸州市届高三三诊考试理数试题Word版含答案
泸州市高2014级第三次教学质量诊断性考试
数学（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合
，集合
，则
（）
A．
B．
C．
D．
2.复数
（其中
是虚数单位）的虚部为（）
A．
B．
C．1D．-1
3.已知等比数列
的公比
，
，则其前3项和
的值为（）
A．24B．28C．32D．16
4.已知平面向量
，
，则
的值是（）
A．1B．5C．
D．
5.如图，一环形花坛分成
四块，现有3种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）
A．12B．24C．18D．6
6.已知抛物线
的焦点为
，过点
且倾斜角为
的直线与抛物线
的准线交于点
，则线段
的长为（）
A．10B．6C．8D．4
7.设
是两条不同的直线，
是一个平面，则下列命题中正确的是（）
A．若
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
8.已知函数
的图象沿
轴向左平移
个单位后关于
轴对称，则函数
的一个单调递增区间是（）
A．
B．
C．
D．
9.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：
“今有堩（音gèng，意为道路）厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠目自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？
”现有程序框图描述，如图所示，则输出结果
的值为（）
A．4B．5C．2D．3
10.已知
中，
，以
为焦点的双曲线
（
）经过点
，且与
边交于点
，若
，则该双曲线的离心率为（）
A．
B．
C．
D．
11.已知一个三棱锥的三视图如下图所示，其中俯视图是顶角为
的等腰三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（）
A．
B．
C．
D．
12.已知函数
与
（
）的图象有且只有一个公共点，则
所在的区间为（）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.
展开式中，
项的系数为．
14.设不等式组
表示的平面区域为
，在区域
内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是．
15.若函数
，（
且
）的值域是
，则实数
的取值范围是．
16.已知数列
的前
项和
（
），则数列
的通项公式
．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知
的三个内角
的对边分别为
，若
.
（1）求证：
；
（2）若
，
，求
边上的高.
18.甲，乙两台机床同时生产一种零件，其质量按测试指标划分：
指标大于或等于95为正品，小于95为次品，现随机抽取这两台车床生产的零件各100件进行检测，检测结果统计如下：
测试指标
机床甲
8
12
40
32
8
机床乙
7
18
40
29
6
（1）试分别估计甲机床、乙机床生产的零件为正品的概率；
（2）甲机床生产一件零件，若是正品可盈利160元，次品则亏损20元；乙机床生产一件零件，若是正品可盈利200元，次品则亏损40元，在
（1）的前提下，现需生产这种零件2件，以获得利润的期望值为决策依据，应该如何安排生产最佳？
19.如图，在梯形
中，
，
，
，平面
平面
，四边形
是矩形，
，点
在线段
上.
（1）当
为何值时，
平面
？
证明你的结论；
（2）求二面角
的平面角的余弦值.
20.已知点
是圆
上的任意一点，点
为圆
的圆心，点
与点
关于平面直角系的坐标原点对称，线段
的垂直平分线与线段
交于点
.
（1）求动点
的轨迹
的方程；
（2）若轨迹
与
轴正半轴交于点
，直线
交轨迹
于
两点，求
面积的取值范围.
21.已知函数
（其中
为自然对数的底数）
（1）设过点
的直线
与曲线
相切于点
，求
的值；
（2）若函数
的图象与函数
的图象在
内有交点，求实数
的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线
（
为参数）经伸缩变换
后的曲线为
，以坐标原点
为极点，
轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线
的极坐标方程；
（2）
是曲线
上两点，且
，求
的取值范围.
23.选修4-5：
不等式选讲
已知函数
，若
的最小值为2.
（1）求实数
的值；
（2）若
，且
均为正实数，且满足
，求
的最小值.
试卷答案
一、选择题
1-5:
ACBBC6-10:
DBBAD11、12:
AD
二、填空题
13.
14.
15.
16.
三、解答题
17.解：
（1）因为
，
所以
，
因为
，
所以
所以
即
，
即
，
因为
，
，所以
，
所以
或
，
故
；
（2）由
及
得，
，
由余弦定理：
得
，
解得：
，
由
得，
，
设
边上的高为
，则
，
即
，
所以
.
18.解：
（1）因为甲机床为正品的频率为
，
乙机床为正品的频率约为
，
所以估计甲、乙两机床为正品的概率分别为
；
（2）若用甲机床生产这2件零件，设可能获得的利润
为320元、140元、-40元，它们的概率分别为
，
，
，
所以获得的利润的期望
，
若用乙机床生产这2件零件，设可能获得的利润为
为400元、160元、-80元，它们的概率分别为
，
，
，
让你以获得的利润的期望
；
若用甲、乙机床各生产1件零件，设可能获得的利润
为360元、180元、120元、-60元，它们的概率分别为
，
，
，
所以获得的利润的期望
，
∵
，
所以安排乙机床生产最佳.
19.解：
（1）当
时，
平面
，证明如下：
在梯形
中，设
，连接
，
因为
，
，
所以
，又
，
因为
∽
因此
，
所以
，因为
是矩形，
所以四边形
是平行四边形，
所以
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
；
（2）在平面
内过点
作
，
因为平面
平面
，且交线为
，
则
平面
，即
，
，
以点
为原点，分别以
所在直线为
轴，建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
所以
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，则
，
∴
，取
，
同理可得平面
的法向量
，
所以
，
因为二面角
是锐角，所以其余弦值是
.
20.解：
（1）由题意知圆
的圆心为
，半径为4，
所以
，
由椭圆的定义知，动点
的轨迹是以
为焦点，4为长轴长的椭圆，
设椭圆
的方程为
（
），且焦距为
，则：
，即
，
故椭圆
的方程为
；
（2）把直线
，
代入椭圆方程消去
得：
，
由
得：
或
，
因为直线与椭圆相交于两点
，
，
则
，
，
因为点
，直线
与
轴交于点
的面积
，
当且仅当
，即
时取等号，
满足
所心
面积的取值范围是
.
21.解：
（1）因为函数
，所以
，
故直线
的斜率为
，
点
的切线
的方程为
，
因直线过
，
所以
，
即
解之得，
（2）令
，所以
，
设
，则
，
因函数
的图象与函数
的图象在
内有交点，
设
为
在
内的一个零点，
由
，
所以
在
和
上不可能单增，也不可能单减，
所以
在
和
上均存在零点，
即
在
上至少有两个零点，
当
时，
，
在
上递增，
不可能有两个及以上零点；
当
时，
，
在
上递减，
不可能有两个及以上零点；
当
时，令
，得
，
∴
在
上递减，在
上递增，
所以
设
，则
，
令
，得
，
当
时，
，
递增，
当
时，
，
递减，
所以
，
∴
恒成立，
若
有两个零点，则有
，
，
，
由
，
，得
，
当
，设
的两个零点为
，则
在
递增，在
递减，在
递增，
∴
，
，
所以
在
内有零点，
即函数
的图象与函数
的图象在
内有交点，
综上，实数
的取值范围是
.
22.解：
（1）曲线
化为普通方程为：
，
又
即
代入上式可知：
曲线
的方程为
，即
，
∴曲线
的极坐标方程为
.
（2）设
，
（
），
∴
，
因为
，
所以
的取值范围是
23.解：
（1）①当
时，即
时，
则当
时，
，
解得
或
（舍）；
②当
时，即
时，
则当
时，
，
解得
（舍）或
③当
时，即
，
，
此时
，不满足条件，
综上所述，
或
；
（2）由题意知，
，
∵
当且仅当
时取“
”，
∴
，所以
的最小值为18
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