高三数学学科基地密卷二.docx

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高三数学学科基地密卷二

2019-2020年高三数学学科基地密卷

（二）

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1．本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．

2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．

3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．

4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸的相应位置上．

1．若复数z满足（i是虚数单位），则z=▲．

2．已知集合A={x|6x+a>0}，若1A，则实数a的取值范围是▲．

3．命题p：

函数y=tanx在R上单调递增，命题q：

△ABC中，∠A>∠B是sinA>sinB的充要条件，则p∨q是▲命题．（填“真”“假”）

4．某地区为了解中学生的日平均睡眠时间（单位：

h），

随机选择了位中学生进行调查，根据所得数据

画出样本的频率分布直方图如图所示，且从左到

右的第1个、第4个、第2个、第3个小长方形

的面积依次构成公差为0.1的等差数列，

又第一小组的频数是10，则▲．

5．把一颗骰子投掷2次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，则方程组只有一个解的概率为▲．

6．如果，那么=▲．

7.已知双曲线的一个焦点在圆上，则双曲线的渐近线方程

为▲．

8．程序框图如下，若恰好经过6次循环输出结果，则a=▲．

9．将函数y＝sin（2x＋）的图象向左平移至少▲个单位，可得一个偶函数的图象．

10.已知直线平面，直线平面，给出下列命题：

1若，则；　　②若，则；

③若，则；　　④若，则.

其中正确命题的序号是▲．

1

1

1

1

1

1

…

1

2

3

4

5

6

…

1

3

5

7

9

11

…

1

4

7

10

13

16

…

1

5

9

13

17

21

…

1

6

11

16

21

26

…

…

…

…

…

…

…

…

11．某资料室在计算机使用中，产生如右表所示的编码，该编码以一定的规则排列，且从左至右以及从上到下都是无限的．此表中，主对角线上数列1，2，5，10，17，…的一个通项公式=▲．

12.在中，A（1，1），B（4，5），C（—1，1），

则与角A的平分线共线且方向相同的单位向量

为▲．

13.已知函数f（x）满足f

（1）=，f（x）+f（y）=4f（）f（）（x,y∈R），则f（—2011）=

▲．

14.已知二次函数，若函数在上有两个不同的零点，则的最小值为▲．

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．（本题满分14分）

已知ABC的面积S满足，且=—8．

（Ⅰ）求角A的取值范围；

（Ⅱ）若函数，求的最大值．

16．（本题满分14分）

如图，把长、宽分别为4、3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角．

（Ⅰ）求顶点B和D之间的距离；

（Ⅱ）现发现BC边上距点C的处有一缺口E，请过点E作一截面，将原三棱锥分割成一个三棱锥和一个棱台两部分，为使截去部分体积最小，如何作法？

请证明你的结论．

17．（本题满分15分）

如图，已知：

椭圆M的中心为O，长轴的两个端点为A、B，右焦点为F，AF=5BF．若椭圆M经过点C，C在AB上的射影为F，且△ABC的面积为5．

（Ⅰ）求椭圆M的方程；

（Ⅱ）已知圆O：

=1，直线=1，试证明：

当点P（m，n）在椭圆M上运动时，直线l与圆O恒相交；并求直线l被圆O截得的弦长的取值范围．

18．（本题满分15分）

各项均为正数的等比数列，a1=1，=16，单调增数列的前n项和为，，且（）．

（Ⅰ）求数列、的通项公式；

（Ⅱ）令（），求使得的所有n的值，并说明理由．

（Ⅲ）证明中任意三项不可能构成等差数列．

19．（本题满分16分）

由一个小区历年市场行情调查得知，某一种蔬菜在一年12个月内每月销售量（单位：

吨）与上市时间（单位：

月）的关系大致如图

（1）所示的折线表示，销售价格（单位：

元／千克）与上市时间（单位：

月）的大致关系如图

（2）所示的抛物线段表示（为顶点）．

（Ⅰ）请分别写出,关于的函数关系式，并求出在这一年内3到6月份的销售额最大的月份？

（Ⅱ）图

（1）中由四条线段所在直线围成的平面区域为，动点在内（包括边界），求的最大值；

（Ⅲ）由（Ⅱ），将动点所满足的条件及所求的最大值由加法运算类比到乘法运算（如类比为），试列出所满足的条件，并求出相应的最大值．

（图1）（图2）

20．（本题满分16分）

如果实数x，y，t满足|x—t|≤|y—t|，则称x比y接近t．

（Ⅰ）设a为实数，若a|a|比a更接近1，求a的取值范围；

（Ⅱ）f（x）=ln，证明：

比更接近0（k∈Z）．

数学附加题

（满分40分，考试时间30分钟）

21．【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4—1　几何证明选讲

已知中，,是外接圆劣弧上

的点（不与点重合），延长至.

求证：

的延长线平分.

B．选修4—2　矩阵与变换

已知矩阵，若矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α1＝，属于特征值5的一个特征向量为α2=．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．

C．选修4—4　参数方程与极坐标

已知圆C的参数方程为，若P是圆C与x轴正半轴的交点，以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P的圆C的切线为，求直线的极坐标方程．

D．选修4—5　不等式证明选讲

设均为正数，证明：

.

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22.已知一口袋中共有4只白球和2只红球

（1）从口袋中一次任取4只球，取到一只白球得1分，取到一只红球得2分，设得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；

（2）从口袋中每次取一球，取后放回，直到连续出现两次白球就停止取球，求6次取球后恰好被停止的概率．

23.在平面直角坐标系中，已知焦点为的抛物线上有两个动点、，且满足,过、两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为Ｍ．

（1）求：

的值；

（2）证明：

为定值．

参考答案

一、填空题

1.—1+2.3.真4.1005.6.07.

8.29.10.①③11.（n—1）2+112.13.14.

二、解答题

15.（Ⅰ）∵=—8，∴=—8，

∴=①

∵②

将①代入②得，由，得，

又，∴.

（Ⅱ）

=

==

==，

当，即时，取得最大值，

同时，取得最大值．

16.（Ⅰ）

由已知BO=,OD=在Rt△BOD中,BD=.

（Ⅱ）方案

（一）过E作EF//AC交AB于F,EG//CD,交BD于G,

平面EFG//平面ACD

原三棱锥被分成三棱锥B-EFG和三棱台EFG-CAD两部分,此时.

方案

（二）过E作EP//BD交CD于P,EQ//AB,交AC于Q,同

（一）可证平面EPQ//平面ABD,原三棱锥被分割成三棱锥C-EPQ和三棱台EPQ-BDA两部分,此时,

为使截去部分体积最小,故选用方案

（二）.

17.（Ⅰ）由题意设椭圆方程为，半焦距为c，

由AF=5BF，且AF=a+c,BF=a—c，∴a+c=5（a-c），得2a=3c.

（1）由题意CF⊥AB，设点C坐标（c，y），C在M上，代入得∴．由△ABC的面积为5，得，=5.

（2）

解

（1）

（2）得a=3，c=2.∴=9—4=5．∴所求椭圆M的方程为：

．

（Ⅱ）圆O到直线=1距离d=，由点P（m,n）在椭圆M上，则，显然，∴1，>1,∴d=<1，

而圆O的半径为1，直线l与圆O恒相交．

弦长t=2=2,由得，

∴,t=2,，∴，，∴，弦长t的取值范围是[]．

18．（Ⅰ）∵=，=4，∵，∴q=2，　∴

∴b3=＝8.∵+2　①

当n≥2时，+2②

①-②得即

∵∴=3，∴是公差为3的等差数列．

当n＝1时，+2，解得=1或=2，

当=1时，，此时=7，与矛盾；当时，此时此时=8=，∴．　

（Ⅱ）∵，∴＝，∴=2>1，=＞1，=2>1,>1，<1，下面证明当n≥5时，

事实上，当n≥5时，＝＜0

即，∵<1∴当n≥5时，，

故满足条件的所有n的值为1，2，3，4．

（Ⅲ）假设中存在三项p,q,r（p

∴2aq=ap+ar，即22q—1=2p—1+2r—1．∴2q—p+1=1+2r—p．

因左边为偶数，右边为奇数，矛盾．

∴假设不成立，故不存在任意三项能构成等差数列．

19.解（Ⅰ）

．

（

在恒成立，所以函数在上递增

当t=6时，=34.5．∴6月份销售额最大为34500元．

（Ⅱ），z=x—5y．

令x—5y=A（x+y）+B（x—y），则，

∴z=x—5y=—2（x+y）+3（x—y）．由,，

∴,则（z）max=11．

（Ⅲ）类比到乘法有已知,求的最大值．由=（）A·（）B

．∴,

∴，则（z）max=．

20.（Ⅰ）|a|a|—1|≤|a—1|

（1）当0

1-a2≤1—a，得a≥1或a≤0（舍去）

（2）当a≥1时，a2—1≤a—1,得a=1；

（3）当a≤0时，a2+1≤1—a，—1≤a≤0．

综上，a的取值范围是{a|—1a0或a=1}

（Ⅱ）∵++…+=，

∴=．

令n（n+1）=t，∴t∈，且t∈Z，则

F（t）==．

=

∴F（x）在单调递减∴F（t）≤f（6）

（2）=—ln1—0=0．

∴,即≤0．

∴比更接近0．

附加题参考答案及评分标准

A．选修4—1　几何证明选讲

解（Ⅰ）设为延长线上一点

∵四点共圆，

∴3分

又∴,5分

且,∴,7分

对顶角,故,

即的延长线平分.10分

B．选修4—2　矩阵与变换

解：

由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α1＝可得，＝，

即；3分

由矩阵A属于特征值5的一个特征向量为α2＝

，可得＝5，

即，6分

解得即A＝，7分

A的逆矩阵是10分

C．选修4—4　参数方程与极坐标

解由题设知,圆心2分

∠CPO=60°,故过P点的切线的倾斜角为30°4分

设是过P点的圆C的切线上的任一点，

则在△PMO中，∠MOP=

由正弦定理得

8分

，即为所求切线的极坐标方程.10分

D．选修4—5　不等式证明选讲

证明：

3分

9分

即得.10分

另证利用柯西不等式

取

代入即证.

22.解：

（1）X的可能取值为4、5、6.

P（X=4）=

P（X=5）=

P（X=6）=

X的分布列为

P

4

5

6

X

5分

（2）设“6次取球后恰好被停止”为事件A

则

6次取球后恰好被停止的概率为10分

23.解：

设

焦点F（0,1）

消得

化简整理得

（定值）

（2）抛物线方程为

过抛物线A、B两点的切线方程分别为和

即和

联立解出两切线交点的坐标为

=（定值）