湖南各中考数学分类解析专项9三角形.docx

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湖南各中考数学分类解析专项9三角形

湖南各2019年中考数学分类解析-专项9：

三角形

专题9：

三角形

选择题

1.〔2018湖南张家界3分〕以下不是必然事件的是【】

A、角平分线上的点到角两边的距离相等

B、三角形任意两边之和大于第三边

C、面积相等的两个三角形全等

D、三角形内心到三边距离相等

【答案】C。

【考点】随机事件，必然事件。

【分析】A、为必然事件，不符合题意；B、为必然事件，不符合题意；C、为不确定事件，面积相等的三角形不一定全等，符合题意；D、为必然事件，不符合题意。

应选C。

2.〔2018湖南怀化3分〕等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为【】【来源：

Z。

A、7B、6C、5D、4

【答案】C。

【考点】等腰三角形的性质，勾股定理。

【分析】如图，△ABC中AB＝AC，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，AD⊥BC。

在RT△ABD中，BD＝

×6＝3，AD＝4，根据勾股定理，得AB＝5。

应选C。

3.〔2018湖南湘潭3分〕把等腰△ABC沿底边BC翻折，得到△DBC，那么四边形ABDC【】

A、是中心对称图形，不是轴对称图形B、是轴对称图形，不是中心对称图形

C、既是中心对称图形，又是轴对称图形D、以上都不正确

【答案】C。

【考点】翻折变换〔折叠问题〕，等腰三角形的性质，菱形的判定，中心对称图形和轴对称图形。

【分析】∵等腰△ABC沿底边BC翻折，得到△DBC，∴四边形ABDC是菱形。

∵菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，

∴四边形ABDC既是中心对称图形，又是轴对称图形。

应选C。

二、填空题

1.〔2018湖南常德3分〕如图，在RT△ABC中，∠C＝90º，AD是∠BAC的平分线，DC＝2，那么D到AB边的距离是▲。

【答案】2。

【考点】点到直线的距离，角平分线的性质。

【分析】过D作DE⊥AB于E，那么DE的长度就是D到AB边的距离、

∵AD平分∠CAB，∠ACD＝90°，DE⊥AB，

∴DC＝DE＝2〔角平分线上的点到角的两边的距离相等〕。

2.〔2018湖南张家界3分〕△ABC与△DEF相似且面积比为4：

25，那么△ABC与△DEF的相似比为▲、

【答案】2：

5。

【考点】相似三角形的性质。

【分析】∵△ABC∽△DEF，∴△ABC与△DEF的面积比等于相似比的平方，

∵

，∴△ABC与△DEF的相似比为2：

5。

3.〔2018湖南岳阳3分〕如图，在RT△ABC中，∠B＝90°，沿AD折叠，使点B落在斜边AC上，假设AB＝3，BC＝4，那么BD＝▲、

【答案】

。

【考点】翻折变换〔折叠问题〕。

1052629

【分析】如图，点E是沿AD折叠，点B的对应点，连接ED，

∴∠AED＝∠B＝90°，AE＝AB＝3，

∵在RT△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，

∴

。

∴EC＝AC﹣AE＝5﹣3＝2。

设BD＝ED＝X，那么CD＝BC﹣BD＝4﹣X，

在RT△CDE中，CD2＝EC2＋ED2，即：

〔4﹣X〕2＝X2＋4，解得：

X＝

。

∴BD＝

。

4.〔2018湖南岳阳3分〕如图，△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，且AD＝

AB，DF∥BC，E为BD的中点、假设EF⊥AC，BC＝6，那么四边形DBCF的面积为▲、

【答案】15。

【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理。

【分析】如图，过D点作DG⊥AC，垂足为G，过A点作AH⊥BC，垂足为H，

∵AB＝AC，点E为BD的中点，且AD＝

AB，

∴设BE＝DE＝X，那么AD＝AF＝4X。

∵DG⊥AC，EF⊥AC，

∴DG∥EF，∴

，即

，解得

。

∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴

，即

，解得DF＝4。

又∵DF∥BC，∴∠DFG＝∠C，

∴RT△DFG∽RT△ACH，∴

，即

，解得

。

在RT△ABH中，由勾股定理，得

。

∴

。

又∵△ADF∽△ABC，∴

，∴

∴

。

5.〔2018湖南郴州3分〕如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，连接DE，要使△ADE∽△ACB，还需添加一个条件▲〔只需写一个〕、

【答案】∠ADE＝∠C〔答案不唯一〕。

【考点】相似三角形的判定，开放题。

【分析】∵∠A是公共角，

∴当∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B时，△ADE∽△ACB〔有两角对应相等的三角形相似〕；

当AD：

AC＝AE：

AB或AD•AB＝AE•AC时，△ADE∽△ACB〔两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似〕。

∴要使△ADE∽△ACB，还需添加一个条件：

答案不唯一，如∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或AD：

AC＝AE：

AB或AD•AB＝AE•AC等。

6.〔2018湖南衡阳3分〕观察以下等式

①SIN30°＝

COS60°＝

②SIN45°＝

COS＝45°＝

③SIN60°＝

COS30°＝

…

根据上述规律，计算SIN2A＋SIN2〔90°﹣A〕＝▲、

【答案】1。

【考点】分类归纳〔数字的变化类〕，互余两角三角函数的关系。

【分析】根据①②③可得出规律，即SIN2A＋SIN2〔90°﹣A〕＝1，继而可得出答案

由题意得，SIN230°＋SIN2〔90°﹣30°〕＝SIN230°＋SIN260°＝

；

SIN245°＋SIN2〔90°﹣45°〕＝SIN245°＋SIN245°＝

；

SIN260°＋SIN2〔90°﹣60°〕＝SIN260°＋SIN230°＝

；

…

∴SIN2A＋SIN2〔90°﹣A〕＝1。

【三】解答题

1.〔2018湖南长沙9分〕如图，正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G、

〔1〕求证：

△BDG∽△DEG；

〔2〕假设EG•BG＝4，求BE的长、

【答案】〔1〕证明：

∵将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，∴△BCE≌△DCF。

∴∠FDC＝∠EBC。

∵BE平分∠DBC，∴∠DBE＝∠EBC。

∴∠FDC＝∠EBE。

又∵∠DGE＝∠DGE，∴△BDG∽△DEG。

〔2〕解：

∵△BCE≌△DCF，∴∠F＝∠BEC，∠EBC＝∠FDC。

∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB＝90°，∠DBC＝∠BDC＝45°。

∵BE平分∠DBC，∴∠DBE＝∠EBC＝22.5°＝∠FDC。

∴∠BDF＝45°＋22.5°＝67.5°，∠F＝90°﹣22.5°＝67.5°＝∠BDF。

∴BD＝BF，

∵△BCE≌△DCF，∴∠F＝∠BEC＝67.5°＝∠DEG。

∴∠DGB＝180°﹣22.5°﹣67.5°＝90°，即BG⊥DF。

∵BD＝BF，∴DF＝2DG。

∵△BDG∽△DEG，BG×EG＝4，∴

。

∴BG×EG＝DG×DG＝4。

∴DG＝2

∴BE＝DF＝2DG＝4。

【考点】旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的性质，三角形内角和定理。

【分析】〔1〕根据旋转性质求出∠EDG＝∠EBC＝∠DBE，根据相似三角形的判定推出即可。

〔2〕先求出BD＝BF，BG⊥DF，求出BE＝DF＝2DG，根据相似求出DG的长，即可求出答案。

2.〔2018湖南益阳6分〕如图，AE∥BC，AE平分∠DAC、

求证：

AB＝AC、

【答案】证明：

∵AE平分∠DAC，∴∠1＝∠2。

∵AE∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠C。

∴∠B＝∠C。

∴AB＝AC。

【考点】角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定。

【分析】根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，再根据两直线平行，同位角相等可得∠1＝∠B，两直线平行，内错角相等可得∠2＝∠C，从而得到∠B＝∠C，然后根据等角对等边即可得证。

3.〔2018湖南益阳8分〕超速行驶是引发交通事故的主要原因之一、上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速、如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离〔AC〕为30米、这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，∠BAC＝75°、

〔1〕求B、C两点的距离；

〔2〕请判断此车是否超过了益阳大道60千米／小时的限制速度？

〔计算时距离精确到1米，参考数据：

SIN75°≈0.9659，COS75°≈0.2588，TAN75°≈3.732，

，60千米／小时≈16.7米／秒〕

【答案】解：

〔1〕在RT△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝75°，AC＝30，

∴BC＝AC•TAN∠BAC＝30×TAN75°≈30×3.732≈112〔米〕。

〔2〕∵此车速度＝112÷8＝14〔米／秒〕《16.7〔米／秒〕＝60〔千米／小时〕

∴此车没有超过限制速度。

【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。

【分析】〔1〕由于A到BC的距离为30米，可见∠C＝90°，根据75°角的三角函数值求出BC的距离。

〔2〕根据速度＝路程÷时间即可得到汽车的速度，与60千米／小时进行比较即可。

4.〔2018湖南常德7分〕如图，一天，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船，正在以12海里∕小时的速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60º方向航行，1.5小时后，在我领海区域的C处截获可疑渔船。

问我渔政船的航行路程是多少海里？

（结果保留根号）

【答案】解：

如图：

作CD⊥AB于点D，

∵在RT△BCD中，BC＝12×1.5＝18海里，∠CBD＝45°，

∴CD＝BC•SIN45°＝

〔海里〕。

∴在RT△ACD中，AC＝CD÷SIN30°＝

〔海里〕。

答：

我渔政船的航行路程是

海里。

【考点】解直角三角形的应用〔方向角问题〕，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】过C点作AB的垂线，垂足为D，构建RT△ACD，RT△BCD，解这两个直角三角形即可。

5.〔2018湖南张家界8分〕黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠A＝∠D＝90°，AB＝BC＝15千米，CD＝

千米，请据此解答如下问题：

〔1〕求该岛的周长和面积；〔结果保留整数，参考数据

〕

〔2〕求∠ACD的余弦值、

【答案】解：

〔1〕连接AC，

∵AB＝BC＝15，∠B＝90°，

∴∠BAC＝∠ACB＝45°，AC＝15

。

又∵∠D＝90°，

∴

。

∴周长＝AB＋BC＋CD＋DA＝30＋3

＋12

≈30＋4.23＋20.76≈55〔千米〕

面积

〔平方千米〕。

〔2〕

。

【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】〔1〕连接AC，根据AB＝BC＝15千米，∠B＝90°得到∠BAC＝∠ACB＝45°AC＝152千米，再根据∠D＝90°利用勾股定理求得AD的长后即可求周长和面积。

〔2〕直接利用余弦的定义求解即可。

6.〔2018湖南岳阳6分〕九〔一〕班课题学习小组，为了了解大树生长状况，去年在学校门前点A处测得一棵大树顶点C的仰角为30°，树高5M；今年他们仍在原点A处测得大树D的仰角为37°，问这棵树一年生长了多少M？

〔参考数据：

SIN37°≈0.6，COS37°≈0.8，TAN37°≈0.75，

≈1.732〕

【答案】解：

根据题意得：

∠DAB＝37°，∠CAB＝30°，BC＝5M，

在RT△ABC中，

，

在RT△DAB中，BD＝AB•TAN37°≈

×0.75≈6.495〔M〕，

∴CD＝BD﹣BC＝6.495﹣5＝1.495〔M〕。

答：

这棵树一年生长了1.495M。

【考点】解直角三角形的应用〔仰角俯角问题〕。

1052629

【分析】由题意得：

∠DAB＝37°，∠CAB＝30°，BC＝5M，然后分别在RT△ABC与RT△DAB中，利用正切函数求解即可求得答案。

7.〔2018湖南郴州6分〕如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE＝45°，坝高BE＝20米、汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡BF的坡角∠F＝30°，求AF的长度、〔结果精确到1米，参考数据：

〕

【答案】解：

∵RT△ABE中，∠BAE＝45°，坝高BE＝20米，∴AE＝BE＝20米。

在RT△BEF中，BE＝20，∠F＝30°，∴EF＝BE÷TAN30°＝20

。

∴AF＝EF－AE＝20

－20≈15。

∴AF的长约为15米。

【考点】解直角三角形的应用〔坡度坡角问题〕，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】在RT△ABE中，根据坡面AB的长以及坡角的度数，求得铅直高度BE和水平宽AE的值，从而可在RT△BFE中，根据BE的长及坡角的度数，通过解直角三角形求出EF的长；根据AF＝EF－AE，即可得出AF的长度。

8.〔2018湖南娄底7分〕如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG＝30°，在E处测得∠AFG＝60°，CE＝8米，仪器高度CD＝1.5米，求这棵树AB的高度〔结果保留两位有效数字，

≈1.732〕、

9.〔2018湖南衡阳6分〕如图，AF＝DC，BC∥EF，请只补充一个条件，使得△ABC≌△DEF，并说明理由、

【答案】解：

补充条件：

EF＝BC，可使得△ABC≌△DEF。

理由如下：

∵AF＝DC，∴AF＋FC＝DC＋FC，即：

AC＝DF。

∵BC∥EF，∴∠EFD＝∠BCA。

在△EFD和△BCA中，∵BC＝EF，∠BCAD＝∠EF，AC＝DF，

∴△ABC≌△DEF〔SAS〕、

【考点】开放型，平行的性质，全等三角形的判定。

【分析】首先由AF＝DC可得AC＝DF，再由BC∥EF根据两直线平行，内错角相等可得∠EFD＝∠BCA，再加上条件EF＝BC即可利用SAS证明△ABC≌△DEF；再加上条件∠A＝∠D或∠B＝∠E即可利用AAS证明△ABC≌△DEF。

还可加上条件AB∥ED等。

答案不唯一。

10.〔2018湖南衡阳6分〕如图，一段河坝的横截面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坝底宽AD、〔I＝CE：

ED，单位：

M〕

【答案】解：

作BF⊥AD于点F、那么BF＝CE＝4，

在RT△ABF中，

，

在RT△CED中，根据I＝

，得

。

那么AD＝AF＋EF＋ED＝3＋4.5＋

＝〔7.5＋

〕。

答：

坝底宽AD为〔7.5＋

〕M。

【考点】解直角三角形的应用〔坡度坡角问题〕，勾股定理，坡比的定义。

119281

【分析】作BF⊥AD于点于F，在直角△ABF中利用勾股定理即可求得AF的长，在RT△CED中，利用坡比的定义即可求得ED的长度，从而即可求得AD的长。

11.〔2018湖南湘潭6分〕如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，BC＝2M，CD＝5.4M，∠DCF＝30°，请你计算车位所占的宽度EF约为多少米？

〔

，结果保留两位有效数字、〕

【答案】解：

在RT△DCF中，∵CD＝5.4M，∠DCF＝30°，∴

。

∴DF＝2.7。

∵∠CDF＋∠DCF＝90°∠ADE＋∠CDF＝90°，∴∠ADE＝∠DCF＝30°。

∵AD＝BC＝2，

∴在RT△AED中，

。

∴DE＝

。

∴EF＝ED＋DF＝2.7＋1.73≈4.4〔米〕。

答：

车位所占的宽度EF约为4.4米。

【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】分别在RT△BCF和RT△AED中求得DF和DE的长后相加即可得到EF的长。

12.〔2018湖南湘潭8分〕如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B

点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F、

〔1〕猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；

〔2〕求线段BD的长、

【答案】解：

〔1〕AC⊥BD。

证明如下：

∵△DCE由△ABC平移而成，∴△DCE≌△ABC。

又∵△ABC是等边三角形，∴BC＝CD＝CE＝DE，∠E＝∠ACB＝60°。

∴∠DBC＝∠BDC＝30°。

∴∠BDE＝90°。

∵BD⊥DE，

∵∠E＝∠ACB＝60°，∴AC∥DE。

∴BD⊥AC。

〔2〕在RT△BED中，∵BE＝6，DE＝3，∴

。

【考点】等边三角形的性质，平移的性质，三角形内角和定理，平行的判定和性质，勾股定理。

【分析】〔1〕由平移的性质可知△DCE≌△ABC。

故可得出BD⊥DE，由∠E＝∠ACB＝60°可知AC∥DE，故可得出结论。

〔2〕在RT△BDE中利用勾股定理即可得出BD的长。

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