第4章等可能条件下的概率.docx
《第4章等可能条件下的概率.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第4章等可能条件下的概率.docx（69页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
第4章等可能条件下的概率
§4.1等可能性
第一课时
教学内容等可能性教材P128-129页。
教材分析学生已经接触了确宦、不确左事件，初步体会了不确宦事件的特点及事件发生的可能性的意义，在本单元中，学生将在“猜测-…试验并收集试验数搦…-分析试验结果”的活动中进一步了解随机试验结果的对称性或均衡性判断试验结果是否具有等可能性，通过具体情境体会等可能性，本单元是上学期知识的延续，而本节课在本单元中起着承上启下的作用，为后面进一步了解概率的意义和计算事件发生的概率打下基础。
教学目标
知识与能力
1.会列出一些类型的随机试验的所有可能结果。
2.理解等可能的意义，会根据随机试验结果的对称性或均衡性判断试验结果是否具有等可能性。
过程与方法
让学生经历探索随机试验结果的对称性或均衡性判断试验结果是否具有等可能性的历程，通过具体情境体会理解等可能性。
情感、态度与价值观
进一步体会“数学就在我们的身边”，发展“用数学“的意识和能力，感受学习数学的兴趣。
教学重难点及突破
重点
理解等可能的意义，会根据随机试验结果的对称性或均衡性判断试验结果是否具有等可能性。
难点
会根据随机试验结果的对称性或均衡性判断试验结果是否具有等可能性。
教学突破美国总统富兰克林有一句名言：
“告诉我，我会忘记;教给我，我可能记住;让我参与，我才能学会。
”所以，本巧课学生采用实验-…探究，小组合作与独立探索相结合的学习方法，理解等可能的意义，判断试验结果是否具有等可能性，既调动了学生个体学习的积极性，也使他们在小组合作中感受到合作的重要和团队精神力量，增强了集体意识。
课前预习方案复习随机事件的确左性、不确定性，预习本课内容，完成教材P129页练习第1、2、3题。
教学设想在本肖课的设讣上，我将不透明的袋子中摸球试验、抽签实验、抛球试验等，，增强课堂教学的趣味性，同时激发学生学习的兴趣。
另外，通过多媒体动画演示也将为本肖课知识结论的产生起到了重要作用。
从而使学生认识理解等可能性，同时学会判断试验结果是否具有等可能性，让学生进一步体会“数学就在我们的身边“，发展“用数学“的意识和能力，感受学习数学的兴趣。
教学准备
教师准备：
制作多媒体课件
学生准备：
复习随机事件的确圧性、不确左性，预习本课内容，完成教材P129页练习第1、2、3题。
硬币、除颜色外大小、形状完全相同的小球若干。
教学设计
一、创设情景，引入新课
多媒体出示：
小陈抛掷一枚质量均匀的硬币.
问题1：
落地后有多少种可能的结果？
它们都是随机事件吗？
问题2：
每个结果岀现机会均等吗？
为什么？
小组实验，讨论交流，指名回答。
（1、两种，是随机事件。
2、机会均等。
）
师：
抛均匀的硬币，岀现“正而朝上”与出现“反而朝上”的机会均等，我们说试验的结果具有等可能性。
什么叫等可能性？
这节课就来研究它。
二、探索
1、等可能性
指导学生阅读P128页相关内容。
师生共同归纳：
一般地，设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件，每次试验有且只有一个结果岀现，如果每个结果出现的机会均等，那么我们说这n个时事件的发生是等可能的，也称这个试验的结果具有等可能性。
多媒体出示：
尝试与交流
一只不透明的袋子中装有10个小球，分别标有0、1、2、…、9这10个号码，这些球除颜色外都相同，搅匀后从袋中任意取出1个球.
问题
（1）:
摸到1号球与摸到9号球的可能性一样吗？
问题
（2）：
会岀现哪些可能的结果？
这些结果是等可能的吗？
下组讨论交流，指名回答，集体纠正。
（问题
（1）:
可能性一样。
（2）：
每一种号码都有可能，有20种可能，这些结果机会均等，是等可能的。
）
2、探索应用
多媒体出示：
例1在3张相同的小纸片上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个盒子中搅匀，从中任意抽出一支签，会出现那些可能的结果？
这些结果是等可能的吗？
小组讨论，指名板演，教师指导。
解：
会出现3种可能的结果：
抽到2号签，抽到2号签，抽到3号签.
每支签被抽到的机会都相同，因此抽到［号、2号、3号签的可能性相同，这3种结果的出现是等可能的。
多媒体出示：
例2—只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从袋中任意摸出1个球，摸到白球与红球的可能性相同吗？
小明：
摸到的球不是白球就是红球，所以摸到白球与红球的可能性相同。
小丽：
摸到每一个球的可能性相同，而红球有2个，白球只有1个，摸到红球的可能性大。
小明和小丽的说法哪一个正确？
小组讨论交流，指名回答。
解：
小丽的说法正确。
因为这3个球除颜色外都相同搅匀后从袋中任意取出1个球的可能性相同，红球有2个，如果把它们编号为红球2,红球2,那么搅匀后从袋中任意取出1个球有3种可能的结果，摸到白球、摸到红球1,摸到红球2,这3中结果是等可能的，因此摸到红球的可能性大。
三、巩固练习
1.判断下列说法是否正确.
<1）掷一枚质量均匀的骰子，出现6种点数中任何一种点数的可能性相同.（）
（2）在适宜的条件下种一粒油菜种子，观察它是否发芽，则"发芽”与“不发芽”是等可能的.（）
2.抛掷一枚均匀的骰子1次，落地后：
（1）朝上的点数会有哪些？
它们发生的可能性一样吗？
（2）朝上的点数是奇数与朝上的点数是偶数，这两个事件的发生是等可能的吗？
（3）朝上的点数大于4与朝上的点数不大于4,这两个事件的发生是等可能的吗？
哪一个可能性大一些?
小组讨论，学生做题，教师巡视，发现问题，适时指正
3.旋转如图4-1-1所示的转盘。
动画演示：
（1）当转盘停止转动时，指针落在哪种颜色区域上的可能性最大？
图4-1-1
指针落在哪种颜色区域上的可能性最小？
猜一猜；
（2）全班同学轮流转动转盘，当转盘停止转动时，记下指针所落区域的颜色，把全班结果汇总并填入上表：
（3）你猜测的结果与上面试验所得的数拯相符吗？
小组讨论，学生做题，教师巡视，师：
在这个试验中，任意旋转转盘1次，当转盘停止时，指针落在哪种颜色区域上是随机的。
由于各颜色区域的而积不等，所以指针落在不同颜色区域上的可能性也不一样。
点评：
通过多媒体动画演示为本节课知识结论的产生起到了小结的作用，增强了课堂教学的趣味性，同时也激发了学生学习的兴趣。
四、课堂小结，并布置课后作业
1.课堂小结通过本右课的学习，你有哪些收获？
2.课后作业教材P130第1、2、3题。
板书设计
§4.1等可能性
1.一般地，设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件，每次试验有且只有一个结果岀现，如果每个结果出现的机会均等，那么我们说这n个时事件的发生是等可能的，也称这个试验的结果具有等可能性。
2.例1在3张相同的小纸片上分别标上2、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个盒子中搅匀，从中任意抽出一支签，会出现那些可能的结果？
这些结果是等可能的吗？
例2—只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从袋中任意摸出1个球，摸到白球与红球的可能性相同吗？
教学探讨与反思本右课通过将不透明的袋子中摸球试验、抽签实验、抛球试验等，增强了课堂教学的趣味性，同时也激发了学生学习的兴趣。
另外，通过多媒体动画演示也将为本石课知识结论的产生起到了重要作用。
从而使学生认识理解等可能性，同时学会判断试验结果是否具有等可能性，使学生进一步体会到“数学就在我们的身边“，发展了学生“用数学”的意识和能力，感受学习数学的兴趣。
课后复习方案
每课一练
1.一只不透明的袋子中装5个红球和8个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，下列说法正确的是（）
A.摸岀的球不是红球就是自球，所以摸出红球和白球这两个事件是等可能的
B.红球有5个，白球有8个，所以会出现13种可能的结果，这13种结果是等可能的
C.红球有5个，白球有8个，所以会出现13种可能的结果，但这13种结果不是等可能的
D.以上说法都不对
2.某班有男同学24人，女同学26人，在一次数学课上，老师随意找一名同学回答问题，
（1）是男同学回答问题，
（2）是女同学回答问题.这两个事件（）
A.是等可能的
B.不是等可能的
C.回答问题是男同学比回答问题是女同学的可能性大
D.无法判断谁的可能性大
3.已知地球表而的陆地而积与海洋面积的比约为3：
7,如果宇宙飞来一块陨石落在地球上，落在海洋里与落在地而上是等可能的吗?
如不是，哪个可能性更大？
4.向一个圆而内随机地投入一点，该点的位置会有无穷多种可能结果吗?
它们是等可能的吗？
5.—只不透明的袋子中装有2个红球、3个白球和i个黄球，共6个球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，会出现哪些可能的结果?
它们是等可能的吗？
6.从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取一张.
小明说：
抽到方块6和红桃6的可能性是相同的。
小颖说：
抽到6和抽到K的可能性是相同的.
小华说：
如果将J、Q、K看成是大于10的，那么抽到小于7的牌和抽到大于7的牌的可能性是相同的.
他们三人的说法正确吗?
说说你的看法
7.—个正四面体，四而分别写上1、2、3、4,投掷后朝下的一而有种可能.
8.100件产品中有68件一等品，22件二等品，10件等外品，规左一、二等品都为合格品，现任取一件产品，它是合格品和它是等外品的可能性吗？
（填“相同”或“不相同”）
9.一个家庭若有两个小孩，则这两个小孩性别有哪些可能性?
哪种的可能性大？
10.某班有26爼男生和20名女生，将每个同学的名字分別写在相同大小的纸条上放入一盒中搅匀，如果老师闭上眼睛随便从中抽出一张纸条，会岀现哪些可能的结果?
它们是等可能的吗？
11.有9张卡片,分别写有0、1、2、3、4、5、6、78,将它们的背面朝上洗匀后,任意抽出一张.
（1）可能的结果有哪些?
它们等可能的吗？
（2）抽出奇数与偶数这两个事件是等可能的吗？
（3）大于4与小于4这两个事件是等可能的吗？
12.如图4-1-2是一个可以自由转动的转盘，任意转动一次，当转盘停止时，指针在转盘中的位宜会有无穷多种结果吗?
它们是等可能的吗？
附：
每课一练答案
1.B
2.B
3.解：
不是等可能的，落在海洋里的可能性更大。
4.解：
该点的位垃会有无穷多种可能结果，并且它们都是等可能的。
5.解：
如果给袋中的球编号：
红球1、红球2、白球1、白球2、白球3,那么，搅匀后从袋中任意摸岀1个球有6种可能的结果：
摸出黄球，摸出红球1,摸岀红球2,摸出白球1,摸岀白球2,摸出白球
3.这6种结果是等可能的。
6•解：
他们三个人的说法都是正确的.任意抽取一张，有52种等可能的情形，其中方块6和红桃6都是只有一种情形，抽到6和抽到K都是有4种情况，抽到小于7的牌和大于7的牌都是24种情形。
7.4
8.不相同.
9.—男一女的可能性大。
10解：
对于每一个学生来说，都有可能被捕到，它们的机会是等可能的：
对于男生或女生来说，有两种结果，但它们不是等可能的
解:
（1）可能的结果有9个,它们分别是0、1、2、3、4、5、6、7、8,它们是等可能的.
（2）等可能的9个结果中，有4个是奇数，5个是偶数，所以抽出奇数与偶数这两个事件不是等可能的.
（3）等可能的9个结果中，大于4的结果有4个，小于4的结果也有4个，所以大于4与小于4这两个事件是等可能的。
12.解：
指针指向圆周上的任一点的位置，它们是等可能的。
§4.2等可能条件下的概率
（一）
第一课时
教学内容4.2等可能条件下的概率
（一）教材P131-133页。
教材分析本右课内容是随机事件概率辻篡的起始课，具有承上启下的重要作用。
加深对等可能性事件的理解和认识，以及掌握等可能性事件概率的计算方法，将为全而学习概率作好准备。
等可能性事件的概率具有古典概型的基本特点，因此本节课具有十分重要的地位。
教学目标
知识与能力
了解等可能性事件的概率的意义，计算一些等可能性事件的概率。
.
过程与方法
通过生活中实际问题的引入来创设情境，将一些生活问题构建成一个等可能性事件模型，学生的构建思维能力得到提升：
在归纳左义时用到特殊到一般的思想；在解题时利用类比的方法，举一反三。
能够计算一些等可能性事件的概率，学生对几何概率有个深刻的理解。
.
情感、态度与价值观
感受到亲切、和谐的学习氛用，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力。
了解部分数学史,知道随机事件的发生既有随机性，又有规律性，了解偶然性寓于必然性之中的辩证思想，培养学生的综合素质。
教学重难点及突破
重点
等可能性事件的概率的意义及其求法
难点
等可能性事件的判断以及如何求某个事件所包含的基本事件数。
教学突破有关等可能性事件的概率，大多与现实生活密切相关，学生的生活经历和体验对理解和解决这些问题具有一左的相关性，而目前的九年级学生，由于受各种因素的影响，对现实生活和社会实际的理解，在层次、程度等方而存在较大差异。
这些问题的存在，要求我们，对抽象知识的教学要深入注出，尽可能结合学生的生活实际进行分析和讲解，注重知识形成过程的教学，努力让学生在分析、思考和探究的过程中逐步理解和掌握知识要点，逐步理解和掌握解决问题的思想方法，不断增强应用意识和合作交流能力。
课前预习方案复习等可能性相关知识，预习本课内容完成教材P133页练习第1、2、3题。
教学设想根据本节课教学内容与生活实际联系紧密，而等可能性事件概率的计算又比较抽象，我拟采用学生自主思考探究和教师分析讲解相结合的教学方法。
对等可能性事件的认识，主要是创设问题情境,让学生通过实例自己思考判断、辨别认识；对等可能性事件概率计算公式的教学，主要是启发学生紧扣基本事件的意义，教师结合实例分析讲解，通过具体形象的解说，帮助学生建立认知，完善知识结构。
教学中要突出学生的主体地位，凡学生能够通过自己分析思考理解掌握的内容或问题，要放心地让他们自己去完成，让学生充分参与教学过程，但同时又不排斥教师的主导作用，特别是在学生理解、探究知识感到比较困难的地方，教师要主动地、深入注岀地给学生分析讲解，避免无谓地耗费时间。
教学准备
教师准备：
制作多媒体课件
学生准备：
复习等可能性相关知识，预习本课内容完成教材P133页练习第1、2、3题。
教学设计
一、创设情景，引入新课
多媒体出示：
抛掷一只均匀的骰子一次.
问题
（1）:
点数朝上的试验结果是有限的吗？
如果是有限的共有几种？
分小组讨论解决，指名回答，集体纠正。
（抛掷一只均匀的骰子一次，会岀现6种可能的结果，1点朝上，2点朝上，3点朝上，4点朝上，5点朝上，6点朝上。
因为骰子是均匀的，所以这六种结果的岀现时等可能的。
）
问题
（2）：
点数大于4与点数不大于4这两个事件中，哪个事件发生的可能性大呢？
师：
怎样来探讨这些等可能性事件发生的可能性的大小呢？
今天这卩课就来研究等可能性事件发生的槪率。
二、探索
1、可能性事件的概率
指导学生阅读教材P131页相关内容。
讨论解决问题
（2）,指名板演，全班交流。
当朝上一面点数是5或6时，朝上一面点数点数大于4,这一事件记为事件A,于是事件A发生的概率:
当朝上一而点数是1、2、3或4时，朝上一而点数点数不大于4,这一事件记为事件B,于是事件B发生的概率：
由于P（B）>P（A）,所以出现“朝上一而点数点数大于4”的可能性大。
师生共同小结：
一般地，如果一个试验由n个等可能的结果，当其中的m个结果之一出现时，事件A发生，那么
事件A发生的概率：
P（A）=—（n表示所有等可能岀现的结果数：
m表示事件A可能出现的结果数。
）n
2、探索应用
多媒体出示例1某班有21个男生和19个女生，爼字各不相同.现有相同的40张小纸条，每位同学分别将自己的划字写在上而，放入一个盒子中，搅匀后从中抽出1张纸条。
比较“抽到男生名字”与“抽到女生冬字”的槪率的大小？
分小组讨论解决方案，指名板演，其余学生独立答题，教师指导。
解：
全班40名同学中，毎一名学生的名字被抽到的可能性是相同的。
因此
21
P（抽到男生名字）=—
40
19
P（抽到女生名字）=—
40
因此''抽到男生名字”的概率大。
教师小结：
要求一个随机事件的概率，首先要弄淸这个试验有多少等可能的结果，这是解决问题的关键。
一般地，我们所研究的事件大都是随机事件，所以英概率在0和1之间。
多媒体出示例2—只不透明的袋子中装有3个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从
中任意摸出1个球。
（1）会出现哪些等可能的结果？
（2）摸岀白球、红球的概率各是多少？
指名板演，其余学生独立答题，教师指导。
解：
分别给这5个球编上号码1、2、3、4、5.
（1）搅匀后从中任意摸岀1个球，会出现5种可能的结果：
摸到1号球，摸到2号球，摸到3号球，摸到4号球，摸到5号球。
3
⑵P（摸到白球）=-
2
P（摸到红球）=T
5
多媒体出示：
思考甲袋中装有3个白球和2个红球，乙袋中装有30个白球和20个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后分别从两只袋中任意摸岀1个球。
比较从甲、乙两只袋子中摸到红球概率的大小,并说明理由。
分小组讨论解决，教师巡视指导。
师生共同小结求等可能性事件概率的步骤：
（1）审淸题意，判断本试验是否为等可能性事件。
（2）计算所有基本事件的总结果数八
（3）计算事件A所包含的结果数
（4）计算P（A）=—o
n
三、巩固练习
1.从一副扑克牌中（54张），任意抽一张.问：
（1）抽到大王的槪率是多少？
（2）抽到8的概率是多少？
（3）抽到红桃的槪率是多少？
（4）抽到红桃8的槪率是多少？
2•投掷一枚正四而体骰子，掷得点数为奇数的概率为多少?
是偶数的槪率为多少?
点数小于3的槪率为多
少？
指名板演，其余学生独立做题，教师巡视，发现问题，适时指正
3.请你举出一些事件，它们发生的概率为°.
小组讨论，各抒己见，学生相互点评，教师指导。
点评：
通过这个与实际生活结合紧密的开放性问题，让学生感受到数学就在我们身边，激发学生学习等可能性事件概率计算的兴趣，调动学生参与思考、讨论的积极性。
四、课堂小结，并布置课后作业
1.课堂小结通过这节课的学习，同学们回想一下有什么收获？
1、基本事件和等可能性事件的建义。
2、等可能性事件的特征：
（1）、一次试验中有可能出现的结果是有限的。
（2）、每一结果出现的可能性相等。
3、求等可能性事件槪率的步骤：
（1）审淸题意，判断本试验是否为等可能性事件。
（2）计算所有基本事件的总结果数八
（3）计算事件A所包含的结果数
（4）计算P（A）=—o
fl
师：
其实，槪率与生活是紧密联系的，学好它可以更好的为生活服务，因为概率论在天气的预测，保险行业，信息学等方而都有很大的用途。
希望同学们学好概率。
2.课后作业教材P138页练习第1、2、3题。
板书设计
§4.2等可能条件下的概率
（一）
1.一般地，如果一个试验由n个等可能的结果，当其中的m个结果之一岀现时，事件A发生，那么事
件A发生的概率：
P（A）=—（n表示所有等可能出现的结果数：
m表示事件A可能出现的结果数。
）n
2.例1某班有21个男生和19个女生，划字各不相同.现有相同的40张小纸条，每位同学分别将自己的名字写在上而，放入一个盒子中，搅匀后从中抽出1张纸条。
比较"抽到男生需字”与“抽到女生名字”的概率的大小？
例2—只不透明的袋子中装有3个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出
1个球。
（1）会岀现哪些等可能的结果？
（2）摸岀白球、红球的概率各是多少？
3.要求一个随机事件的概率，首先要弄清这个试验有多少等可能的结果，这是解决问题的关键。
一般地,我们所研究的事件大都是随机事件，所以其概率在0和1之间，
求等可能性事件概率的步骤：
（1）审淸题意，判断本试验是否为等可能性事件。
（2）计算所有基本事件的总结果数八
（3）计算事件A所包含的结果数
（4）计算P（A）o
n
教学探讨与反思
课后复习方案阅读教材P131-132页，进一步理解概率的意义，掌握求等可能性事件概率的步骤，熟练求等可能性事件概率，认真完成课后作业。
每课一练
1、现有六条线段，长度分别为1,3,5,7,9,10,从中任取三条，能构成三角形的概率是.
2、一副扑克牌抽出大小王后，只剩下红桃、黑桃、方块、梅花四种花色52张，则任取一张是红桃的概
率是；
3、抛掷两枚普通的骰子，岀现数字之积为奇数的概率是，岀现数字之积为偶数的概率是
4、•抛掷两枚硬币观察岀现两个正而的试验中，随着试验次数的增加，出现两个正而的频率将趋于稳左在_F左右.
5•冰柜里装有四种饮料:
5瓶特种可乐、12瓶普通可乐、9瓶橘子水、6瓶啤洒，其中特种可乐和普通可乐是含有咖啡因的饮料，那么从冰柜里随机取一瓶饮料，该饮料含有咖啡因的概率是（）
A5c3J5J7
A.—B.—C・—D.—
3283232
1•随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正而都朝上的概率是（）
A.—B.—C.—D」
424
2•—个袋中崖有4个珠子，其中2个红色，2个蓝色，除颜色外其余特征均相同，若从这个袋中任取2
个珠子，都是蓝色珠子的槪率为（）
A.丄B.lC.-D.丄
2346
3.—张圆桌旁有四个坐位，A先坐在如图4-2-1所示的坐位上，B、C、D三人随机坐到其他三个坐位上.
则A与B不相邻而坐的概率是・
4•袋子中装有白球3个和红球2个共5个球，每个除颜色外都相同，从袋子中任意摸出一个球.
（1）P（摸到白球匸・P（摸到红球）二•
P（摸到緑球匸.P（摸到白球或红球）=:
（2）P（摸到白球）P（摸到红球或
5.—副扑克牌，任意从中抽一张.
（1）抽到大王的概率:
⑵抽到A的概率:
（3）抽到红桃的概率;（4）抽到红牌的概率：
（5）抽到红牌或黑牌的概率.
6•某校八年级将举行班级乒乓球对抗赛，每个班必须选派岀一对男女混合双打选手参赛•八年级一班准备在小娟、小敏、小华三名女选手和小明、小强两划男选手中，选男、女选手各一名组成一对参赛，一共能够组成哪几对？
如果小敏和小風的组合是最强组合，那么采用随机抽签的办法，恰好选岀小敏和小强参赛的概率是多少？
附：
每课一练答案
7
1、
20
2、i
4
3、丄2
44
4、25%左右。
5、D
6、A
7、A
1
8、_
3
32
9、：
（D--01
（2）>
55
1413
10s解:
P（抽大王）=—>P（抽A）二一，P（抽红桃）=—,
545454
P（抽红牌）二空E二兰，亠（抽红牌或黑牌）二竺.
545454
11、解：
能够组成小娟与小强、小敏与小强、小华与小强、小娟与小明、小敏与小明、小华与小明，共
6对；恰好选出小敏和小强参赛的结果共一个，其概率为丄。
§4.2等可能条件下的概率
（一）
第二课时
教学内容4.2等可能条件下的概率（-）P133-135页。
教材分析本节课内容是随机事件概率让邕的第二节课，具有承上启下的重要作用。
加深对等可能性事件的理解和认识，以及掌握用“列表法”、“树状图法”求等可能性事件概率的方法，将为以后全而学习概率作好准备。
，因此本节课具有十分重要的地位。
教学
升级会员 