初中数学九年级数学竞赛试题及答案.docx
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初中数学九年级数学竞赛试题及答案
九年级数学竞赛试卷
一、填空(每小题3分,共30分)
1
m是方程
x
x
10
的一个根,则代数式
m
m
、已知
2
2
2、一名同学在掷骰子,连续抛了
9次都没有点数为
6的面朝上,当他掷第
10次时,点数为
6的面朝上是
事件。
、已知a
b2
3
1,ab
3,则
(a
1)(b
1)
3
4、如图,⊙O是
ABC
的外接圆,
C
300
,AB
2cm,
则⊙O的半径为
cm。
5
x
1
是关于x
的方程
2x
2
ax
a
2
0
的一个根,则a
_______
.
、已知
6、如图,如果从半径为
9cm的圆形纸片剪去
1圆周的一个扇形,将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不
重叠),那么这个圆锥的高为_______cm。
3
A
B
A
C(C)
B
7、如图,将一块斜边长为12cm,B
60°的直角三角板
ABC,绕点C沿逆时针方向旋转
90°至△ABC
的位置,再沿CB向右平移,使点
B刚好落在斜边AB上,那么此三角板向右平移的距离是
cm.
8、如图,A是第一象限里的点,点
B是点A关于原点的对称点,
点C是点A关于x轴的对称点,则以点A,B,C为顶点的三角
形是
三角形。
9、如图是44正方形网格,请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑,使图中黑色部分是一个中心对称图形.
10、已知:
关于x的一元二次方程x2
(Rr)x
1d2
0没有实数
4
根,其中R、r分别为⊙O1
和⊙O2
的半径,
d为此两圆的圆心距,则⊙
O1和⊙O2的位置关系
为
。
二、选择题(每小题
3分,共
18分)
11、下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(
)
A
B
C
D
12、如图所示,电路图上有A、B、C三个开关和一个小灯泡,闭合开关
使小灯泡发光.现在任意闭合其中一个开关,则小灯泡发光的概率等于(
C或者同时闭合开关
).
A、B,都可
A、2
B、1
C、1
D、1
A
B
3
2
3
4
C
13
、已知:
m,n是两个连续自然数
(mn)
,且
q
mn
.设
pq
n
qm,则p(
)
A.总是奇数
B.总是偶数
C.有时是奇数,有时是偶数
D.有时是有理数,有时是无理数
14、如图,⊙O内切于ABC,切点分别为
D,E,F,已知
B
500,
C
600,连接OE、OF、DE、
DF,那么
EDF等于(
)
A、550
B、400
C、650
D、700
15、为执行“一免一补”政策,我市
2006年投入教育经费
2500万元,预计
2008年投入3600万元.设这
两年投入教育经费的年平均增长百分率为
x,则下列方程正确的是(
)
A.2500x2
3600
B.
C.2500(1
x%)2
3600
D.
2500(1x)23600
2500(1x)2500(1x)23600
16、如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好
O
经过圆心O,则折痕AB的长为(
)
A.2cm
B.
3cm
C.2
3cm
D.25cm
A
B
三、解答题(第
17题6分,18、19
题7分共20分)
17、计算:
2
(2
1)
27
3
12
2
18、如图,ABC中,ACBRt,AB8,BC2,求斜边AB
上的高CD.
19、小军与小玲共同发明了一种“字母棋”,进行比胜负的游戏.她们用四种字母做成10只棋子,其中A棋1只,B棋2只,C棋3只,D棋4只.
“字母棋”的游戏规则为:
①游戏时两人各摸一只棋进行比赛称一轮比赛,先摸者摸出的棋不放回;
②A棋胜B棋、C棋;B棋胜C棋、D棋;C棋胜D棋;D棋胜A棋;③相同棋子不分胜负.
(1)若小玲先摸,问小玲摸到C棋的概率是多少?
(2)已知小玲先摸到了C棋,小军在剩余的9只棋中随机摸一只,问这一轮中小玲胜小军的概率是多少
?
(3)已知小玲先摸一只棋,小军在剩余的9只棋中随机摸一只,问这一轮中小玲希望摸到哪种棋胜小军的概率最大?
四、每小题8分,共16分。
20、如图,已知ABC为等边三角形,M为三角形外任意一点。
(1)请你借助旋转知识说明AMBMCM;
(2)线段AM是否存在最大值?
若存在,请指出存在的条件;若不存在,请说明理由。
21、如图,已知:
AB是⊙O的直径,AC是弦,CD切⊙O于点C,交AB的延长线于点D,
ACD1200,BD=5。
(1)求证:
CA=CD;
(2)求⊙O的半径。
五、第22题8分,第23题9分共17分
22、某超市销售一批羽绒服,平均每天可售20件,每件盈利40元,为扩大销售增加盈利,超市决定适当
降价,如果每件羽绒服降阶1元,平均每天可多售出2件,如果超市要保证平均每天要盈利1200元,同
时又要顾客得到实惠,那么每件羽绒服应降价多少元?
23、已知x1,x2是关于x的方程(x-2)(x-m)=(p-2)(p-m)的两个实数根.
(1)求x1,x2的值;
(2)若x,x是某直角三角形的两直角边的长,问当实数
12
m,p满足什么条件时,此直角三角形的面
积最大?
并求出其最大值.
六、第24题9分,第24、已知:
如图①,∠
25题10分共19分
ACD=90°,AC=2,点
B为
CG边上的一个动点,连接
AB,将△
ACB沿
AB边所在的直
线翻折得到△
ADB,过点
D作DF⊥CG于点
F。
23
(1)当BC=3时,判断直线FD与以AB为直径的⊙O的位置关系,并加以证明;
(2)如图②,点B在CG上向点C运动,直线FD与AB为直径的⊙O交于D、H两点,连接AH,当∠CAB=
∠BAD=∠DAH时,求BC的长。
25、在图1—5中,正方形ABCD的边长为a,等腰直角三角形FAE的斜边AE=
2b,且边AD和AE在同一直线上.
操作示例
当2b<a时,如图1,在BA上选取点G,使BG=b,连结FG和CG,裁掉
△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH.
思考发现
F
AEDH
G
BC
(2b<a)
图1
小明在操作后发现:
该剪拼方法就是先将
△FAG绕点F逆时针旋转
90°到△FEH的位置,易知EH与
AD在同一直线上.连结CH,由剪拼方法可得DH=BG,故△CHD≌△CGB,从而又可将△CGB绕点C顺
时针旋转90°到△CHD的位置.这样,对于剪拼得到的四边形
FGCH(如图1),过点F作FM⊥AE于点M
(图略),利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD,易得FH=HC=GC=FG,∠FHC=90°.进而根据正方形的判
定方法,可以判断出四边形
FGCH是正方形.
实践探究
(1)正方形FGCH的面积是
;(用含a,b的式子表示)
(2)类比图
1的剪拼方法,请你就图
2、图3、图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意
图.
F
F
F
A
A
E
(E)D
D
A
E
D
B
C
B
C
B
C
(2b=a)
(a<2b<2a)
F
(b=a)
图2
图3
图4
联想拓展
小明通过探究后发现:
当b≤a时,此类图形都能
方形,且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增移.
剪拼成正
A
D
E
大不断上
BC
(b>a)
图5
当b>a时,如图5的图形能否剪拼成一个正方形?
若能,请你在图中画出剪拼的示意图;若不能,简要说明理由.
附参考答案:
一、1、1;2、随机;3、
3;4、2;
5、1或-2;6、35;7、623
8、等腰直角三角形;9、如图所示:
10、外离(注:
写“相离”者不给分)
二、11、D;12、C;13、D;14、A;15、B;16、C;
三、17:
解:
原式=2+1-(94)⋯⋯⋯⋯3分
=3-1⋯⋯⋯⋯5分
=2⋯⋯⋯⋯6分
18、解:
AC=AB2BC2826⋯⋯⋯⋯2分
11
∵S△ABC=AC·BC=CD·AB⋯⋯⋯⋯3分
22
∴CD=ACBC
62
6⋯⋯⋯⋯7分
AB
8
2
19、(2007苏州中考题)解:
(1)小玲摸到C棋的概率等于
3
;⋯⋯⋯⋯1分
10
(2)小玲在这一轮中胜小军的概率是
4.⋯⋯⋯⋯3分
9
(3)①若小玲摸到A棋,小玲胜小军的概率是
5;②若小玲摸到
B棋,小玲胜小军的概率是
7;③若小玲
9
9
摸到C棋,小玲胜小军的概率是
4;④若小玲摸到D棋,小玲胜小军的概率是
1.由此可见,小玲希望
9
9
摸到B棋,小玲胜小军的概率最大.⋯⋯⋯⋯7分。
20、(数学理报2007下期末专号)
(1)将△BMC绕B点逆时针方向旋转,使C点与A点重合,得△BM′A。
⋯⋯⋯⋯1分∵∠MBM′=600、BM=BM′、AM′=MC;∴△BMM′为正三角形;∴MM′=BM。
⋯⋯2分
①若M′在AM上,则AM=AM′+MM′=BM+MC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
②若M′不在AM上,连结AM′、MM′,在△AMM′中,根据三角形三边关系可知:
AM<AM′+MM′,∴AM<BM+MC。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
(2)线段AM有最大值。
⋯⋯⋯⋯
6分
当且仅当M′在AM上时,AM=BM+MC;存在的条件是:
∠
ABM=600。
⋯⋯⋯⋯8分
21、
(1)连结OC,⋯⋯⋯⋯⋯⋯
1分
∵CD是⊙O的切线,∴∠OCD=900
⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
∴∠OCA=∠ACD-∠OCD=1200-900=300
;
∴∠OAC=∠OCA=300⋯⋯3分
0
0
0
-30
0
0
又∠ADC=180-∠ACD-
∠OAC=180-120
=30
=∠OAC⋯⋯⋯⋯4分
∴CA=CD.⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
(2)∵∠ADC=300
1
∴OC=OD=OB⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
2
∴B是OD的中点,
∴OB=5,即⊙O的半径为5。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8分
22、解:
设每件羽绒服应降价
x元,依题意得:
(40-x)(20+2x)=1200⋯⋯⋯⋯3分
整理得:
x2-30x+200=0⋯⋯⋯⋯5分
解得:
x1=10;x2=20;⋯⋯⋯⋯7分
为了使顾客多得实惠,所以要尽量多降价,故
x取20元。
答:
每件羽绒服应降价
20元。
⋯⋯⋯⋯8分
23(2007年四川绵阳中考题)、
解
(1)原方程变为:
x2-(m+2)x+2m=p2-(m+2)p+2m,
∴x2-p2-(m+2)x+(m+2)p=0,⋯⋯⋯⋯2分
(x-p)(x+p)-(m+2)(x-p)=0,⋯⋯⋯⋯3分即(x-p)(x+p-m-2)=0,
∴x1=p,x2=m+2-p.⋯⋯⋯⋯4分
(2)∵直角三角形的面积为
1x1x2
1p(m2p)=
1p2
1(m2)p⋯⋯⋯5分
2
2
2
2
=
1[p2
(m2)p(m2)2
((m2)2)]
2
2
4
=
1(p
m2)2
(m
2)2
,⋯⋯⋯⋯7分
2
2
8
∴当p
m
2
且m>-2时,以x1,x2为两直角边长的直角三角形的面积最大,
最大面积为(m
2)2
或
2
8
1p2.⋯⋯⋯⋯9分。
2
24、证明:
如图①,作以AB为直径的⊙O
∵△ADB是将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到的,
∴△ADB≌△ACB,∴∠ADB=∠ACB=90°.
∵O为AB的中点,连接DO,
∴OD=OB=AB,∴点D在⊙O上.
在Rt△ACB中,BC=,AC=2,
∴AB==,
∴∠CAB=∠BAD=30°,∴∠ABC=∠ABD=60°,
∴△BOD是等边三角形,∴∠BOD=60°,
∴∠ABC=∠BOD,∴FC∥DO.
∴DF⊥CG,∴∠ODF=∠BFD=90°.
∴OD⊥FD,∴FD为⊙O的切线.
(2)如图②,延长AD交CG于点E.
同
(1)中的方法,可证点C在⊙O上.
∴四边形ADBC是圆内接四边形,
∴∠FBD=∠1+∠2,
同理∠FBD=∠2+∠3.
∵∠1=∠2=∠3,∴∠FBD=∠FDB.
又∠DFB=90°,∴∠FBD=∠CAD=45°.
∵∠ACE=90°,∴EC=BC=x,
又∠EDB=90°,∴EB=x,
∵EB+BC=EC,∴x+x=2.
解得x=2-2,∴BC=2-2.
25、(2007年河北省中考题)
实践探究
(1)a2+b2;
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2分
(2)剪拼方法如图
3—图5.(每图2分)
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8分
F
F
F
F
A
(E)D
H
A
D
EHA
D
G
E
D
H
E
G
G
A
B
C
B
C
B
C
B
C
图3
图4
图5
图6
联想拓展
能;
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
9分
剪拼方法如图
6(图中BG=DH=b).
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
10分
(注:
图6用其它剪拼方法能拼接成面积为
a2+b2的正方形均给分
)
做人最好状态是懂得尊重,不管他人闲事,不晒自己优越,也不秀恩爱。
你越成长越懂得内敛自持,这世界并非你一人存在。
做人静默,不说人坏话,做好自己即可。
不求深刻,只求简单。
你活着不是只为讨他人喜欢,也不是为了炫耀你拥有的,没人在乎,更多人在看笑话。
你变得优秀,你身边的环境也会优化。
3.从今天开始,帮自己一个忙,不再承受身外的目光,不必在意他人的评价,为自己活着。
从今天开始,帮自己一个忙,做喜欢的事情,爱最亲近的人,想笑就大笑,想哭就痛哭,不再束缚情感的空间,让自己活得轻松些。
4.很多你觉得天大的事情,当你急切地向别人倾诉时,在别人眼中也是个小事,他最多不痛不痒呵呵地应和着。
因为他不是你,他无法感知你那种激烈的情绪。
直到有一天,你觉得无需再向别人提起,你就已经挽救了你自己。
这世界上除了你自己,没谁可以真正帮到你。
5,我们总是带着面具走进爱情的,总想展示自己最优越的一面,你要接受一个人,不只是接受他的优越,而是看清了他的平凡普通却仍然去深爱。
事实经常是:
我们走着走着,就感觉对方变了,其实我们并没有变,我们只是走进对方最真实的地方,然后迷失了自己。
6.我捧你,你就是杯子,我放手,你就是玻璃渣子。
无论是恋人还是朋友,珍惜在你每一次难过、伤心时都陪伴在你身边的人。
珍惜经常和你开玩笑的人,说明你在这个人的心中肯定有一定的分量。
珍惜在你心情不好时第一个发现的人。
7.今天再大的事,到了明天就是小事;今年再大的事,到了明年就是故事;今生再大的事,到了来世就是传说。
人生如行路,一路艰辛,一路风景。
你目光所及,就是你的人生境界。
总是看到比自己优秀的人,说明你正在走上坡路;总是看到不如自己的人,说明你正在走下坡路。
与其埋怨,不如思变。
8.归零是一种积极的心态。
所有的成败相对于前一秒都是一种过去。
过去能支撑未来,却代替不了明天。
学会归零,是一种积极面向未来的意识。
把每一天的醒来都看作是一种新生,以婴儿学步的态度,认真用好睡眠以前的时刻。
归零,让坏的不影响未来,让好的不迷惑现在。
9.总有一天,你会与那个对的人不期而遇:
所谓的幸福,从来都是水到渠成的。
它无法预估,更没有办法计算,唯一能做得是:
在遇见之前保持相信,在相遇之后寂静享用。
宁可怀着有所期待的心等待下去,也不愿去对岁月妥协,因为相信幸福也许会迟到,但不会缺席。
做人最好状态是懂得尊重,不管他人闲事,不晒自己优越,也不秀恩爱。
你越成长越懂得内敛自持,这世界并非你一人存在。
做人静默,不说人坏话,做好自己即可。
不求深刻,只求简单。
你活着不是只为讨他人喜欢,也不是为了炫耀你拥有的,没人在乎,更多人在看笑话。
你变得优秀,你身边的环境也会优化。
3.从今天开始,帮自己一个忙,不再承受身外的目光,不必在意他人的评价,为自己活着。
从今天开始,帮自己一个忙,做喜欢的事情,爱最亲近的人,想笑就大笑,想哭就痛哭,不再束缚情感的空间,让自己活得轻松些。
4.很多你觉得天大的事情,当你急切地向别人倾诉时,在别人眼中也是个小事,他最多不痛不痒呵呵地应和着。
因为他不是你,他无法感知你那种激烈的情绪。
直到有一天,你觉得无需再向别人提起,你就已经挽救了你自己。
这世界上除了你自己,没谁可以真正帮到你。
5,我们总是带着面具走进爱情的,总想展示自己最优越的一面,你要接受一个人,不只是接受他的优越,而是看清了他的平凡普通却仍然去深爱。
事实经常是:
我们走着走着,就感觉对方变了,其实我们并没有变,我们只是走进对方最真实的地方,然后迷失了自己。
6.我捧你,你就是杯子,我放手,你就是玻璃渣子。
无论是恋人还是朋友,珍惜在你每一次难过、伤心时都陪伴在你身边的人。
珍惜经