一元二次方程与二次函数综合测试题及参考答案.docx
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一元二次方程与二次函数综合测试题及参考答案
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一、选择题
1
、设
、
是关于
的一元二次方程
的两个实数根,且
,
,则(
)
A.
B.
C.
D.
2
、下列命题:
①若
,则
;②若
,则一元二次方程
有两个不
相等的实数根;③若
,则一元二次方程
有两个不相等的实数根;④若
,
则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是
2或3.其中正确的是(
)
A.只有①②③
B.只有①③④
C.只有①④
D.只有②③④
3
、若一次函数
的图象过第一、三、四象限,则函数
(
)
A.有最大值B.有最大值-C.有最小值D.有最小值-
4、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,它与x轴的两个交点分别为(﹣1,0),(3,0).对于下列命题:
①b﹣2a=0;②abc<0;③a﹣2b+4c<0;④8a+c>0.其中正确的有()
A.3个B.2个C.1个D.0个
5、关于的一元二次方程的两个实数根分别是,且,则的值是
()
A.1B.12C.13D.25
二、填空题
6、设、是方程的两根,则代数式=。
7、已知关于一元二次方程有一根是,则。
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三、计算题
8、已知:
关于
的方程
(1)求证:
方程有两个不相等的实数根;(
2)若方程的一个根是
,求
另一个根及
值.
9、解方程:
四、综合题
10、已知关于
的一元二次方程
的两个整数根恰好比方程
的两个根都大
1,求
的值.
11、如图:
抛物线
与
轴交于A、B两点,点A的坐标是(1,0),与
轴交于点C.
(1
)求抛物线的对称轴和点
B的坐标;
(2
)过点C作CP⊥对称轴于点
P,连接BC交对称轴于点
D,连接AC、BP,且∠BPD=∠BCP,求抛物线的解析式。
12、已知关于
x的二次函数
2
2
y=x-(2m-1
)x+m+3m+4.
(1)探究m满足什么条件时,二次函数
y的图象与x轴的交点的个数.
(2)设二次函数y的图象与x轴的交点为A(x1,0),B(x2,0),且+=5,与y轴的交点为C,它的顶点为
M,求直线CM的解析式.
13、如图,已知点
,直线
交
轴于点
,交
轴于点
(1
)求对称轴平行于
轴,且过
三点的抛物线解析式;
(2
)若直线平分∠ABC,求直线
的解析式;
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(3)若直线产(>0)交
(1)中抛物线于两点,问:
为何值时,以为边的正方形的面积为
9?
14、如图,抛物线交轴于点、,交轴于点,连结,是线段上一动点,
以为一边向右侧作正方形,连结,交于点.
(1)试判断的形状,并说明理由;
(2)求证:
;
(3)连结,记的面积为,的面积为,若,试探究的最小值.
2
D为抛物线的顶点,
15、如图,抛物线y=-x+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点O为坐标原点,点
点E在抛物线上,点
F在x轴上,四边形
OCEF为矩形,且OF=2,EF=3.
(1)求抛物线所对应的函数解析式;
(2)求△ABD的面积;
(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°,点A对应点为点G,问点G是否在该抛物线上?
请说明理由.
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五、简答题
16、已知的两边,的长是关于的一元二次方程的两个实数根,
第三边的长是.
(1)
为何值时,
是以
为斜边的直角三角形;
(2)
为何值时,
是等腰三角形,并求
的周长
17、已知关于
的一元二次方程:
.
(1)求证:
方程有两个不相等的实数根;
(2)设方程的两个实数根分别为
(其中
).若
是关于
的函数,且
,求这个函数的解析
式;
(3)在
(2)的条件下,结合函数的图象回答:
当自变量的取值范围满足什么条件时,.
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18、已知抛物线
y
=
ax
2-
x
+
c
经过点
(-2,
),且它的顶点
P
的横坐标为-1.设抛物线与
x
轴相交于
、
Q
AB
两点,如图.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求A、B两点的坐标;
(3)设PB于y轴交于C点,求△ABC的面积.
19、如图,已知抛物线的顶点为A(1,4)、抛物线与y轴交于点B(0,3),与x轴交于C、D两点.
点P是x轴上的一个动点.
(1)求此抛物线的解析式.
(2)当PA+PB的值最小时,求点P的坐标.
20、已知二次函数的部分图象如图7所示,抛物线与轴的一个交点坐标为,对称轴
为直线.
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(1)若,求的值;
(2)若实数,比较与的大小,并说明理由.
参考答案
一、选择题
1、C
2、B
3、B
4、考点:
二次函数图象与系数的关系。
分析:
首先根据二次函数图象开口方向可得a>0,根据图象与y轴交点可得c<0,再根据二次函数的对称轴x=﹣,结
合图象与x轴的交点可得对称轴为x=1,结合对称轴公式可判断出①的正误;根据对称轴公式结合a的取值可判定出
b>0,根据a、b、c的正负即可判断出②的正误;利用b﹣2a=0时,求出a﹣2b+4c<0,再利用当x=4时,y>0,则
16a+4b+c>0,由①知,b=﹣2a,得出8a+c>0.
解答:
解:
根据图象可得:
a>0,c>0,
对称轴:
x=﹣>0,
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①∵它与x轴的两个交点分别为(﹣
1,0),(
3,0),
∴对称轴是x=1,
∴﹣=1,
∴b+2a=0,
故①错误;
②∵a>0,
∴b<0,
∴abc<0,故②正确;
③a﹣2b+4c<0;
∵b+2a=0,
∴a﹣2b+4c=a+2b﹣4b+4c=﹣4b+4c,
∵a﹣b+c=0,
∴4a﹣4b+4c=0,
∴﹣4b+4c=﹣4a,
∵a>0,
∴a﹣2b+4c=﹣4b+4c=﹣4a<0,
故此选项正确;
④根据图示知,当x=4时,y>0,
∴16a+4b+c>0,
由①知,b=﹣2a,
∴8a+c>0;
故④正确;
故正确为:
①②③三个.
故选:
A.
点评:
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此题主要考查了二次函数图象与系数的关系,关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向,当a>0时,
抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:
当a与b
同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右.(简称:
左同右异)③常数项c决定抛物线与y轴交点,抛物线与y轴交于(0,c).
5、C
二、填空题
6、1
7、4
三、计算题
8、解:
(1),
,
无论取何值,,所以,即,
方程有两个不相等的实数根.
(2)设的另一个根为,
则,,解得:
,,
的另一个根为
,的值为1.15.
9、解:
由题意得:
由方程
(2)得:
代人
(1)式得
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四、综合题
10≤
5
10
29.
20
111
A10ABx=2
B30
2A10B30
AB=2
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∵CP⊥对称轴于P,
∴CP∥AB,
∵对称轴是x=2,
∴AB∥CP且AB=CP,
∴四边形ABPC是平行四边形,设点C(0,x)(x<0),
在Rt△AOC中,AC=,
∴BP=,
在Rt△BOC中,BC=
∵,
∴BD=,
,
∵∠BPD=∠PCB且∠PBD=∠CBP,
∴△BPD∽△BCP,
∴BP2=BD?
BC,
即
∴
=
,
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∵点C在y轴的负半轴上,
∴点C(0,),
∴y=ax2-4ax-3,
∵过点(1,0),
∴a-4a-3=0,
解得:
a=.
∴解析式是:
22
12、解:
(1)令y=0,得:
x-(2m-1)x+m+3m+4=0
22
△=(2m-1)-4(m+3m+4)=-16m-15
当△>0时,方程有两个不相等的实数根,即-16m-15>0
∴m<-
此时,y的图象与x轴有两个交点
当△=0时,方程有两个相等的实数根,即-16m-15=0
∴m=-
此时,y的图象与x轴只有一个交点
当△<0时,方程没有实数根,即-16m-15<0
∴m>-
此时,y的图象与x轴没有交点
∴当m<-时,y的图象与x轴有两个交点;
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当=-
时,
y
的图象与
x
轴只有一个交点;
m
当m>-时,y的图象与x轴没有交点.
(评分时,考生未作结论不扣分)
(2)由根与系数的关系得x1+x2=2m-1,x1x2=m2+3m+4
1
2
2
1
2
2
2
2
+=(x
+x)
-2xx
=(2m-1)
-2(m+3m+4)=2m-10m-7
∵+
2
2
=5,∴2m-10m-7=5
,∴m-5m-6=0
解得:
1=6,2=-1
mm
∵m<-,∴m=-1
∴y=x2+3x+2
令x=0,得y=2,∴二次函数y的图象与y轴的交点C坐标为(0,2)
2
2
,∴顶点M的坐标为(-
,-
)
又y=x+3x+2=(x+
)-
设过C(0,2)与M(-,-)的直线解析式为y=kx+b
则2=bk=
-=k+b,b=2
∴所求的解析式为y=x+2
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13、解:
(1)直线
交
轴于
点,交
轴于
点。
由此,得
点坐标为
,
点坐标为
。
由于抛物线过
,
,
故可设抛物线解析式为
。
∵抛物线过点
,∴
,∴
∴抛物线解析式为
,即
。
(2)过
点作
,交直线
于点
∵平分
,∴
∴
,∴
点坐标为
设的解析式为
,∴
解这个方程组,得
∴直线的解析式为
。
(3)设两点的横坐标分别为
由题意知,是方程
,即
的两根,
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则
∵
∴,∴时,以EF为边的正方形的面积为9。
14、
(1)令,得,
令,得,
,
(2)如图,,是正方形
,
,
(3),
∽
,设,则,
,
=
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∴当时,有最小值7
15、考点:
二次函数综合题。
专题:
代数几何综合题。
分析:
(1)在矩形OCEF中,已知OF、EF的长,先表示出C、E的坐标,然后利用待定系数法确定该函数的解析式.
(2)根据
(1)的函数解析式求出A、B、D三点的坐标,以AB为底、D点纵坐标的绝对值为高,可求出△ABD的面积.
(3)首先根据旋转条件求出G点的坐标,然后将点G的坐标代入抛物线的解析式中直接进行判定即可.解答:
解:
(1)∵四边形OCEF为矩形,OF=2,EF=3,
∴点C的坐标为(0,3),点E的坐标为(2,3).
把x=0,y=3;x=2,y=3分别代入y=-x2+bx+c中,
得,
解得,
∴抛物线所对应的函数解析式为y=-x2+2x+3;
(2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴抛物线的顶点坐标为D(1,4),
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∴△ABD中AB边的高为4,
令y=0,得-x2+2x+3=0,
解得x1=-1,x2=3,
所以AB=3-(-1)=4,
∴△ABD的面积=×4×4=8;
(3)△AOC绕点C逆时针旋转90°,CO落在CE所在的直线上,由
(2)可知OA=1,
∴点A对应点G的坐标为(3,2),
当x=3时,y=-32+2×3+3=0≠2,所以点G不在该抛物线上.点评:
这道函数题综合了图形的旋转、面积的求法等知识,考查的知识点不多,难度适中.
五、简答题
16、解:
由题意得:
.
(1),
,
整理得:
(不合题意,舍去)
(2)若
当
时.
;则
是以
为斜边的直角三角形;
,
,结果,;
注;
此问用根的判别式做也可以.
若,则
,
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解得:
,
当时,;当时,;
若,同样时.:
当时,;
∴当或时.是等腰三角形,其周长为14或16
注:
不论或都说明是方程的一个根,也可以把代入方程解得值.
17、
(1)证明:
是关于的一元二次方程,
.
当时,,即.方程有两个不相等的实数根...3分
(2)解:
由求根公式,得.
或.,.
,,..
即为所
求.7分
(3)解:
在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象.
由图象可得,当时,.
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9分
18、
(1)由题意得解得,.
∴抛物线的解析式为.
(2)令y=0,即,整理得x2+2x-3=0.
变形为(x+3)(x-1)=0,解得x1=-3,x2=1.
∴A(-3,0),B(1,0).
(3)将x=-l代入中,得y=2,即P(-1,2).
设直线PB的解析式为y=kx+b,于是2=-k+b,且0=k+b.解得k=-1,b=1.
即直线PB的解析式为y=-x+1.
令x=0,则y=1,即OC=1.
又∵AB=1-(-3)=4,
∴S△ABC=×AB×OC=×4×1=2,即△ABC的面积为2.
19、解:
(1)∵抛物线顶点坐标为(1,4)
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y=a(x-1)2+4
B(03)
3=a(0-1)2+4
a=-1
y=-(x-1)2+4
y=-x2+2x+3
2BxE0-3AExP.
AEy=kx+b
yAE=7x-3
y=0x=
P(
0)
201
x
-1,01
.
2
=1.3
=11
x3,0
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2
2
.
3
4
.
.
5
6
.
7
8