则OH＝2－x，OA＝4－x.
连接OB，由OH⊥BD，得OB2＝（2－x）2＋22.
又由
（1）知PO⊥平面BFED，
则PO⊥OB.
所以PB＝＝
＝.
当x＝时，PBmin＝，此时PO＝＝OH，
所以V四棱锥P－BDEF＝×S梯形BDEF×PO
＝×（×42－×22）×＝3.
跟踪演练3 如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，若O为△ABC的外心，则·的值为________．
四审结构定方案
数学问题中的条件和结论，很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的．在这些问题的数式结构中，往往都隐含着某种特殊关系，认真审视数式的结构特征，对数式结构进行深入分析，加工转化，可以寻找到突破问题的方案．
例4 （2015·四川）设数列{an}（n＝1,2,3，…）的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记数列的前n项和为Tn，求使得|Tn－1|＜成立的n的最小值．
审题路线图
解
（1）由已知Sn＝2an－a1，
有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1（n≥2），
即an＝2an－1（n≥2），
从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，
又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，
即a1＋a3＝2（a2＋1），
所以a1＋4a1＝2（2a1＋1），解得a1＝2，
所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，
故an＝2n.
（2）由
（1）得＝，
所以Tn＝＋＋…＋＝＝1－.
由|Tn－1|＜，得＜，
即2n＞1000，
因为29＝512＜1000＜1024＝210，所以n≥10，
于是，使|Tn－1|＜成立的n的最小值为10.
跟踪演练4
（1）（2015·临川一中月考）已知数列{an}满足a1＝6，an＋1－an＝2n，记cn＝，且存在正整数M，使得对一切n∈N*，cn≥M恒成立，则M的最大值为________．
（2）（2014·课标全国Ⅰ）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且（2＋b）·（sinA－sinB）＝（c－b）·sinC，则△ABC面积的最大值为________．
五审图表找规律
题目中的图表、数据包含着问题的基本信息，往往也暗示着解决问题的目标和方向．在审题时，要认真观察分析图表、数据的特征和规律，常常可以找到解决问题的思路和方法．
例5 下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为ai，j（i，j∈N*），则
（1）a9,9＝________；
（2）表中的数82共出现________次.
2
3
4
5
6
7
¡
3
5
7
9
11
13
¡
4
7
10
13
16
19
¡
5
9
13
17
21
25
¡
6
11
16
21
26
31
¡
7
13
19
25
31
37
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
审题路线图
【详细分析】
（1）a9,9表示第9行第9列，第1行的公差为1，第2行的公差为2，……，第9行的公差为9，第9行的首项b1＝10，则b9＝10＋8×9＝82；
（2）第1行数组成的数列a1，j（j＝1,2，…）是以2为首项，公差为1的等差数列，所以a1，j＝2＋（j－1）·1＝j＋1；第i行数组成的数列ai，j（j＝1,2，…）是以i＋1为首项，公差为i的等差数列，所以ai，j＝（i＋1）＋（j－1）i＝ij＋1，由题意得ai，j＝ij＋1＝82，即ij＝81，且i，j∈N*，所以81＝81×1＝27×3＝9×9＝1×81＝3×27，故表格中82共出现5次．
答案
（1）82
（2）5
跟踪演练5 为调查企业工人的身体情况，社保局从某企业800名男职工中随机抽取50名测量其身高，据测量，被测职工的身高全部在155cm到195cm之间．将测量结果按如下方式分成8组：
第一组[155,160），第二组[160,165），……，第八组[190,195]，频率分布直方图的部分图象如图所示，频数统计表的一部分如下表，已知第一组与第八组的人数相同，第七组与第六组的人数差恰好为第八组与第七组的人数差，则x＝________，y＝________.
分组
频数
¡
¡
[180,185）
x
[185,190）
y
¡
¡
六审细节更完善
审题不仅要从宏观上、整体上去分析、去把握，还要更加注意审视一些细节上的问题．例如括号内的标注、数据的范围、图象的特点等．因为标注、范围大多是对数学概念、公式、定理中所涉及的一些量或解析式的限制条件．审视细节能适时地利用相关量的约束条件，调整解决问题的方向．所以说重视审视细节，更能体现审题的深刻性．
例6 各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝a＋an（n∈N*）．
（1）求an；
（2）令bn＝
cn＝b
（n∈N*），求{cn}的前n项和Tn.
审题路线图
（1）Sn＝a＋an
↓（注意n∈N*，an>0）
a1＝2
↓（下面的变形是有条件的，条件是n≥2）
an＝Sn－Sn－1＝a＋an－a－an－1
↓（进行代数式变形）
（an＋an－1）（an－an－1－2）＝0
↓（an＋an－1>0）
an－an－1＝2
↓（利用等差数列的定义）
an＝2＋（n－1）×2＝2n
↓（注意bn与an的关系，n是分奇偶的）
（2）b1＝a1＝2；b2＝a1＝2；b3＝a3＝6；
b4＝b2＝2
↓（注意cn与bn的关系）
c1＝b6＝b3＝6
c2＝b8＝b4＝2
↓（注意下面变化的条件是n≥3）
＝2n－1＋2.
↓
Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn
＝6＋2＋（22＋2）＋（23＋2）＋…＋（2n－1＋2）
＝2n＋2n
↓（当n＝1，n＝2时，对Tn的表达式的验证）
Tn＝
解
（1）a1＝S1＝a＋a1⇒a－a1＝0，
因为a1>0，故a1＝2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝a＋an－a－an－1，
所以（a－a）－（an＋an－1）＝0，
即（an＋an－1）（an－an－1－2）＝0.
因为an>0，所以an－an－1＝2，
即{an}为等差数列，
所以an＝2n（n∈N*）．
（2）c1＝b6＝b3＝a3＝6，c2＝b8＝b4＝b2＝b1＝a1＝2，
n≥3时，
，
此时，Tn＝8＋（22＋2）＋（23＋2）＋…＋（2n－1＋2）
＝2n＋2n；
当n＝1时，2＋2＝4≠6，不符合上式，
当n＝2时，T2＝22＋2×2＝8＝c1＋c2，符合上式．
所以Tn＝
跟踪演练6 （2015·惠州市调研）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：
对一切正整数n，有＋＋…＋<.
审题突破练
A组 专题通关
1．已知点A（－3,0），B（0,3），若点P在圆x2＋y2－2x＝0上运动，则△PAB面积的最小值为（ ）
A．6B．6
C．6＋D．6－
2．如图所示，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统，当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K，A1，A2正常工作的概率依次是0.9,0.8,0.8，则系统正常工作概率为（ ）
A．0.960B．0.864
C．0.70D．0.576
3．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ）
A.B.
C．6D．7
4．（2015·重庆）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是（ ）
A．s≤？
B．s≤？
C．s≤？
D．s≤？
5．（2015·佛山市高三上学期期中试题）已知a＞0，函数f（x）＝若f（t－）＞－，则实数t的取值范围为________．
6．（2015·福建）若锐角△ABC的面积为10，且AB＝5，AC＝8，则BC等于________．
7．已知在△ABC中，sinA＋cosA＝.
（1）求sin（－A）cos（＋A）；
（2）求tanA值．
8．数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝ln（1＋），bn＝－（n∈N*），证明：
an＞bn.
B组 能力提高
9．已知a∈R，函数f（x）＝x3＋（a－2）x2＋b，g（x）＝2alnx.
（1）若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处的切线互相垂直，求a，b的值；
（2）设F（x）＝f′（x）－g（x），若对任意的x1，x2∈（0，＋∞），且x1≠x2，都有F（x2）－F（x1）＞a（x2－x1），求a的取值范围．
10．已知椭圆C：
＋＝1（a>b>0）的焦距为2，且过点（1，），右焦点为F2.设A，B是C上的两个动点，线段AB的中点M的横坐标为－，线段AB的中垂线交椭圆C于P，Q两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求·的取值范围．
学生用书答案精析
第一篇 活用审题路线图，教你审题不再难
跟踪演练1 解
（1）因为函数y＝sinx的单调递增区间为[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z，
由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以函数f（x）的单调递增区间为[－＋，＋]，k∈Z.
（2）由已知，有sin（α＋）＝cos（α＋）（cos2α－sin2α），
所以sinαcos＋cosαsin
＝（cosαcos－sinαsin）（cos2α－sin2α），
即sinα＋cosα＝（cosα－sinα）2（sinα＋cosα）．
当sinα＋cosα＝0时，由α是第二象限角，知α＝＋2kπ，k∈Z.
此时，cosα－sinα＝－.
当sinα＋cosα≠0时，有（cosα－sinα）2＝.
由α是第二象限角，知cosα－sinα<0，
此时cosα－sinα＝－.
综上所述，cosα－sinα＝－或－.
跟踪演练2
（1）解 由于函数f（x）的定义域为（0，＋∞），
当a＝－1时，f′（x）＝x－＝，
令f′（x）＝0得x＝1或x＝－1（舍去），
当x∈（0,1）时，函数f（x）单调递减，
当x∈（1，＋∞）时，函数f（x）单调递增，
所以f（x）在x＝1处取得极小值为.
（2）解 当a＝1时，易知函数f（x）在[1，e]上为增函数，
所以f（x）min＝f
（1）＝，f（x）max＝f（e）＝e2＋1.
（3）证明 设F（x）＝f（x）－g（x）＝x2＋lnx－x3，则F′（x）＝x＋－2x2＝，
当x>1时，F′（x）<0，
故f（x）在区间[1，＋∞）上是减函数，
又F
（1）＝－<0，
所以在区间[1，＋∞）上，F（x）<0恒成立．
即f（x）因此，当a＝1时，在区间[1，＋∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）的图象的下方．
跟踪演练3 8
【详细分析】方法一 取边BC的中点D，由于O为△ABC的外心，所以⊥，所以·＝0，＝＋＝（＋）＋，所以·＝[（＋）＋]·＝（＋）·（－）
＝（||2－||2）＝8.
方法二 取AB的中点E，AC的中点F，连接OE，OF，则OE⊥AB，OF⊥AC.
易知向量在上的投影为
||，在上的投影为||，
所以·＝·（－）＝·－·
＝||·||－||·||＝5×－3×＝8.
跟踪演练4
（1）4
（2）
【详细分析】
（1）∵an＋1－an＝2n，
∴an－an－1＝2n－2，……，a2－a1＝2，
∴an－a1＝2[（n－1）＋（n－2）＋…＋1]
＝n（n－1），
∴an＝n（n－1）＋6，
∴cn＝＝n＋－1≥5－1＝4，
∵对一切n∈N*，cn≥M恒成立，
∴M的最大值为4.
（2）∵＝＝＝2R，a＝2，又（2＋b）·（sinA－sinB）＝（c－b）sinC可化为（a＋b）（a－b）＝（c－b）·c，
∴a2－b2＝c2－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.
∴＝＝＝cosA，∴A＝60°.
∴△ABC中，4＝a2＝b2＋c2－2bc·cos60°＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc（“＝”当且仅当b＝c时取得），
∴S△ABC＝·bc·sinA≤×4×
＝.
跟踪演练5 4 3
【详细分析】由频率分布直方图可知前五组的频率之和是（0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06）×5＝0.82，第八组的频率是0.008×5＝0.04，
所以第六、七组的频率之和为1－0.82－0.04＝0.14.
故第八组的人数为50×0.04＝2，
第六、七组的人数之和为50×0.14＝7.
由题意，可得解得
跟踪演练6
（1）解 依题意，2S1＝a2－－1－，
又S1＝a1＝1，所以a2＝4，
当n≥2时，2Sn＝nan＋1－n3－n2－n，
2Sn－1＝（n－1）an－（n－1）3－（n－1）2－（n－1），
两式相减得
2an＝（nan＋1－n3－n2－n）－[（n－1）·an－（n－1）3－（n－1）2－（n－1）]．
整理得（n＋1）an＝nan＋1－n（n＋1），
即－＝1，
又－＝1，
故数列{}是首项为1，公差为1的等差数列，
所以＝1＋1×（n－1）＝n，
所以an＝n2.
（2）证明 当n＝1时，＝1<；
当n＝2时，＋＝1＋＝<；
当n≥3时，＝<＝－，
此时＋＋…＋＝1＋＋＋＋…＋<1＋＋（－）＋（－）＋…＋（－）＝1＋＋－＝－<.
综上，对一切正整数n，有＋＋…＋<.
审题突破练
1．D [由圆的方程x2＋y2－2x＝0，得（x－1）2＋y2＝1，
所以圆的圆心G（1,0），且圆的半径r＝1，
由A（－3,0），B（0,3），得kAB＝＝1，
所以AB的方程为y＝x＋3，
即x－y＋3＝0，
所以点G（1,0）到AB的距离d＝＝2＞1，
所以AB与给定的圆相离，
圆上到AB的距离的最小值t＝d－r＝2－1，
又|AB|＝＝3，
所以△PAB面积的最小值为×3×
（2－1）＝6－.]
2．B [由题意可知K，A1，A2三类元件正常工作相互独立．A1，A2至少有一个正常工作的概率为P＝1－（1－0.8）2＝0.96.所以系统正常工作的概率为PKP＝0.9×0.96＝0.864.]
3．A [由题意知，该多面体是由正方体挖去两个小三棱锥后所成的几何体，如图所示，
所以该几何体的体积为V＝2×2×2－2××（×1×1）×1＝]
4．C [由s＝0，k＝0满足条件，则k＝2，s＝，满足条件；k＝4，s＝＋＝，满足条件；k＝6，s＝＋＝，满足条件；k＝8，s＝＋＝，不满足条件，输出k＝8，所以应填s≤？
.]
5．（0，＋∞）
【详细分析】①当－1≤t－＜0时，
f（t－）＝sin[（t－）]＞－，
∴－＋2kπ＜（t－）＜＋2kπ（k∈Z）．
∴－＋4k＜t－＜＋4k（k∈Z）．
∵－1≤t－＜0，
∴－＜t－＜0，
∴0＜t＜.
②当t－≥0时，f（t－）＝a（t－）2＋a（t－）＋1＞－（a＞0）恒成立，
∴t≥.
综上可知：
实数t的取值范围为（0，＋∞）．
6．7
【详细分析】S＝AB·AC·sinA，∴sinA＝，在锐角三角形中A＝，由余弦定理得
BC＝＝7.
7．解 方法一
（1）∵sinA＋cosA＝，
∴1＋2sinA·cosA＝，
∴sin2A＝－，
sin（－A）cos（＋A）＝－cosA·
（－sinA）＝sinAcosA＝sin2A＝－.
（2）∵sinA＋cosA＝，
∴（sinA－cosA）2＝（sinA＋cosA）2－4sinAcosA
＝＋＝，
又0＜A＜π且sinA＋cosA＝，
∴＜A＜π，
∴sinA＞0，cosA＜0，
∴sinA－cosA＝，
∴sinA＝，cosA＝－，
∴tanA＝＝－.
方法二
（1）同方法一．
（2）sin2A＝
＝＝－，
∴12tan2A＋25tanA＋12＝0
∴tanA＝－或tanA＝－
又0＜A＜π，sinA＋cosA＝，
∴＜A＜，∴tanA＜－1，
故tanA＝－.
8．证明 欲证原不等式成立，
需证明ln（1＋）－＋＞0.
构造函数F（x）＝ln（1＋x）－x＋x2（0＜x≤1）
所以F′（x）＝－1＋2x＝.
当0＜x≤1时，F′（x）＞0，
所以函数F（x）在（0,1]上单调递增．
所以函数F（x）＞F（0）＝0，即F（x）＞0.
所以∀x∈（0,1]，ln（1＋x）－x＋x2＞0，
即ln（1＋x）＞x－x2.
令x＝（n∈N*），
则有ln（1＋）＞－，即an＞bn.
9．解
（1）f′（x）＝x2＋（a－2）x，
f′
（1）＝a－.
g′（x）＝，g′
（1）＝2a.
依题意有f′
（1）g′
（1）＝－1，
且f
（1）＝g
（1），可得
解得a＝1，b＝，或a＝，b＝.
（2）F（x）＝x2＋（a－2）x－2alnx.
不妨设x1＜x2，F（x2）－F（x1）＞a（x2－x1），
等价于F（x2）－ax2＞F（x1）－ax1.
设G（x）＝F（x）－ax，
则对任意的x1，x2∈（0，＋∞），
且x1≠x2，都有＞a，
等价于G（x）＝F（x）
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