2最值系列之辅助圆.docx
《2最值系列之辅助圆.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2最值系列之辅助圆.docx（24页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
2最值系列之辅助圆
最值系列之辅助圆
最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才会有最值.在将军饮
马问题中，折点P就是那个必须存在的动点•并且它的运动轨迹是一条直线，解题策略就是作端点关于折点所在直线的对称即可.
当然，动点的运动轨迹是可以变的，比如P点轨迹也可以是一个圆，就有了第二类最
值问题一一辅助圆.
在这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此,
结合题目给的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题.
若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最最值的问题就会变得简单了，比如：
如下图，A为圆外一点，在圆上找一点P使得PA最小.
当然，也存在耿直的题目直接告诉动点轨迹是个圆的，比如:
【2020四川德阳】
如图，已知圆C的半径为3,圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O
的直线I上有两点A、B,且OA=OB,/APB=90°,1不经过点C,则AB的最小值为•
若AB最小，则OP最小即可.
连接OC,与圆C交点即为所求点P,此时OP最小，AB也取到最小值.
、从圆的定义构造圆
圆的定义：
平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合.
构造思路：
若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧.
【2014成都中考】
如图，在边长为2的菱形ABCD中，/A=60°,M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将AAMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN,连接A'C,则A'C长度的最小值是
【分析】考虑△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，可得MA'MA=1，所以A'轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧.
连接CM，与圆的交点即为所求的A'此时A'C的值最小.
构造直角AMHC，勾股定理求CM,再减去A'M即可.
【2020淮安中考】
如图，在Rt△ABC中，/C=90°,AC=6,BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边
BC上的动点，将ACEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值
是.
【分析】考虑到将AFCE沿EF翻折得到△FPE，可得P点轨迹是以F点为圆心，FC为半径的圆弧.
过F点作FH丄AB，与圆的交点即为所求P点，此时点P到AB的距离最小.由相似先求FH，再减去FP,即可得到PH.
【2020扬州中考】
如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）.直线
I是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线I折叠，点B的对应点是点B'.当PB=6时，在直线I变化过程中，求△ACB'面积的最大值.
【分析】考虑I是经过点P的直线，且△ABC沿直线I折叠，所以B'轨迹是以点P为圆心,PB为半径的圆弧.
考虑△ACB'面积最大，因为AC是定值，只需B'到AC距离最大即可.过P作作PH丄AC交
AC于H点，与圆的交点即为所求B'点，先求HB再求面积.
【2020相城区一模】
AE=2,△AEQ
如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=8,P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点,
沿EQ翻折形成AFEQ,连接PF、PD，贝UPF+PD的最小值是.
二、定边对直角
知识回顾：
直径所对的圆周角是直角.
构造思路：
一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧.图形释义：
【分析】由于E、F是动点，故P点也是动点，因而存在PD最小值这样的问题，那P点轨迹如何确定？
考虑BE=CF，易证AE丄BF，即在运动过程中，/APB=90°故P点轨迹是以AB为直径的
圆.
连接0C,与圆的交点即为P点，再通过勾股定理即可求出PC长度.
思路概述：
分析动点形成原理，通常非直即圆”（不是直线就是圆），接下来可以寻找与动
点相关有无定直线与定角.
【2013武汉中考】如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接
CF交BD于点G,连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是
【分析】根据条件可知：
/DAG=/DCG=ZABE，易证AG丄BE,即/AHB=90°
所以H点轨迹是以AB为直径的圆弧
当D、H、O共线时，DH取到最小值，勾股定理可求.
【2020安徽中考】如图，Rt△ABC中，AB丄BC,AB=6,BC=4,P是AABC内部的一个动点,且满足/PAB=ZPBC，则线段CP长的最小值是.
【分析I：
/PBC+/PBA=90°/PBC=/PAB,
•••/FAB+/PBA=90°,
•••/AFB=90°,
•F点轨迹是以AB为直径的圆弧.
当0、P、C共线时，CF取到最小值，勾股定理先求OC,再减去OP即可.
A
B
【寻找定边】如图，AB是半圆0的直径，点C在半圆0上，AB=5,AC=4.D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE丄AD于E,连接BE.在点D移动的过程中，BE的最小值为.
当B、E、M共线时，BE取到最小值.连接BC,勾股定理求BM,再减去EM即可.
【寻找定边与直角】如图，在Rt△ABC中，/ACB=90°,BC=4,AC=10，点D是AC上的
一个动点，以CD为直径作圆0,连接BD交圆0于点E,则AE的最小值为.
A
C
【分析】连接CE,由于CD为直径，故/CED=90°，考虑到CD是动线段，故可以将此题看成定线段CB对直角/CEB.
取CB中点M，所以E点轨迹是以M为圆心、CB为直径的圆弧.
连接AM，与圆弧交点即为所求E点，此时AE值最小,
AEAMEM10__F22262.
（2020苏州园区一模）如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分别从点A、C同时出
发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过
点B作直线EF的垂线BG,垂足为点G,连接AG,则AG长的最小值为.
/BGO为直角且BO边为定直线，故G点轨迹是以BO为直径的圆.
记BO中点为M点，当A、G、M共线时，AG取到最小值，利用RtAAOM勾股定理先求AM，再减去GM即可.
【辅助圆+将军饮马】如图，正方形ABCD的边长是4,点E是AD边上一动点，连接BE,
过点A作AF丄BE于点F，点P是AD边上另一动点，贝UPC+PF的最小值为.
【分析】/AFB=90°且AB是定线段，故F点轨迹是以AB中点0为圆心、AB为直径的圆.
C'.
【辅助圆+相切】如图，在RtAABC中，/ACB=90°/B=30°AB=4,D是BC上一动点,
CE丄AD于E,EF丄AB交BC于点F，贝UCF的最大值是.
【分析】/AEC=90°且AC为定值，故E点轨迹是以AC为直径的圆弧.
考虑EF丄AB，且E点在圆上，故当EF与圆相切的时候，CF取到最大值.
连接OF，易证AOCFOEF，/COF=30°,故CF可求.
A
C
F
三、定边对定角
在定边对直角”问题中，依据直径所对的圆周角是直角”关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相.定边必不可少，而直角则
可一般为定角.例如，AB为定值，/P为定角，则A点轨迹是一个圆.
当然，/P度数也是特殊角，比如30°45°60°120°下分别作对应的轨迹圆.若/P=30°,以AB为边，同侧构造等边三角形AOB,O即为圆心.
若/P=45°,以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB,O即为圆心.
若/P=60°,以AB为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB,O即为圆心.
若/P=120°,以AB为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB,O即为圆心.
【例题】如图，等边△ABC边长为2，E、F分别是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接
AE、BF，交点为P点，贝UCP的最小值为.
【分析】由BE=CF可推得AABEBCF，所以/APF=60°,但/APF所对的边AF是变化的.
所以考虑/APB=120°,其对边AB是定值.
所以如图所示，P点轨迹是以点0为圆心的圆弧.（构造OA=OB且/AOB=120°
当O、P、C共线时，可得
【2020山东威海】如图，
FAB=/ACP，则线段PB
B
E
CP的最小值，利用Rt△OBC
△ABC为等边三角形，AB=2长度的最小值为.
勾股定理求得
OC,再减去
若P为△ABC内一动点,
C
OP即可.
且满足/
【分析】由/PAB=/ACP，可得/APC=120°,后同上例题.
【2020南京中考】在△ABC中，AB=4，/C=60°,ZA>/B,则BC的长的取值范围是
【分析】先作图，如下
条件不多，但已经很明显，AB是定值，ZC=60°，即定边对定角•故点C的轨迹是以点O
为圆心的圆弧.（作AO=BO且ZAOB=120°）
题意要求ZA>ZB,即BC>AC，故点C的轨迹如下图.
【2020武汉中考】如图，AB是圆O的直径，M、N是弧AB（异于A、B）上两点，C是弧
MN上一动点，/ACB的角平分线交圆O于点D，/BAC的平分线交CD于点E,当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是.
再考虑E点轨迹，考虑到CE、AE都是角平分线，所以连接BE,BE平分/ABC，可得：
/
AEB=135°.
考虑到/AEB是定角，其对边AB是定线段，根据定边对定角，所以E点轨迹是个圆，考虑
到/ADB=90°，所以D点即为圆心，DA为半径.
E点轨迹所对的圆心角为/MDN，是/MON的一半，所以C、E两点轨迹圆半径之比为1:
根号2,圆心角之比为2:
1，所以弧长比值为根号2.
升级会员 