初等数论练习题.docx

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初等数论练习题

初等数论练习题

信阳职业技术学院

2010年12月

初等数论练习题一

一、填空题

1、d（2420）=___________；（2420）=___________。

2、设a,n是大于1的整数，若an-1是质数，则a=___________。

3、模9的绝对最小完全剩余系是___________。

4、同余方程9x+12≡0（mod37）的解是__________。

5、不定方程18x-23y=100的通解是___________。

6、分母是正整数m的既约真分数的个数为_______。

7、18100被172除的余数是___________。

8、=___________。

9、若p是素数，则同余方程xp-1≡1（modp）的解数为。

二、计算题

1、解同余方程：

3x2+11x-20≡0（mod105）。

2、判断同余方程x2≡42（mod107）是否有解？

3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。

三、证明题

1、已知p是质数，（a,p）=1，证明：

（1）当a为奇数时，ap-1+（p-1）a≡0（modp）；

（2）当a为偶数时，ap-1-（p-1）a≡0（modp）。

2、设a为正奇数，n为正整数，试证≡1（mod2n+2）。

3、设p是一个素数，且1≤k≤p-1。

证明：

≡（-1）k（modp）。

4、设p是不等于3和7的奇质数，证明：

p6≡1（mod84）。

初等数论练习题二

一、填空题

1、d（1000）=__________；σ（1000）=__________。

2、2010!

的标准分解式中，质数11的次数是__________。

3、费尔马（Fermat）数是指Fn=+1,这种数中最小的合数Fn中的n=_________。

4、同余方程13x≡5（mod31）的解是__________。

5、分母不大于m的既约真分数的个数为_________。

6、设7∣（80n-1）,则最小的正整数n=__________。

7、使41x+15y=C无非负整数解的最大正整数C=__________。

8、=__________。

9、若p是质数，n∣p-1，则同余方程xn≡1（modp）的解数为。

二、计算题

1、试求被19除所得的余数。

2、解同余方程3x14+4x10+6x-18≡0（mod5）。

3、已知a=5,m=21,求使ax≡1（modm）成立的最小自然数x。

三、证明题

1、试证13|（54m+46n+2000）。

（提示：

可取模13进行计算性证明）。

2、证明Wilson定理的逆定理：

若n>1，并且（n-1）!

≡-1（modn），则n是素数。

3、证明：

设ps表示全部由1组成的s位十进制数，若ps是素数，则s也是一个素数。

4、证明：

若2p+1是奇素数，则（p!

）2+（-1）p≡0（mod2p+1）。

5、设p是大于5的质数，证明：

p4≡1（mod240）。

初等数论练习题三

一、单项选择题

1、若n＞1，ϕ（n）=n-1是n为质数的（）条件。

A.必要但非充分条件B.充分但非必要条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

2、设n是正整数，以下各组a，b使为既约分数的一组数是（　　　）。

A.a=n+1,b=2n-1B.a=2n-1,b=5n+2C.a=n+1,b=3n+1D.a=3n+1,b=5n+2

3、使方程6x+5y=C无非负整数解的最大整数C是（　　　）。

A.19B.24C.25D.30

4、不是同余方程28x≡21（mod35）的解为（　　）。

A.x≡2（mod35）B.x≡7（mod35）C.x≡17（mod35）D.x≡29（mod35）

5、设a是整数，

（1）a≡0（mod9）

（2）a≡2010（mod9）

（3）a的十进位表示的各位数码字之和可被9整除

（4）划去a的十进位表示中所有的数码字9，所得的新数被9整除

以上各条件中，成为9|a的充要条件的共有（　　　）。

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题

1、σ（2010）=__________；（2010）=__________。

2、数的标准分解式中，质因数7的指数是__________。

3、每个数都有一个最小质因数.所有不大于10000的合数的最小质因数中，最大者是___。

4、同余方程24x≡6（mod34）的解是__________。

5、整数n>1，且（n-1）!

+1≡0（modn）,则n为_______（填：

素数或合数）。

6、3103被11除所得余数是__________。

7、=__________。

三、计算题

1、判定（ⅰ）2x3-x2+3x-1≡0（mod5）是否有三个解；

（ⅱ）x6+2x5-4x2+3≡0（mod5）是否有六个解？

2、设n是正整数，求的最大公约数。

3、已知a=18,m=77,求使ax≡1（modm）成立的最小自然数x。

四、证明题

1、若质数p≥5,且2p+1是质数，证明：

4p+1必是合数。

2、设p、q是两个大于3的质数，证明：

p2≡q2（mod24）。

3、若x,y∈R+,

（1）证明：

[xy]≥[x][y]；

（2）试讨论{xy}与{x}{y}的大小关系。

注：

我们知道，[x+y]≥[x]+[y]，{x+y}≤{x}+{y}。

此题把加法换成乘法又如何呢？

4、证明：

存在一个有理数，其中d<100,能使

=。

（提示：

由（73,100）=1，利用裴蜀恒等式来证明）

初等数论练习题四

一、单项选择题

1、若Fn=是合数，则最小的n是（）。

A.2B.3C.4D.5

2、记号ba‖a表示ba｜a,但ba+1a.以下各式中错误的一个是（）。

A.218‖20!

B.105‖50!

C.119‖100!

D.1316‖200!

3、对于任意整数n，最大公因数（2n+1,6n-1）的所有可能值是（）。

A.1B.4C.1或2D.1，2或4

4、设a是整数，下面同余式有可能成立的是（）。

A.a2≡2（mod4）B.a2≡5（mod7）C.a2≡5（mod11）D.a2≡6（mod13）

5、如果a≡b（modm），c是任意整数，则下列错误的是（　　　）

A．ac≡bc（modmc）B．m|a-bC．（a,m）=（b,m）D．a=b+mt,t∈Z

二、填空题

1、d（10010）=_________；φ（10010）=_________。

2、对于任意一个自然数n，为使自N起的n个相继自然数都是合数，可取N=_________。

3、为使3n-1与5n+7的最大公因数达到最大的可能值，则整数n应满足条件________。

4、在5的倍数中，选择尽可能小的正整数来构成模12的一个简化系，则这组数是______。

5、同余方程26x+1≡33（mod74）的解是_________。

6、不定方程5x+9y=86的正整数解是_________。

7、=_________。

三、计算题

1、设n的十进制表示是，若792∣n，求x，y，z。

2、求3406的末二位数。

3、求（214928+40）35被73除所得余数。

四、证明题

1、设a1,a2,,am是模m的完全剩余系，证明：

（1）当m为奇数时，a1+a2++am≡0（modm）；

（2）当m为偶数时，a1+a2++am≡（modm）。

2、证明：

若m＞2，a1,a2,,aϕ（m）是模m的任一简化剩余系，则

3、设m>0是偶数，{a1,a2,,am}与{b1,b2,,bm}都是模m的完全剩余系，证明：

{a1+b1,a2+b2,,am+bm}不是模m的完全剩余系。

4、证明：

（1）2730∣x13-x；

（2）24∣x（x+2）（25x2-1）；

（3）504∣x9-x3；

（4）设质数p＞3，证明：

6p∣xp-x。

初等数论练习题五

一、单项选择题

1、设x、y分别通过模m、n的完全剩余系，若（）通过模mn的完全剩余系。

A.m、n都是质数，则my+nxB.m≠n，则my+nx

C.（m，n）=1，则my+nxD.（m，n）=1，则mx+ny

2、1×3×5×…×2003×2005的标准分解式中11的幂指数是（）。

A.100B.101C.99D.102

3、n为正整数，若2n-1为质数，则n是（）。

A.质数B.合数C.3D.2k（k为正整数）

4、从100到500的自然数中，能被11整除的数的个数是（）。

A.33B.34C.35D.36

5、模100的最小非负简化剩余系中元素的个数是（）。

A.100B.10C.40D.4

二、填空题

1、同余方程ax+b≡0（modm）有解的充分必要条件是______。

2、高斯称反转定律是数论的酵母，反转定律是指____________。

3、20112011被3除所得的余数为______。

4、设n是大于2的整数，则（-1）（n）=______。

5、单位圆上的有理点的坐标是____________。

6、若3258×a恰好是一个正整数的平方，则a的最小值为______。

7、=_________

三、计算题

1、求32008×72009×132010的个位数字。

2、求满足ϕ（mn）=ϕ（m）+ϕ（n）的互质的正整数m和n的值。

3、甲物每斤5元，乙物每斤3元，丙物每三斤1元，现在用100元买这三样东西共100斤，问各买几斤?

四、证明题

1、已知2011是质数，则有2011|。

2、设p是4n+1型的质数，证明若a是p的平方剩余，则p-a也是p的平方剩余.

3、已知p,q是两个不同的质数，且ap-1≡1（modq）,aq-1≡1（modp）,

证明：

apq≡a（modpq）。

4、证明：

若m,n都是正整数，则ϕ（mn）=（m,n）ϕ（[m,n]）。

初等数论练习题六

一、填空题

1、为了验明2011是质数，只需逐个验算质数2，3，5，…p都不能整除2011，此时，质数p至少是__________。

2、最大公因数（4n+3,5n+2）的可能值是__________。

3、设3α∣40!

，而3α+140!

，即3α‖40!

，则α=__________。

4、形如3n+1的自然数中，构成模8的一个完全剩余系的最小的那些数是__________。

5、不定方程x2+y2=z2,2|x,（x,y）=1,x,y,z>0的整数解是且仅是_________。

6、21x≡9（mod43）的解是__________。

7、=__________。

二、计算题

1、将写成三个既约分数之和，它们的分母分别是3，5和7。

2、若3是质数p的平方剩余，问p是什么形式的质数？

3、判断不定方程x2+23y=17是否有解？

三、证明题

1、试证对任何实数x,恒有〔x〕+〔x+〕=〔2x〕。

2、证明：

（1）当n为奇数时，3∣（2n+1）；

（2）当n为偶数时，3（2n+