商丘市柘城县中考数学一模试题有答案精析.docx
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商丘市柘城县中考数学一模试题有答案精析
2020年河南省商丘市柘城县中考数学一模试卷
一、选择题：
每小题3分，共24分，下列各小题均有四个答案，其中只有一个符合要求，请将其字母代号填入题后括号内．
1．﹣3的倒数为（ ）
A．﹣B．C．3D．﹣3
2．如图所示的几何体的俯视图为（ ）
A．B．C．D．
3．我国“天河二号”计算机的运算速度世界最快，若完成一次基本运算的时间约为0.000000000001s，把这个数用科学记数法可表示为（ ）
A．0.1×10﹣11sB．0.1×10﹣12sC．1×10﹣11sD．1×10﹣12s
4．如图，已知三条直线a、b、c，a∥b，c与a、b交于A、C，点B在b上，∠1=65°，AB=BC，则∠2的度数是（ ）
A．40°B．45°C．50°D．55°
5．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．C．D．
6．九
（1）班一次数学测试的平均成绩为80分，男生平均成绩为82分，女生平均成绩为77分，则该班男生、女生人数之比为（ ）
A．1：
2B．2：
1C．2：
3D．3：
2
7．如图，已知△ABC，∠C=90°，按以下步骤：
①分别以A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线MN交BC于点D．若AC=1.5，∠B=15°．则BD等于（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．3
8．在平面直角坐标系中，若干个半径为2个单位长度，圆心角为60°的扇形组成一条连续的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右上下起伏运动，点在直线上的速度为每秒2个单位长度，点在弧线上的速度为每秒个单位长度，则2020秒时，点P的坐标是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：
每小题3分，共21分．
9．计算：
+（﹣tan45°）2020=______．
10．如图，在▱ABCD中，点E在AD边上，AE=2ED，连接EB交AC于点F，若AC=10，则AF为______．
11．如图，反比例函数y=在一象限的图象上有两点A，B，它们的横坐标分别为1，3，则△OAB的面积为______．
12．将二次函数y=x2﹣1的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，这样就形成了新的图象，当直线y=x+m与新图象有4个公共点时，m的取值范围是______．
13．在一只不透明的口袋中装有标号为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同，充分搅匀，请你按照甲、乙、丙的摸球顺序从袋中各摸出一个球（不放回），摸到1号球胜出，则丙胜出的概率是______．
14．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，扇形AEF的半径为2，圆心角为60°，则阴影部分的面积是______．
15．如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，点G在直角边BC上，BG=5，CG=1，将△DEF的顶点D放在直角边AC上，直角边DF经过点G，斜边DE经过点B，则CD=______．
三、解答题：
本大题共8小题，共75分．
16．先化简，再求值：
（1﹣）÷﹣，其中x满足x2﹣x﹣1=0．
17．如图，AB是半圆O的直径，射线AM⊥AB，点P在AM上，连接OP交半圆O于点D，PC切半圆O于点C，连接BC．
（1）求证：
BC∥OP；
（2）若半圆O的半径等于2，填空：
①当AP=______时，四边形OAPC是正方形；
②当AP=______时，四边形BODC是菱形．
18．2020年3月全国两会胜利召开，某数学兴趣小组就两会期间出现频率最高的热词：
A脱贫攻坚．B．绿色发展．C．自主创新．D．简政放权等热词进行了抽样调查，每个同学只能从中选择一个“我最关注”的热词，如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了______名同学；
（2）条形统计图中，m=______，n=______；
（3）扇形统计图中，热词B所在扇形的圆心角的度数是______；
（4）从该校学生中随机抽取一个最关注热词D的学生的概率是多少？
19．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2=0．
（1）求证：
不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为1，求该方程的另一根．
20．如图，为了固定一颗珍贵的古树AD，在树干A处向地面引钢管AB，与地面夹角为60°，向高CE1.5米的建筑物引钢管AC，与水平面夹角为30°，建筑物CE离古树的距离ED为6米，求钢管AB的长（结果保留整数，参考数据：
=1.41，=1.73）
21．星期天，小强从学校步行去图书馆，同时，先到图书馆的小华骑车返校取忘带的学生卡，拿到卡返回途中遇到小强，小强又坐车来到图书馆，如图是两人离开图书馆的距离y（米）与出发时间x（分）之间的函数图象，根据图象信息解答问题：
（1）求小华返回时的速度；
（2）小强比步行提前多少分钟到图书馆？
（3）求小强与小华相距1000米的时间．
22．
（1）问题发现
如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC的延长线上，连接CE，请填空：
①∠ACE的度数为______；
②线段AC、CD、CE之间的数量关系为______．
（2）拓展探究
如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D在边BC的延长线上，连接CE请判断∠ACE的度数及线段AC、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．
（3）问题解决
如图3，在Rt△ABC中，AC=3，BC=5，∠ACB=90°，若点P满足PA=PB，∠APB=90°，请直接写出线段PC的长度．
23．如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A、C间的一个动点（含端点），过点P作PD⊥OA于点D，点E（8，2），F（0，6），连接PE、PF、EF．
（1）直接写出抛物线和直线EF的解析式．
（2）小明探究点P的位置发现：
当点P与点A或点C重合时，PD与PF的和为定值，进而猜想：
对于任意一点P，PD与PF的和为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由．
（3）小明进一步探究得出结论：
①使得PD﹣PE最大的点P是否存在？
若存在求出点P的坐标，否则说明理由．
②若将“使△PEF得面积为整数”的点P记作“好点”，且存在多个“好点”，请直接写出所有“好点”的个数，求出使得△PEF的面积最大的好点P的坐标．
2020年河南省商丘市柘城县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：
每小题3分，共24分，下列各小题均有四个答案，其中只有一个符合要求，请将其字母代号填入题后括号内．
1．﹣3的倒数为（ ）
A．﹣B．C．3D．﹣3
【考点】倒数．
【分析】根据倒数的定义进行解答即可．
【解答】解：
∵（﹣3）×（﹣）=1，
∴﹣3的倒数是﹣．
故选A．
2．如图所示的几何体的俯视图为（ ）
A．B．C．D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中并且注意虚线和实线的不同．
【解答】解：
从上往下看，易得一个正方形，其对角线为实线，
如图所示：
故选B．
3．我国“天河二号”计算机的运算速度世界最快，若完成一次基本运算的时间约为0.000000000001s，把这个数用科学记数法可表示为（ ）
A．0.1×10﹣11sB．0.1×10﹣12sC．1×10﹣11sD．1×10﹣12s
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：
0.000000000001s把这个数用科学记数法可表示为1×10﹣12s．
故选：
D．
4．如图，已知三条直线a、b、c，a∥b，c与a、b交于A、C，点B在b上，∠1=65°，AB=BC，则∠2的度数是（ ）
A．40°B．45°C．50°D．55°
【考点】平行线的性质．
【分析】先根据平行线的性质求出∠ACB，再根据等腰三角形的性质，求出∠BAC，利用三角形内角和定理即可解决问题．
【解答】解：
如图，∵a∥b，∠1=65°
∴∠1=∠ACB=65°，
∵BA=BC，
∴∠ACB=∠BAC=65°，
∴∠2=180°﹣∠ACB﹣∠BAC=180°﹣65°﹣65°=50°，
故选C．
5．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．C．D．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可确定出不等式组的解集，根据解集可判断在数轴上表示情况．
【解答】解：
解不等式x﹣1≤1，得：
x≤2，
解不等式5﹣2x≥﹣1，得：
x≤3，
∴不等式组的解集为：
x≤2，
故选：
A．
6．九
（1）班一次数学测试的平均成绩为80分，男生平均成绩为82分，女生平均成绩为77分，则该班男生、女生人数之比为（ ）
A．1：
2B．2：
1C．2：
3D．3：
2
【考点】加权平均数．
【分析】设男生是x人，女生是y人，然后根据加权平均数公式列方程求解．
【解答】解：
设男生是x人，女生是y人，
根据题意得：
=80，
则82x+77y=80x+80y，即2x=3y，
则x：
y=3：
2．
故选D．
7．如图，已知△ABC，∠C=90°，按以下步骤：
①分别以A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线MN交BC于点D．若AC=1.5，∠B=15°．则BD等于（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．3
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【分析】连结AD，如图，由作法得MN垂直平分AB，则DB=DA，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得∠ADC=30°，然后在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三边的关系得AD=2AC=3，于是得到BD=3．
【解答】解：
由作法得MN垂直平分AB，连结AD，如图，则DB=DA，
∴∠B=∠DAB=15°，
∴∠ADC=∠B+∠DAB=30°，
在Rt△ADC中，AD=2AC=2×1.5=3．
∴BD=DA=3．
故选D．
8．在平面直角坐标系中，若干个半径为2个单位长度，圆心角为60°的扇形组成一条连续的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右上下起伏运动，点在直线上的速度为每秒2个单位长度，点在弧线上的速度为每秒个单位长度，则2020秒时，点P的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【考点】规律型：
点的坐标．
【分析】设第n秒运动到Pn（n为自然数）点，根据点P的运动规律找出部分Pn点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“P4n+1（4n+1，），P4n+2（4n+2，0），P4n+3（4n+3，﹣），P4n+4（4n+4，0）”，依此规律即可得出结论．
【解答】解：
设第n秒运动到Pn（n为自然数）点，
观察，发现规律：
P1（1，），P2（2，0），P3（3，﹣），P4（4，0），P5（5，），…，
∴P4n+1（4n+1，），P4n+2（4n+2，0），P4n+3（4n+3，﹣），P4n+4（4n+4，0）．
∵2020=4×503+3，
∴P2020为．
故选C．
二、填空题：
每小题3分，共21分．
9．计算：
+（﹣tan45°）2020= ﹣1 ．
【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．
【分析】原式利用立方根定义，特殊角的三角函数值，以及乘方的意义计算即可得到结果．
【解答】解：
原式=﹣2+1=﹣1．
故答案为：
﹣1
10．如图，在▱ABCD中，点E在AD边上，AE=2ED，连接EB交AC于点F，若AC=10，则AF为 4 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的对边相等可得AD=BC，然后求出AE=AD=BC，再根据平行线分线段成比例定理求出AF、FC的比，然后求解即可．
【解答】解：
在▱ABCD中，AD=BC，AD∥BC，
∵AE=2ED，
∴AE=AD=BC，
∵AD∥BC，
∴=，
∵AC=10，
∴AF=×10=4．
故答案为：
4．
11．如图，反比例函数y=在一象限的图象上有两点A，B，它们的横坐标分别为1，3，则△OAB的面积为 8 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】根据题意结合反比例函数图象上点的坐标性质S△ACO=S△OBD=3，得出S四边形AODB的值是解题关键．
【解答】解：
如图所示：
过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
∵反比例函数y=在第一象限的图象上有两点A，B，它们的横坐标分别是2，6，
∴x=1时，y=6；x=3时，y=2，
故S△ACO=S△OBD=3，
S四边形AODB=×（3+1）×4+3=11，
故△AOB的面积是：
11﹣3=8．
故答案为：
8．
12．将二次函数y=x2﹣1的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，这样就形成了新的图象，当直线y=x+m与新图象有4个公共点时，m的取值范围是 1＜m＜ ．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】先确定抛物线y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1）和抛物线y=x2﹣1与x轴的交点为（﹣1，0），（1，0），画出抛物线，然后把抛物线y=x2﹣1图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，则翻折部分的抛物线解析式为y=﹣x2+1（﹣1≤x≤1），有图象可得当直线y=x+m过点A时，直线y=x+m与该新图象恰好有三个公共点，易得对应的m的值为1；当直线y=x+m与抛物线y=﹣x2+1（﹣1≤x≤1）相切时，直线y=x+m与该新图象恰好有三个公共点，即﹣x2+1=x+m有相等的实数解，利用根的判别式的意义可求出此时m的值，进而得到直线y=x+m与新图象有4个公共点时，m的取值范围．
【解答】解：
∵y=x2﹣1，
∴抛物线y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），
当y=0时，x2﹣1=0，解得x1=﹣1，x2=1，则抛物线y=x2﹣1与x轴的交点为（﹣1，0），（1，0），
把抛物线y=x2﹣1图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，则翻折部分的抛物线解析式为y=﹣x2+1（﹣1≤x≤1），
如图，
把直线y=x向上平移，当平移后的直线y=x+m过点A时，直线y=x+m与该新图象恰好有三个公共点，所以﹣1+m=0，解得m=1；
当直线y=x+m与抛物线y=﹣x2+1（﹣1≤x≤1）相切时，直线y=x+m与该新图象恰好有三个公共点，即﹣x2+1=x+m有相等的实数解，整理得x2+x+m﹣1=0，△=12﹣4（m﹣1）=0，解得m=，
所以当直线y=x+m与新图象有4个公共点时，m的取值范围是1＜m＜．
故答案为1＜m＜．
13．在一只不透明的口袋中装有标号为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同，充分搅匀，请你按照甲、乙、丙的摸球顺序从袋中各摸出一个球（不放回），摸到1号球胜出，则丙胜出的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】根据题意可得到一共有多少种可能性和丙胜出的可能性，从而可以求得丙胜出的概率，本题得以解决．
【解答】解：
由题意可得，
按照甲、乙、丙的摸球顺序从袋中各摸出一个球（不放回），有4×3×2=24种可能性，
如果丙摸到1号球的可能性有3×2=6种，
故丙胜出的概率是：
6÷24=，
故答案为：
．
14．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，扇形AEF的半径为2，圆心角为60°，则阴影部分的面积是 ﹣ ．
【考点】扇形面积的计算；菱形的性质．
【分析】根据菱形的性质得出△ADC和△ABC是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△ADH≌△ACG，得出四边形AGCH的面积等于△ADC的面积，进而求出即可．
【解答】解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D=60°，AB=AD=DC=BC=2，
∴∠BCD=∠DAB=120°，
∴∠1=∠2=60°，
∴△ABC、△ADC都是等边三角形，
∴AC=AD=2，
∵AB=2，
∴△ADC的高为，AC=2，
∵扇形BEF的半径为1，圆心角为60°，
∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°，
∴∠3=∠4，
设AF、DC相交于HG，设BC、AE相交于点G，
在△ADH和△ACG中，
，
∴△ADH≌△ACG（ASA），
∴四边形AGCH的面积等于△ADC的面积，
∴图中阴影部分的面积是：
S扇形AEF﹣S△ACD=﹣×2×=﹣，
故答案为：
﹣．
15．如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，点G在直角边BC上，BG=5，CG=1，将△DEF的顶点D放在直角边AC上，直角边DF经过点G，斜边DE经过点B，则CD= 2或3 ．
【考点】等腰直角三角形．
【分析】作DM⊥AB于M，设CD=x，由等腰直角三角形的性质得出AC=BC=6，∠A=∠EDF=45°，∠C=90°，AB=BC=6，AD=6﹣x，证出△ADM是等腰直角三角形，得出AM=AD=（6﹣x），因此BM=6﹣（6﹣x），证明△CDG∽△MBD，得出对应边成比例，得出方程，解方程即可．
【解答】解：
作DM⊥AB于M，如图所示：
设CD=x，
∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，BG=5，CG=1，
∴AC=BC=6，∠A=∠EDF=45°，∠C=90°，
∴AB=BC=6，AD=6﹣x，△ADM是等腰直角三角形，
∴AM=AD=（6﹣x），
∴BM=6﹣（6﹣x），
∵∠BDC=∠CDG+∠EDF=∠A+∠MBD，
∴∠CDG=∠MBD，
又∵∠DMB=90°=∠C，
∴△CDG∽△MBD，
∴，
即=，
解得：
x=2，或x=3，
∴CD=2或3；
故答案为：
2或3．
三、解答题：
本大题共8小题，共75分．
16．先化简，再求值：
（1﹣）÷﹣，其中x满足x2﹣x﹣1=0．
【考点】分式的化简求值．
【分析】原式第一项括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分后，两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，已知方程变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：
原式=•﹣=•﹣=x﹣=，
∵x2﹣x﹣1=0，∴x2=x+1，
则原式=1．
17．如图，AB是半圆O的直径，射线AM⊥AB，点P在AM上，连接OP交半圆O于点D，PC切半圆O于点C，连接BC．
（1）求证：
BC∥OP；
（2）若半圆O的半径等于2，填空：
①当AP= 2 时，四边形OAPC是正方形；
②当AP= 2 时，四边形BODC是菱形．
【考点】圆的综合题．
【分析】
（1）根据切线的性质，可以得到OP⊥AC，由AB是圆O的直径，可以得到AC⊥BC，从而可以得到BC∥OP；
（2）①若四边形OAPC是正方形，根据正方形的性质可以得到AP的长；
②若四边形BODC是菱形，根据菱形的性质，通过变形，可以得到AP的长．
【解答】
（1）证明：
连接OC，AC，如右图所示，
∵AB是直径，AM⊥AB，
∴BC⊥AC，AP是圆的切线，
∵PC切半圆O于点C，
∴PA=PC，
又∵OA=OC，
∴OP⊥AC，
∴BC∥OP；
（2）①若四边形OAPC是正方形，则OA=AP，
∵OA=2，
∴AP=2．
故答案为：
2；
②若四边形BODC是菱形，则CB=BO=OD=DC，
∵AB=2OB，∠ACB=90°，
∴AB=2BC，
∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，
∵BC∥OP，
∴∠AOP=∠ABC=60°，
又∵∠OAP=90°，OA=2，
∴∠OPA=30°，
∴OP=4，
∴AP=，
故答案为：
2．
18．2020年3月全国两会胜利召开，某数学兴趣小组就两会期间出现频率最高的热词：
A脱贫攻坚．B．绿色发展．C．自主创新．D．简政放权等热词进行了抽样调查，每个同学只能从中选择一个“我最关注”的热词，如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了 300 名同学；
（2）条形统计图中，m= 60 ，n= 90 ；
（3）扇形统计图中，热词B所在扇形的圆心角的度数是 72° ；
（4）从该校学生中随机抽取一个最关注热词D的学生的概率是多少？
【考点】概率公式；扇形统计图；条形统计图．
【分析】
（1）根据A的人数为105人，所占的百分比为35%，求出总人数，即可解答；
（2）C所对应的人数为：
总人数×30%，B所对应的人数为：
总人数﹣A所对应的人数﹣C所对应的人数﹣D所对应的人数，即可解答；
（3）根据B所占的百分比×360°，即可解答；
（4）根据概率公式，即可解答．
【解答】解：
（1）105÷35%=300（人）．
故答案为：
300；
（2）n=300×30%=90（人），m=300﹣105﹣90﹣45=60（人）．
故答案为：
60，90；
（3）×360°=72°．
故答案为：
72°；
（4）从该校学生中随机抽取一个最关注热词D的学生的概率是=．
答：
从该校学生中随机抽取一个最关注热词D的学生的概率是．
19．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2=0．
（1）求证：
不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为1，求该方程的另一根．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【分析】
（1）由方程的各系数结合根的判别式可得出△=（m﹣2）2+4＞0，由此即可证出结论；
（2）将x=1代入原方程，得出关于m的一元一次方程，解方程求出m的值，将其代入原方程得出关于x的一元二次方程，结合根与系数的关系找出x1+x2=﹣=﹣，由此即可得出方程的另一根．
【解答】
（1）证明：
∵在关于x的方程x2+mx+m﹣2=0中：
△=m2﹣4×1×（m﹣2）=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4＞0，
∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：
将x1=1代入方程x2+mx+m﹣2=0中得：
1+m+m﹣2=0，解得：
m=．
∴原方程为x2+x﹣=0，
∴x1+x2=﹣=﹣，
∵x1=1，
∴x2=﹣．
故若该方程的一个根为1，该方程的另一根为﹣．
20．如图，为了固定一颗珍贵的古树AD，在树干A处向地面引钢管AB，与地面夹角为60°，向高CE1.5米的建筑物引钢管AC，与水平面夹角为30°，建筑物CE离古树的距离ED为6米，求钢管AB的长（结果保留整数，参考数据：
=1.41，=1.73）
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】过点C作CF⊥AD于点F，于是得到CF=DE=6，AF=CFtan30°，在Rt△ABD中，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：
过点C作CF⊥AD于点F，则CF=DE=6，AF=CFtan30°=6×=3．
∴AD=AF+DF=2+1.5，
在Rt△ABD中，AB==（2+1.5）÷=4+≈6米．
答：
钢管AB的长约为6米．
21．星期天，小强从学校步行去图书馆，同时，先到图书馆的小华骑车返校取忘带的学生卡，拿到卡返回途中遇到小强，小强又坐车来到图书馆，如图是两人离开图书馆的距离y（米）与出发时间x（分）之间的函数图象，根据图象信息解答问题：
（1）求小华返回
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