对于选项C,若AD⊥BC,
又∵DC⊥BC,AD∩DC=D,∴BC⊥面ADC,
∴BC⊥AC.已知BC=
,AB=1,BC>AB,
∴不存在这样的直角三角形.∴C错误.
由上可知D错误,故选B.
答案:
B
10.已知三棱锥SABC中,底面ABC为边长等于2的等边三角形,SA垂直于底面ABC,SA=3,那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为( )
A.
B.
C.
D.
解析:
如图所示,过点A作AD⊥BC于点D,连接SD;作AG⊥SD于点G,连接GB.
∵SA⊥底面ABC,△ABC为等边三角形,
∴BC⊥SA,BC⊥AD.
∴BC⊥平面SAD.
又AG⊂平面SAD,∴AG⊥BC.
又AG⊥SD,∴AG⊥平面SBC.
∴∠ABG即为直线AB与平面SBC所成的角.
∵AB=2,SA=3,∴AD=
,SD=2
.
在Rt△SAD中,AG=
=
,
∴sin∠ABG=
=
=
.
答案:
D
二、填空题
11.如图,∠BAC=90°,PC⊥平面ABC,则在△ABC,△PAC的边所在的直线中:
与PC垂直的直线有__________;与AP垂直的直线有__________.
解析:
∵PC⊥平面ABC,
∴PC垂直于直线AB,BC,AC;
∵AB⊥AC,AB⊥PC,∴AB⊥平面PAC,
∴AB⊥PC.
与AP垂直的直线是AB.
答案:
AB,BC,AC AB
12.如图,PA⊥圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上的一点,E、F分别是点A在PB、PC上的正投影,给出下列结论:
①AF⊥PB ②EF⊥PB ③AF⊥BC
④AE⊥平面PBC.
其中正确结论的序号是__________.
解析:
由题意知PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC.
又AC⊥BC,PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.
∴BC⊥AF.∵AF⊥PC,BC∩PC=C,
∴AF⊥平面PBC,∴AF⊥PB,AF⊥BC.
又AE⊥PB,AE∩AF=A,∴PB⊥平面AEF.
∴PB⊥EF.故①②③正确.
答案:
①②③
13.已知P为△ABC所在平面外一点,且PA、PB、PC两两垂直,则下列命题:
①PA⊥BC ②PB⊥AC ③PC⊥AB ④AB⊥BC.
其中正确的个数是__________.
解析:
如图所示.
∵PA⊥PC、PA⊥PB,
PC∩PB=P,
∴PA⊥平面PBC.
又∵BC⊂平面PBC,∴PA⊥BC.
同理PB⊥AC、PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC.
答案:
3
14.已知a、b、l表示三条不同的直线,α、β、γ表示三个不同的平面,有下列四个命题:
①若α∩β=a,β∩γ=b,且a∥b,则α∥γ ②若a、b相交,且都在α、β外,a∥α,a∥β,b∥α,b∥β,则α∥β
③若α⊥β,α∩β=a,b⊂β,a⊥b,则b⊥α ④若a⊂α,b⊂α,l⊥a,l⊥b,l⊄α,则l⊥α.
其中正确命题的序号是__________.
解析:
①在正方体A1B1C1D1ABCD中,可令平面A1B1CD为α,平面DCC1D1为β,平面A1B1C1D1为γ,又平面A1B1CD∩平面DCC1D1=CD,平面A1B1C1D1∩平面DCC1D1=C1D1,则CD与C1D1所在的直线分别表示a,b,因为CD∥C1D1,但平面A1B1CD与平面A1B1C1D1不平行,即α与γ不平行,故①错误.②因为a、b相交,假设其确定的平面为γ,根据a∥α,b∥α,可得γ∥α.同理可得γ∥β,因此α∥β,②正确.③由两平面垂直,在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直,易知③正确.④当a∥b时,l垂直于平面α内两条不相交直线,不可得出l⊥α,④错误.
答案:
②③
三、解答题
15.[2014·石家庄质检一]如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,CD⊥平面PAD,PA⊥AD,PA=2,E为PC的中点,F在棱PA上.
(1)求证:
AC⊥DE;
(2)求三棱锥EBDF的体积.
解析:
(1)连接EO,E为PC的中点,则EO∥AP.
∵CD⊥平面PAD,CD⊂平面ABCD,
∴平面ABCD⊥平面PAD.
又∵平面ABCD∩平面PAD=AD,PA⊥AD,
∴PA⊥平面ABCD,
∴EO⊥平面ABCD,
∴EO⊥AC.
又∵AC⊥BD,BD∩OE=O,
∴AC⊥平面BED,∴AC⊥DE.
(2)由
(1)知EO∥AP,EO⊂平面BED,
故AP∥平面BED.
又∵AC⊥平面BED,
∴AO即为点F到平面BED的距离.
又∵AO=
,S△BDE=
BD·EO=
×
×1=
,
∴VE-BDF=VF-BDE=
×
×
=
.
答案:
(1)证明略;
(2)
16.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别是CD、A1D1的中点.
(1)求证:
AB1⊥BF;
(2)求证:
AE⊥BF;
(3)棱CC1上是否存在点P,使BF⊥平面AEP?
若存在,确定点P的位置,若不存在,说明理由.
解析:
(1)证明:
连接A1B,则AB1⊥A1B,
又∵AB1⊥A1F,且A1B∩A1F=A1,
∴AB1⊥平面A1BF.
又BF⊂平面A1BF,∴AB1⊥BF.
(2)证明:
取AD中点G,连接FG,BG,则FG⊥AE,
又∵△BAG≌△ADE,
∴∠ABG=∠DAE.
∴AE⊥BG.
又∵BG∩FG=G,∴AE⊥平面BFG.
又BF⊂平面BFG,∴AE⊥BF.
(3)存在.取CC1中点P,即为所求.连接EP,AP,C1D,
∵EP∥C1D,C1D∥AB1,∴EP∥AB1.
由
(1)知AB1⊥BF,∴BF⊥EP.
又由
(2)知AE⊥BF,且AE∩EP=E,
∴BF⊥平面AEP.
答案:
(1)证明略;
(2)证明略;
(3)存在,P为CC1中点.
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1.设α,β,γ是三个不重合的平面,l是直线,给出下列命题
①若α⊥β,β⊥γ,则α⊥γ ②若l上两点到α的距离相等,则l∥α ③若l⊥α,l∥β,则α⊥β ④若α∥β,l⊄β,且l∥α,则l∥β.
其中正确的命题是( )
A.①② B.②③
C.②④D.③④
解析:
对于①:
若α⊥β,β⊥γ,则α⊥γ,前者不是后者
的充分条件,比如当α∥γ时,也有α⊥β,β⊥γ.对于②:
显然错误,当l⊥α,l∩α=A时,l上到A距离相等的两点到α的距离相等.③④显然正确.
答案:
D
2.[2014·曲阜师大附中质检]如图所示,直线PA垂直于⊙O所在的平面,△ABC内接于⊙O,且AB为⊙O的直径,点M为线段PB的中点.现有结论:
①BC⊥PC;②OM∥平面APC;③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中正确的是( )
A.①② B.①②③ C.① D.②③
解析:
对于①,∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC.∵AB为⊙O的直径,∴BC⊥AC.∴BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC,∴BC⊥PC;对于②,∵点M为线段PB的中点,∴OM∥PA.∵PA⊂平面PAC,∴OM∥平面PAC;对于③,由①知BC⊥平面PAC,∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离,故①②③都正确.
答案:
B
3.如图,在三棱锥DABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列正确的是( )
A.平面ABC⊥平面ABD
B.平面ABD⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE
D.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE
解析:
要判断两个平面的垂直关系,就需固定其中一个平面,找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直.因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC,同理有DE⊥AC,于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内,所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE.
答案:
C
4.[2014·忻州一中月考]正四棱锥SABCD的底面边长为2,高为2,E是BC的中点,动点P在四棱锥的表面上运动,并且总保持PE⊥AC,则动点P的轨迹的长为__________.
解析:
如图,设AC∩BD=O,连接SO,取CD的中点F,SC的中点G,连接EF,EG,FG,设EF交AC于点H,连接GH,
易知AC⊥EF,GH∥SO,
∴GH⊥平面ABCD,
∴AC⊥GH,∴AC⊥平面EFG,
故动点P的轨迹是△EFG,由已知易得EF=
,
GE=GF=
,∴△EFG的周长为
+
,故动点P的轨迹长为
+
.
答案:
+
5.[2014·蚌埠模拟]点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动,给出下列四个命题:
①三棱锥AD1PC的体积不变 ②A1P∥平面ACD1
③DP⊥BC1 ④平面PDB1⊥平面ACD1.
其中正确的命题序号是__________.
解析:
连接BD交AC于O,连接DC1交D1C于O1,连接OO1,则OO1∥BC1.
∴BC1∥平面AD1C,动点P到平面AD1C的距离不变,
∴三棱锥PAD1C的体积不变.
又VPAD1C=VAD1PC,∴①正确.
∵平面A1C1B∥平面AD1C,A1P⊂平面A1C1B,
∴A1P∥平面ACD1,②正确.
由于DB不垂直于BC1,显然③不正确;
由于DB1⊥D1C,DB1⊥AD1,D1C∩AD1=D1,
∴DB1⊥平面AD1C.DB1⊂平面PDB1,
∴平面PDB1⊥平面ACD1,④正确.
答案:
①②④
6.[2014·珠海摸底]如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是梯形,AB∥CD,四边形ACFE是矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,AD=DC=CB=AE=a,∠ACB=
.
(1)求证:
BC⊥平面ACFE;
(2)若M是棱EF上一点,AM∥平面BDF,求EM的长.
解析:
(1)证明:
∵∠ACB=
,∴BC⊥AC.
又∵BC⊂平面ABCD,平面ACFE∩平面ABCD=AC,平面ACFE⊥平面ABCD,∴BC⊥平面ACFE.
(2)记AC∩BD=O,在梯形ABCD中,
∵AD=DC=CB=a,AB∥CD,
∴∠ACD=∠CAB=∠DAC.
∴π=∠ABC+∠BCD=∠DAB+∠ACD+∠ACB=3∠DAC+
,∴∠DAC=
,即∠CBO=
.
又∵∠ACB=
,CB=a,∴CO=
a.
连接FO,由AM∥平面BDF得AM∥FO,
∵四边形ACFE是矩形,∴EM=CO=
a.
答案:
(1)证明略;
(2)
a.