对于选项C，若AD⊥BC，
又∵DC⊥BC，AD∩DC＝D，∴BC⊥面ADC，
∴BC⊥AC.已知BC＝
，AB＝1，BC>AB，
∴不存在这样的直角三角形．∴C错误．
由上可知D错误，故选B.
答案：
B
10．已知三棱锥S ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
如图所示，过点A作AD⊥BC于点D，连接SD；作AG⊥SD于点G，连接GB.
∵SA⊥底面ABC，△ABC为等边三角形，
∴BC⊥SA，BC⊥AD.
∴BC⊥平面SAD.
又AG⊂平面SAD，∴AG⊥BC.
又AG⊥SD，∴AG⊥平面SBC.
∴∠ABG即为直线AB与平面SBC所成的角．
∵AB＝2，SA＝3，∴AD＝
，SD＝2
.
在Rt△SAD中，AG＝
＝
，
∴sin∠ABG＝
＝
＝
.
答案：
D
二、填空题
11．如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：
与PC垂直的直线有__________；与AP垂直的直线有__________．
解析：
∵PC⊥平面ABC，
∴PC垂直于直线AB，BC，AC；
∵AB⊥AC，AB⊥PC，∴AB⊥平面PAC，
∴AB⊥PC.
与AP垂直的直线是AB.
答案：
AB，BC，AC AB
12．如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：
①AF⊥PB ②EF⊥PB ③AF⊥BC
④AE⊥平面PBC.
其中正确结论的序号是__________．
解析：
由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.
又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.
∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，
∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.
又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.
∴PB⊥EF.故①②③正确．
答案：
①②③
13．已知P为△ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列命题：
①PA⊥BC ②PB⊥AC ③PC⊥AB ④AB⊥BC.
其中正确的个数是__________．
解析：
如图所示．
∵PA⊥PC、PA⊥PB，
PC∩PB＝P，
∴PA⊥平面PBC.
又∵BC⊂平面PBC，∴PA⊥BC.
同理PB⊥AC、PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC.
答案：
3
14.已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：
①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ ②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β
③若α⊥β，α∩β＝a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α ④若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，l⊄α，则l⊥α.
其中正确命题的序号是__________．
解析：
①在正方体A1B1C1D1 ABCD中，可令平面A1B1CD为α，平面DCC1D1为β，平面A1B1C1D1为γ，又平面A1B1CD∩平面DCC1D1＝CD，平面A1B1C1D1∩平面DCC1D1＝C1D1，则CD与C1D1所在的直线分别表示a，b，因为CD∥C1D1，但平面A1B1CD与平面A1B1C1D1不平行，即α与γ不平行，故①错误．②因为a、b相交，假设其确定的平面为γ，根据a∥α，b∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β，②正确．③由两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，易知③正确．④当a∥b时，l垂直于平面α内两条不相交直线，不可得出l⊥α，④错误．
答案：
②③
三、解答题
15．[2014·石家庄质检一]如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，CD⊥平面PAD，PA⊥AD，PA＝2，E为PC的中点，F在棱PA上．
（1）求证：
AC⊥DE；
（2）求三棱锥E BDF的体积．
解析：
（1）连接EO，E为PC的中点，则EO∥AP.
∵CD⊥平面PAD，CD⊂平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面PAD.
又∵平面ABCD∩平面PAD＝AD，PA⊥AD，
∴PA⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD，
∴EO⊥AC.
又∵AC⊥BD，BD∩OE＝O，
∴AC⊥平面BED，∴AC⊥DE.
（2）由
（1）知EO∥AP，EO⊂平面BED，
故AP∥平面BED.
又∵AC⊥平面BED，
∴AO即为点F到平面BED的距离．
又∵AO＝
，S△BDE＝
BD·EO＝
×
×1＝
，
∴VE－BDF＝VF－BDE＝
×
×
＝
.
答案：
（1）证明略；
（2）
16．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F分别是CD、A1D1的中点.
（1）求证：
AB1⊥BF；
（2）求证：
AE⊥BF；
（3）棱CC1上是否存在点P，使BF⊥平面AEP？
若存在，确定点P的位置，若不存在，说明理由．
解析：
（1）证明：
连接A1B，则AB1⊥A1B，
又∵AB1⊥A1F，且A1B∩A1F＝A1，
∴AB1⊥平面A1BF.
又BF⊂平面A1BF，∴AB1⊥BF.
（2）证明：
取AD中点G，连接FG，BG，则FG⊥AE，
又∵△BAG≌△ADE，
∴∠ABG＝∠DAE.
∴AE⊥BG.
又∵BG∩FG＝G，∴AE⊥平面BFG.
又BF⊂平面BFG，∴AE⊥BF.
（3）存在．取CC1中点P，即为所求．连接EP，AP，C1D，
∵EP∥C1D，C1D∥AB1，∴EP∥AB1.
由
（1）知AB1⊥BF，∴BF⊥EP.
又由
（2）知AE⊥BF，且AE∩EP＝E，
∴BF⊥平面AEP.
答案：
（1）证明略；
（2）证明略；
（3）存在，P为CC1中点．
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1．设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列命题
①若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ ②若l上两点到α的距离相等，则l∥α ③若l⊥α，l∥β，则α⊥β ④若α∥β，l⊄β，且l∥α，则l∥β.
其中正确的命题是（ ）
A．①② B．②③
C．②④D．③④
解析：
对于①：
若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ，前者不是后者
的充分条件，比如当α∥γ时，也有α⊥β，β⊥γ.对于②：
显然错误，当l⊥α，l∩α＝A时，l上到A距离相等的两点到α的距离相等．③④显然正确．
答案：
D
2．[2014·曲阜师大附中质检]如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：
①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．① D．②③
解析：
对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC.∴BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA.∵PA⊂平面PAC，∴OM∥平面PAC；对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确．
答案：
B
3．如图，在三棱锥D ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是（ ）
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
解析：
要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直．因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.
答案：
C
4．[2014·忻州一中月考]正四棱锥S ABCD的底面边长为2，高为2，E是BC的中点，动点P在四棱锥的表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的长为__________．
解析：
如图，设AC∩BD＝O，连接SO，取CD的中点F，SC的中点G，连接EF，EG，FG，设EF交AC于点H，连接GH，
易知AC⊥EF，GH∥SO，
∴GH⊥平面ABCD，
∴AC⊥GH，∴AC⊥平面EFG，
故动点P的轨迹是△EFG，由已知易得EF＝
，
GE＝GF＝
，∴△EFG的周长为
＋
，故动点P的轨迹长为
＋
.
答案：
＋
5．[2014·蚌埠模拟]点P在正方体ABCD A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出下列四个命题：
①三棱锥A D1PC的体积不变 ②A1P∥平面ACD1
③DP⊥BC1 ④平面PDB1⊥平面ACD1.
其中正确的命题序号是__________．
解析：
连接BD交AC于O，连接DC1交D1C于O1，连接OO1，则OO1∥BC1.
∴BC1∥平面AD1C，动点P到平面AD1C的距离不变，
∴三棱锥P AD1C的体积不变．
又VP AD1C＝VA D1PC，∴①正确．
∵平面A1C1B∥平面AD1C，A1P⊂平面A1C1B，
∴A1P∥平面ACD1，②正确．
由于DB不垂直于BC1，显然③不正确；
由于DB1⊥D1C，DB1⊥AD1，D1C∩AD1＝D1，
∴DB1⊥平面AD1C.DB1⊂平面PDB1，
∴平面PDB1⊥平面ACD1，④正确．
答案：
①②④
6．[2014·珠海摸底]如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，四边形ACFE是矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，AD＝DC＝CB＝AE＝a，∠ACB＝
.
（1）求证：
BC⊥平面ACFE；
（2）若M是棱EF上一点，AM∥平面BDF，求EM的长．
解析：
（1）证明：
∵∠ACB＝
，∴BC⊥AC.
又∵BC⊂平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，平面ACFE⊥平面ABCD，∴BC⊥平面ACFE.
（2）记AC∩BD＝O，在梯形ABCD中，
∵AD＝DC＝CB＝a，AB∥CD，
∴∠ACD＝∠CAB＝∠DAC.
∴π＝∠ABC＋∠BCD＝∠DAB＋∠ACD＋∠ACB＝3∠DAC＋
，∴∠DAC＝
，即∠CBO＝
.
又∵∠ACB＝
，CB＝a，∴CO＝
a.
连接FO，由AM∥平面BDF得AM∥FO，
∵四边形ACFE是矩形，∴EM＝CO＝
a.
答案：
（1）证明略；
（2）
a.
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