平行线6.docx

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平行线6

一．解答题

1．如图已知直线CB∥OA，∠C=∠OAB=100°，点E、点F在线段BC上，满足∠FOB=∠AOB=α，OE平分∠COF．

（1）用含有α的代数式表示∠COE的度数；

（2）若沿水平方向向右平行移动AB，则∠OBC：

∠OFC的值是否发生变化？

若变化找出变化规律；若不变，求其比值．

2．已知：

BC∥OA，∠B=∠A=100°，试回答下列问题：

（1）如图①，OB与AC平行吗？

为什么？

（2）如图②，若点E、F在BC上，且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF．求∠EOC的度数；

（3）在

（2）的条件下，若平行移动AC，如图③，那么∠OCB与∠OFB之间的关系并说明理由．

3．已知l1∥l2，点A，B在l1上，点C，D在l2上，连接AD，BC．AE，CE分别是∠BAD，∠BCD的角平分线，∠α=70°，∠β=30°．

（1）如图①，求∠AEC的度数；

（2）如图②，将线段AD沿CD方向平移，其他条件不变，求∠AEC的度数．

4．我们的数学教材中有一个“抢30的游戏”，现在改为“甲、乙二人抢20”的游戏．游戏规则是：

甲先说“1”或“1、2”乙接着甲的数往下说一个或两个数，然后又轮到甲再接着乙的数往下说一个或两个数，甲、乙反复轮流说，每次每人说一个或两个数都可以，但不能连续说三个数，也不能一个数也不说．谁先抢到20，谁就获胜．因为甲先说，你认为谁会获胜？

请你分析获胜策略、推理说明获胜的道理．

5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=33°，将△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF．

（1）试求出∠E的度数；

（2）若AE=9cm，DB=2cm．请求出CF的长度．

6．如图，已知AB∥CD，GC⊥CF，∠ABC=65°，CD是∠GCF的角平分线，∠EFC=40°．

①AB与EF平行吗？

判断并说明理由．

②求∠BCG的度数．

7．△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边BC于点D．

（1）如图1，猜想∠AOC与∠ODC的关系，并说明你的理由；

（2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．

①求证：

BF∥OD；

②若∠F=40°，求∠BAC的度数．

8．

（1）问题发现：

如图①，直线AB∥CD，E是AB与AD之间的一点，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C=∠BEC．

请把下面的证明过程补充完整：

证明：

过点E作EF∥AB，

∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法）．

∴EF∥DC（　　）．

∴∠C=∠CEF（　　）

∵EF∥AB，∴∠B=∠BEF（同理）．

∴∠B+∠C=　　（等量代换）

即∠B+∠C=∠BEC．

（2）拓展探究：

如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：

∠B+∠C=360°﹣∠BEC，请说明理由．

（3）解决问题：

如图③，AB∥DC，∠C=120°，∠AEC=80°，请直接写出∠A的度数．

9．前香港中文大学校长高琨和George•Hockham首先提出光纤可以用于通讯传播的设想，高琨因此获得2009年诺贝尔物理学奖．如图是一光纤的简易结构图，它是通过光的全反射来实现光信号的传输，已知光纤经过光纤某一段的传输路线时，AB∥CD，有∠1=∠2，∠3=∠4，请解释进入的光线l为什么和第二次反射的光线m是平行的？

请把下列解题过程补充完整．

理由：

∵AB∥CD（已知）

∴　　（两直线平行，内错角相等）

∵∠1=∠2，∠3=∠4，（已知）

∴∠1=∠2=∠3=∠4（等量代换）

∴180°﹣∠1﹣∠2=180°﹣∠3﹣∠4（平角定义）

即：

　　（等量代换）

∴　　（　　）

10．如图，在四边形ABCD中，BE平分∠ABC，∠AEB=∠ABE．

（1）判断∠D与∠C的数量关系，并说明理由；

（2）若∠C=∠A，判断AB与CD的位置关系，并说明理由．

11．如图，∠ABD和∠BDC的平分线相交于点E，BE交CD于点F，∠1+∠2=90°，试猜想：

直线AB、CD在位置上有什么关系？

∠2和∠3在数量上有什么关系？

并证明你的猜想．

12．完成下面证明：

如图，B是射线AD上一点，∠DAE=∠CAE，∠DAC=∠C=∠CBE

（1）求证：

∠DBE=∠CBE

证明：

∵∠C=∠CBE（已知）

∴BE∥AC　　

∴∠DBE=∠DAC　　

∵∠DAC=∠C（已知）

∴∠DBE=∠CBE　　

（2）请模仿

（1）的证明过程，尝试说明∠E=∠BAE．

13．根据解答过程填空（写出推理理由或根据）：

如图，已知∠DAF=∠F，∠B=∠D，试说明AB∥DC

证明∵∠DAF=∠F（已知）

∴AD∥BF　　

∴∠D=∠DCF　　

∵∠B=∠D　　

∴∠　　=∠DCF（等量代换）

∴AB∥DC　　．

14．如图，∠1+∠2=180°

（1）证明：

CD∥AB；

（2）若AD∥BC，∠A与∠C相等吗？

为什么？

15．

（1）已知：

如图1，AE∥CF，易知∠APC=∠A+∠C，请补充完整证明过程：

证明：

过点P作MN∥AE

∵MN∥AE（已作）

∴∠APM=　　（　　），

又∵AE∥CF，MN∥AE

∴MN∥CF

∴∠MPC=∠　　（　　）

∴∠APM+∠CPM=∠A+∠C

即∠APC=∠A+∠C

（2）变式：

如图2﹣﹣图4，AE∥CF，P1，P2是直线EF上的两点，猜想∠A，∠AP1P2，∠P1P2C，∠C这四个角之间的关系，并直接写出以下三种情况下这四个角之间的关系．　　

16．如图，AB⊥AC，DC⊥AC，∠ECD=75°，∠EAB：

∠E=3：

2，求∠E的度数．

17．已知：

如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，且AB∥DE，∠1=∠2．

求证：

AF∥BC．

18．如图，已知点A，D，B在同一直线上，∠1=∠2，∠3=∠E，若∠DAE=100°，∠E=30°，求∠B的度数．

19．如图，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠1=∠2，∠3=∠4．

（1）∠1，∠3的大小有什么关系？

（2）反射光线BC与EF也平行吗？

为什么？

解：

因为AB∥DE

所以∠1=∠3（　　）

又因为∠1=∠2，∠3=∠4

所以BC∥EF（　　）

20．如图，直线l与直线a，b，c分别交于点A，B，C，a∥b，l⊥a，l⊥c，AB=2．

（1）填空：

l与b的位置关系是　　，c与b的位置关系是　　；

（2）已知M是直线a上点，N是直线c上点，D是直线b上点，且S△BDM=

S△BOM，求a，c间的距离．

21．如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，且∠EAC+∠ACE=90°．

（1）请判断AB与CD的位置关系，并说明理由；

（2）如图2，当∠E=90°且AB与CD的位置关系保持不变，当直角顶点E点移动时，写出∠BAE与∠ECD的数量关系，并说明理由；

（3）如图3，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，且AB与CD的位置关系保持不变，当点Q在射线CD上运动时（点C除外），∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？

写出结论，并加以证明．

22．已知：

如图，AB∥DC，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点，且∠1=∠A．

（1）求证：

FE∥OC；

（2）若∠BFE=70°，求∠DOC的度数．

23．如图，AC⊥AE于A点，BD⊥BF于B点，且点A，B在直线MN上，∠1=∠2．

①AE与BF平行吗？

请说明理由．

②若∠1=30°，求∠ABF的度数．

24．如图，∠ABD和∠BDC两个角的平分线交于点E，DE的延长线交AB于F．

（1）如果∠1+∠2=90°，那么AB与CD平行吗？

请说明理由；

（2）如果AB∥CD，那么∠2和∠3互余吗？

请说明理由．

25．课上教师呈现一个问题：

已知：

如图1，AB∥CD，EF⊥AB于点O，FG交CD于点P，当∠1=30°时，求∠EFG的度数．

甲、乙、丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题，如图2：

甲同学辅助线的做法和分析思路如下：

辅助线：

过点F作MN∥CD．

分析思路：

（1）欲求∠EFG的度数，由图可知只需转化为求∠2和∠3的度数；

（2）由辅助线作图可知，∠2=∠1，又由已知∠1的度数可得∠2的度数；

（3）由AB∥CD，MN∥CD推出AB∥MN，由此可推出∠3=∠4；

（4）由已知EF⊥AB，可得∠4=90°，所以可得∠3的度数；

（5）从而可求∠EFG的度数．

请你选择乙同学或丙同学所画的图形，描述辅助线的作法，并写出相应的分析思路．

26．在同一平面内，三条直线两两分别相交于点A、B、C三点，点E是直线BC上一动点（点E不与点B、C重合），过点E分别作直线AB、AC的平行线，分别交直线AC、AB于点F、D．

①

（1）如图1，当点E在B、C两点之间时，求证：

∠DEF=∠BAC；

（2）如图2，当点E在线段BC延长线时，试判断∠DEF与∠BAC的数量关系；

（3）如图3，点E在线段CB延长线时，∠BEF的平分线交直线AB于G，过点E作EG的垂线．交直线AB于M，点N在FE延长线上；若∠ABC=80°，∠DEM：

∠BED=2：

3，求∠BAC的度数．

27．已知某品牌遮阳伞如图①所示，图②是其剖面图，若AG同时平分∠BAC与∠EDF，且AB∥ED，则AC∥DF吗？

请在下面括号内填写理由．

解：

∵AB∥DE

∴∠　　=∠　　（　　）

∵AG同时平分∠BAC与∠EDF（已知）

∴∠DAC=∠DAB，∠GDF=∠GDE（　　）

∴∠DAC=∠GDF（　　）

∴AC∥DF（　　）

28．将两块大小相同的直角三角尺（即三角形ABC和三角形DEF，其中∠A=∠D=30°，按如图所示的方式摆放（直角顶点F在斜边AB上，直角顶点C在斜边DE上），且DE∥AB．

（1）求∠AFD的度数；

（2）请你判断DF与AC是否平行，并说明理由．

29．如图，AP，CP分别平分∠BAC，∠ACD，∠P=90°，设∠BAP=α．

（1）用α表示∠ACP；

（2）求证：

AB∥CD；

（3）若AP∥CF，求证：

FC平分∠DCE．

30．已知，如图，AB∥CD，∠1=∠B，∠2=∠D．求证：

BE⊥DE．

一．解答题（共30小题）

1．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．

（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；

（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：

PF∥GH；

（3）如图3，在

（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？

若不变，请求出其值；若变化，说明理由．

2．

（1）如图

（1），已知任意三角形ABC，过点C作DE∥AB，求证：

∠DCA=∠A；

（2）如图

（1），求证：

三角形ABC的三个内角（即∠A、∠B、∠ACB）之和等于180°；

（3）如图

（2），求证：

∠AGF=∠AEF+∠F；

（4）如图（3），AB∥CD，∠CDE=119°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF=150°，求∠F．

3．问题情境：

如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．

小明的思路是：

过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．

（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为　　度；

（2）问题迁移：

如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB=α，∠PCD=β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？

请说明理由；

（3）在

（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．

4．已知AB∥CD．

（1）如图①，若∠ABE=30°，∠BEC=148°，求∠ECD的度数；

（2）如图②，若CF∥EB，CF平分∠ECD，试探究∠ECD与∠ABE之间的数量关系，并证明．

5．已知，如图，l1∥l2．

（1）如图1，过点P作l1的平行线，可证∠APB，∠A，∠B之间的等量关系是：

∠APB=∠A+∠B．

（2）如图2，请你写出∠APB，∠A，∠B之间的等量关系，并证明．

（3）如图3，请你直接写出∠P1，∠P2，∠P3，∠P4，∠P5之间的等量关系为：

　　．

6．如图，AB∥CD，∠B=120°，EF是∠CEB的平分线，FG∥HD，求∠EDH的度数．

7．如图，已知：

l1∥l2，l3、l4分别于l1、l2交于B，F和A，E，点D是直线l3上一动点，DC∥AB交l4于点C．

（1）当点D在l1、l2两线之间运动时，试找出∠BAD、∠DEF、∠ADE之间的等量关系，并说明理由；

（2）当点D在l1、l2两线上方运动时，试探究∠BAD、∠DEF、∠ADE之间的等量关系（点D和B、F不重合），画出图形，直接写出出结论．

8．已知：

如图，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB，AC于点E，F．

（1）若∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠BOC的度数；

（2）若∠BEF+∠CFE=a，求∠BOC的度数．（用含a的代数式表示）

9．如图，AD∥BC，BE平分∠ABC交AD于点E，BD平分∠EBC．

（1）若∠DBC=30°，求∠A的度数；

（2）若点F在线段AE上，且7∠DBC﹣2∠ABF=180°，请问图中是否存在与∠DFB相等的角？

若存在，请写出这个角，并说明理由；若不存在，请说明理由．

10．已知：

如图，△ABC中，D，G为BC上的两点（不与B，C重合），联结AD，过点D作DE∥AC交AB于点E，过点G作∠FGC=∠ADC交AC于点F．

（1）依题意补全图形；

（2）请你判断∠EDA和∠GFC的数量关系，并加以证明．

11．小明同学在做作业时，遇到这样一道几何题：

已知：

如图1，l1∥l2∥l3，点A、M、B分别在直线l1，l2，l3上，MC平分∠AMB，∠1=28°，∠2=70°．求：

∠CMD的度数．

小明想了许久没有思路，就去请教好朋友小坚，小坚给了他如图2所示的提示：

请问小坚的提示中①是∠　　，④是∠　　．

理由②是：

　　；

理由③是：

　　；

∠CMD的度数是　　°．

12．已知：

直线AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点E为平面内一点．

（1）如图1，探究∠AME，∠E，∠ENC的数量关系；并加以证明．

（2）如图2，∠AME=30°，EF平分∠MEN，NP平分∠ENC，EQ∥NP，求∠FEQ的度数．

（3）如图3，点G为CD上一点，∠AMN=m∠EMN，∠GEK=m∠GEM，EH∥MN交AB于点H，直接写出∠GEK，∠BMN，∠GEH之间的数量关系（用含m的式子表示）

13．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．

（1）如图2，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，∠B=50°，∠D=30°，求∠BPD．

（2）如图1，在AB∥CD的前提下，将点P移到AB、CD外部，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？

并证明你的结论．

（3）在图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3，写出∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间的数量关系．

14．已知：

直线a∥b，点A，B分别是a，b上的点，APB是a，b之间的一条折弦，且∠APN＜90°，Q是a，b之间且在折线APB左侧的一点，如图．

（1）若∠1=33°，∠APB=74°，则∠2=　　度．

（2）若∠Q的一边与PA平行，另一边与PB平行，请探究∠Q，∠1，2间满足的数量关系并说明理由．

（3）若∠Q的一边与PA垂直，另一边与PB平行，请直接写出∠Q，∠1，2之间满足的数量关系．

15．如图，AB∥CD，P为定点，E、F分别是AB、CD上的动点．

（1）求证：

∠P=∠BEP+∠PFD；

（2）若M为CD上一点，如图2，∠FMN=∠BEP，且MN交PF于N．试说明∠EPF与∠PNM关系，并证明你的结论；

（3）移动E、F使得∠EPF=90°，如图3，作∠PEG=∠BEP，求∠AEG与∠PFD度数的比值．

16．在学习“相交线与平行线”一章时，课本中有一道关于潜望镜的拓广探索题，老师倡议班上同学分组开展相关的实践活动．小钰所在组上网查阅资料，制作了相关PPT介绍给同学（图1、图2）；小宁所在组制作了如图所示的潜望镜模型并且观察成功（图3）．大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理．

（1）图4中，AB，CD代表镜子摆放的位置，动手制作模型时，应该保证AB与CD平行，入射光线与反射光线满足∠1=∠2，∠3=∠4，这样离开潜望镜的光线MN就与进入潜望镜的光线EF平行，即MN∥EF．请完成对此结论的以下填空及后续证明过程（后续证明无需标注理由）．

∵AB∥CD（已知），

∴∠2=∠　　（　　）．

∵∠1=∠2，∠3=∠4（已知），

∴∠1=∠2=∠3=∠4（　　）．

（2）在之后的实践活动总结中，老师进一步布置了一个任务：

利用图5中的原理可以制作一个新的装置进行观察，那么在图5中方框位置观察到的物体“影像”的示意图为　　．

A．

B．

C．

D．

17．如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定线上各点不属于任何部分．

（1）如图

（1），当动点P落在第①部分时，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系是　　

（1）如图

（2），当动点P落在第②部分时，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系是　　

（3）如图（3），当动点P落在第③部分时，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系是　　

（4）选择以上一种结论加以证明．

18．若∠ACB=a，∠EAC=b，∠FBC=c．

（1）如图1，若AE∥BF，则a，b，c之间有何关系？

　　（直接写出结果）

（2）如图2，AM是∠EAC的平分线，BN是∠FBC的平分线，若AM∥BN，则a，b，c之间有何关系？

并说明理由．

（3）如图3，若∠EAC的平分线所在直线与∠FBC平分线所在直线交于P，试探究∠APB与a，b，c之间的关系是　　（用a，b，c表示）

（4）如图4，若a≥b+c，∠EAC与∠FBC的平分线相交于P1，∠EAP1与∠FBP1的平分线交于P2；依此类推，则∠P6=　　．（用a、b、c表示），写出结论即可．

19．已知△ABC中，∠A=60°，∠ACB=40°，D为BC边延长线上一点，BM平分∠ABC，E为射线BM上一点．

（1）如图1，连接CE，

①若CE∥AB，求∠BEC的度数；

②若CE平分∠ACD，求∠BEC的度数．

（2）若直线CE垂直于△ABC的一边，请直接写出∠BEC的度数．

20．已知直线l1∥l2，点A是l1上的动点，点B在l1上，点C、D在l2上，∠ABC，∠ADC的平分线交于点E（不与点B，D重合）．

（1）若点A在点B的左侧，∠ABC=80°，∠ADC=60°，过点E作EF∥l1，如图①所示，求∠BED的度数．

（2）若点A在点B的左侧，∠ABC=α°，∠ADC=60°，如图②所示，求∠BED的度数；（直接写出计算的结果）

（3）若点A在点B的右侧，∠ABC=α°，∠ADC=60°，如图③所示，求∠BED的度数．

21．如图，已知射线AB与直线CD交于点O，OF平分∠BOC，OG⊥OF于O，AE∥OF，且∠A=30°．

（1）求∠DOF的度数；

（2）试说明OD平分∠AOG．

22．AB∥CD，C在D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E．∠ADC=70°．

（1）求∠EDC的度数；

（2）若∠ABC=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）；

（3）将线段BC沿DC方向移动，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，若∠ABC=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）．

23．如图，BD丄AC于D，EF丄AC于F．∠AMD=∠AGF．∠1=∠2=35°

（1）求∠GFC的度数：

（2）求证：

DM∥BC．

24．如图，∠1+∠2=180°，∠1=∠BAD，AD与EF平行吗？

为什么？

25．将△ABC纸片沿DE折叠，其中∠B=∠C．

（1）如图1，点C落在BC边上的点F处，AB与DF是否平行？

请说明理由；

（2）如图2，点C落在四边形ABCD内部的点G处，探索∠B与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．

26．将一副直角三角尺BAC和ADE如图放置，其中∠BCA=30°，∠AED=45°，若∠AFD=75°，试判断AE与BC的位置关系，并说明理由．

27．如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6．求证：

ED∥FB．在下面的括号中填上推理依据．

证明：

∵∠3=∠4（已知）

∴CF∥BD　　

∴∠5+∠CAB=180°　　

∵∠5=∠6（已知）

∴∠6+∠CAB=180°（等式的性质）

∴AB∥CD　　

∴∠2=∠EGA　　

∵∠1=∠2（已知）

∴∠1=∠EGA（等量代换）

∴ED∥FB　　．

28．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A=60°，∠D=30°；∠E=∠B=45°）：

（1）①若∠DCE=45°，则∠ACB的度数为　　；

②若∠ACB=140°，求∠DCE的度数；

（2）由

（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．

（3）当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？

若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．

29．如图，∠BAF=46°，∠ACE=136°，CE⊥CD．问CD∥AB吗？

为什么？

30．如图，直线a∥b，BC平分∠ABD，DE⊥BC，若∠1=70°，求∠2的度数．