第二章 点直线平面之间的位置关系 单元检测人教A版必修2剖析.docx

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第二章点直线平面之间的位置关系单元检测人教A版必修2剖析

第二章点、直线、平面之间的位置关系单元检测

（时间90分钟，满分120分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α间的关系可记为（　　）

A．M∈a，a∈α　　　　B．M∈a，a⊂α

C．M⊂a，a⊂αD．M⊂a，a∈α

【解析】　点M在直线a上，可记为M∈a，a在平面α内，可记为a⊂α，故B正确．

【答案】　B

2．垂直于同一平面的两条直线一定（　　）

A．平行B．垂直

C．异面D．以上都有可能

【解析】　垂直于同一平面的两条直线一定平行，选A.

【答案】　A

图1

3．（2013·吉林高一检测）如图1，α∩β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是（　　）

A．直线AC

B．直线AB

C．直线CD

D．直线BC

【解析】　D∈l，l⊂β，∴D∈β，

又C∈β，∴CD⊂β；

同理，CD⊂平面ABC，

∴平面ABC∩平面β＝CD.故选C.

【答案】　C

4．（2013·浏阳高一检测）设a，b，c是空间的三条直线，给出以下五个命题：

①若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的个数是（　　）

A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3

【解析】　借助正方体中的线线关系易知①②③④全错；由公理4知⑤正确．

【答案】　B

5．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（　　）

A．α内的所有直线与l异面

B．α内不存在与l平行的直线

C．α内存在唯一的直线与l平行

D．α内的直线与l都相交

【解析】　由题意知，直线l与平面α相交，则直线l与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B是正确的．

【答案】　B

6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AC与直线BC1所成的角为（　　）

A．30°　　B．90°C．60°　　D．45°

【解析】　如图所示，连接A1C1、A1B，则△A1BC1为等边三角形．

又AC∥A1C1，故AC与BC1所成的角，即为A1C1与BC1所成的角，大小为60°.

【答案】　C

7．（2012·四川高考）下列命题正确的是（　　）

A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

【解析】　A错误，如圆锥的任意两条母线与底面所成的角相等，但两条母线相交；B错误，△ABC的三个顶点中，A、B在α的同侧，而点C在α的另一侧，且AB平行于α，此时可有A、B、C三点到平面α距离相等，但两平面相交；D错误，如教室中两个相邻墙面都与地面垂直，但这两个面相交，故选C.

【答案】　C

8．（2013·郑州高一检测）如图2，若Ω是长方体ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFB1－HGC1Y后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是（　　）

图2

A．EH∥FG

B．四边形EFGH是矩形

C．Ω是棱柱

D．Ω是棱台

【解析】　由面面平行的性质可知EHGF为平行四边形，

又EH∥A1D1，A1D1⊥平面ABB1A1，

∴EH⊥平面ABB1A1，又EF⊂平面ABB1A1，

∴EH⊥EF.

∴四边形EFGH为矩形，故A、B均正确．

结合棱柱和棱台的定义可知：

Ω是棱柱，故C正确，D错误．

【答案】　D

9．（2012·琼海高一检测）如图3，三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（　　）

图3

A．CC1与B1E是异面直线

B．AC⊥平面ABB1A1

C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1

D．A1C1∥平面AB1E

【解析】　由已知AC＝AB，E为BC中点，故AE⊥BC，又∵BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，C正确．

【答案】　C

10．如图4所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是（　　）

图4

A．平面ABD⊥平面ABC

B．平面ADC⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDC

D．平面ADC⊥平面ABC

【解析】　梯形ABCD中AD∥BC，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，AD＝AB，

∴∠ADB＝45°，∠BDC＝90°.

∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，

平面ABD∩平面BCD＝BD，

∴CD⊥平面ABD，即CD⊥AB，又AD⊥AB，CD∩AD＝D，

∴AB⊥平面ADC，从而平面ADC⊥平面ABC.

【答案】　D

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上）

11．A∈α，B∉α，A∈l，B∈l，那么直线l与平面α有________个公共点．

【解析】　∵A∈α，B∉α，A∈l，B∈l，则l与α相交．

【答案】　1

12．已知平面α，β和直线m，给出条件：

①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β.

（1）当满足条件________时，有m∥β；

（2）当满足条件________时，有m⊥β.

【解析】　

（1）当m⊂α，且α∥β时，有m∥β，故填③⑤.

（2）当m⊥α，且α∥β时，有m⊥β，故填②⑤.

【答案】　③⑤　②⑤

13．在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1（注：

填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）．

【解析】　由直四棱柱可知CC1⊥面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1，要使B1D1⊥A1C，只要B1D1⊥平面A1CC1，所以只要B1D1⊥A1C1；还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形、正方形等条件．

【答案】　B1D1⊥A1C1（答案不唯一）

14．在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝

，则异面直线AD与BC所成角的大小为________．

【解析】　取AC中点M，连接EM，FM，F为DC中点，M为AC中点，∴FM∥AD，且FM＝

AD＝1，同理EM∥BC且EM＝

BC＝1.

△EMF中作MN⊥EF于N.

Rt△MNE中，EM＝1，EN＝

，

∴sin∠EMN＝

，∠EMN＝60°，

∴∠EMF＝120°，∴AD与BC所成角为60°.

【答案】　60°

三、解答题（本大题共4小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本小题满分12分）如图5，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，AC∩BD＝E，AD＝2，AB＝2

，BC＝6.求证：

平面PBD⊥平面PAC.

图5

【证明】　∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

∴BD⊥PA.

又tan∠ABD＝

＝

，tan∠BAC＝

＝

，

∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°，

∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC.

又PA∩AC＝A，

∴BD⊥平面PAC.

又∵BD⊂平面PBD，

∴平面PBD⊥平面PAC.

16．（本小题满分12分）如图6，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、P、Q分别是BC、C1D1、AD1、BD的中点．

图6

（1）求证：

PQ∥平面DCC1D1；

（2）求证：

AC⊥EF.

【证明】　

（1）如图所示，连接CD1.

∵P、Q分别为AD1、AC的中点．

∴PQ∥CD1.

而CD1⊂平面DCC1D1，PQ⊄平面DCC1D1，

∴PQ∥平面DCC1D1.

（2）如图，取CD中点H，连接EH，FH.

∵F、H分别是C1D1、CD的中点，在平行四边形CDD1C1中，FH綊D1D.

而D1D⊥面ABCD，

∴FH⊥面ABCD，而AC⊂面ABCD，

∴AC⊥FH.

又E、H分别为BC、CD的中点，∴EH∥DB.而AC⊥BD，∴AC⊥EH.

因为EH、FH是平面FEH内的两条相交直线，所以AC⊥平面EFH，

而EF⊂平面EFH，所以AC⊥EF.

17．（本小题满分12分）（2013·大连高一检测）如图7，圆锥SO中，AB、CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝2，P为SB的中点．

图7

（1）求证：

SA∥平面PCD；

（2）求圆锥SO的表面积；

（3）求异面直线SA与PD所成的角正切值．

【解】　

（1）证明：

连接PO，∵P、O分别为SB、AB的中点，

∴PO∥SA，

∵PO⊂平面PCD，SA⊄平面PCD，

∴SA∥平面PCD.

（2）∵圆锥的底面半径r＝2，母线长l＝SB＝2

，

S底面＝πr2＝4π，S侧面＝πlr＝4

π，

S圆锥表面＝S底面＋S侧面＝4（

＋1）π.

（3）∵PO∥SA，

∴∠DPO为异面直线SA与PD所成的角．

∵AB⊥CD，SO⊥CD，AB∩SO＝O，

∴CD⊥平面SOB.

∵PO⊂平面SOB，

∴OD⊥PO，在Rt△DOP中，OD＝2，

OP＝

SA＝

SB＝

，

∴tan∠DPO＝

＝

＝

，

∴异面直线SA与PD所成角的正切值为

.

18．（本小题满分14分）（2012·北京高考）如图8中的

（1），在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图

（2）．

图8

（1）求证：

DE∥平面A1CB.

（2）求证：

A1F⊥BE.

（3）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？

说明理由．

【解】　

（1）证明：

∵D，E分别为AC，AB的中点，

∴DE∥BC.

又∵DE⊄平面A1CB，

∴DE∥平面A1CB.

（2）由已知得AC⊥BC且DE∥BC，

∴DE⊥AC.

∴DE⊥A1D，DE⊥CD.

∴DE⊥平面A1DC.

而A1F⊂平面A1DC，

∴DE⊥A1F.

又∵A1F⊥CD，DE∩CD＝D，

∴A1F⊥平面BCDE，

∴A1F⊥BE.

（3）线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：

如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.

又∵DE∥BC，

∴DE∥PQ.

∴平面DEQ即为平面DEP.

由

（2）知，DE⊥平面A1DC，

∴DE⊥A1C.

又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，

∴A1C⊥DP.

∴A1C⊥平面DEP.

从而A1C⊥平面DEQ.

故线段A1B上存在点Q（中点），使得A1C⊥平面DEQ.