专题01 规律探究备战中考数学母题题源解密全国通用解析版.docx

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专题01规律探究备战中考数学母题题源解密全国通用解析版

专题01规律探究问题

考向1数字规律探究问题

【母题来源】2021年中考江苏镇江卷

【母题题文】（2021•镇江）如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（　　）

A．A1B．B1C．A2D．B3

【答案】B

【试题解析】由题意得：

A1＝2n+1+2n+3+2n+5＝789，

整理得：

2n＝260，

则n不是整数，故A1的值不可以等于789；

A2＝2n+7+2n+9+2n+11＝789，

整理得：

2n＝254，

则n不是整数，故A2的值不可以等于789；

B1＝2n+1+2n+7+2n+13＝789，

整理得：

2n＝256＝28，

则n是整数，故B1的值可以等于789；

B3＝2n+5+2n+11+2n+17＝789，

整理得：

2n＝252，

则n不是整数，故B3的值不可以等于789；故选：

B．

【命题意图】考查数字变化类规律，培养学生的抽象思维能力．

【命题方向】数字的变化类问题一般以选填形式出现，安排在压轴位置，提高学生的区分度．

【得分要点】解数字类规律探究问题的一般步骤:

（1）通过观察、对比,找出各部分的特征;

（2）猜想、归纳出一般规律并验证;

（3）将所求问题代入一般规律.

考向2几何图形类的规律探究问题

【母题来源】2021年中考湖南湘西卷

【母题题文】古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为a1＝1，第二个图形表示的三角形数记为a2＝3，…，则第n个图形表示的三角形数an＝　　.（用含n的式子表达）

【答案】

【试题解析】第1个图形表示的三角形数为1，

第2个图形表示的三角形数为1+2＝3，

第3个图形表示的三角形数为1+2+3＝6，

第4个图形表示的三角形数为1+2+3+4＝10，....．

第n个图形表示的三角形数为1+2+3+4+......+（n﹣1）+n

．故答案为：

．

【命题意图】考查图形变化类的规律，目的是通过数形结合培养学生的抽象思维能力．

【命题方向】以选填为主，主要设置在压轴位置，增加学生的区分度.

【得分要点】解几何图形类规律探究问题的一般步骤:

（1）找到图形之间变与不变的规律;

（2）猜想规律与“序号”之间的对应关系,并用关于“序号”的式子表示出来;

（3）验证式子,并解答问题.

考向3点的坐标变化的规律探究问题

【母题来源】2021年中考湖北卷

【母题题文】如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得点P1（﹣1，﹣1）；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点P2；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点P3；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点P4，…，按此作法进行下去，则点P2021的坐标为　　．

【答案】（﹣1011，﹣1011）

【试题解析】观察图象可知，奇数点在第三象限，

∵P1（﹣1，﹣1），P3（﹣2，﹣2），P5（﹣3，﹣3），•••，P2n﹣1（﹣n，﹣n），

∴P2021（﹣1011，﹣1011），故答案为：

（﹣1011，﹣1011）．

【命题意图】考查坐标与图形变化﹣平移，规律型等知识，训练学生探究规律，利用规律解决问题的能力．

【命题方向】选填为主，将坐标求取与平移、旋转或对称相结合.

【得分要点】解点坐标变化规律探究问题的一般方法:

（1）点的坐标在坐标轴上或象限内循环（周期）变化时,先求出第一个循环周期内相关点的坐标,然后找出所求点经过循环后位于第一个循环周期内的哪个位置,从而求出坐标;

（2）点的坐标是成倍递推变化时,先求出前几个点的坐标,然后归纳出后一个点坐标与前一个点坐标之间存在的倍分关系.

1．（2021•广汉市模拟）右边是一个按某种规律排列的数阵：

根据规律，自然数2021应该排在从上向下数的第m行，是该行中的从左向右数的第n个数，那么m+n的值是（　　）

A．131B．130C．129D．128

【答案】B

【解析】∵每行的最后一个数是这个行的行数m的平方，

第m行的数字的个数是2m﹣1，∵442＝1936，

所以2021在第45行，∵452＝2025，

∴45行最后一个数字是2025，

第45行有2×45﹣1＝89个数字，从2025往前数4个数据得到2021，从而得出2021是第85个数据，∴m＝45，n＝85，

∴m+n＝45+85＝130．故选：

B．

2．（2021•沙坪坝区校级二模）如图所示，将形状、大小完全相同的小圆点“•”按照一定规律摆成下列图形，其中第①个图案中有5个小圆点，第②个图案中有9个小圆点，第③个图案中有13个小圆点，……按此规律排列下去，则第⑥个图案中小圆点的个数为（　　）

A．21B．25C．29D．33

【答案】B

【解析】∵第①个图案中“●”有：

1+4×1＝5个，

第②个图案中“●”有：

1+4×2＝9个，

第③个图案中“●”有：

1+4×3＝13个，

第④个图案中“●”有：

1+4×4＝17个，…

∴第⑥个图案中“●”有：

1+4×6＝25个，故选：

B．

3．（2021•房县一模）将正整数按如图所示的位置顺序排列：

根据排列规律，则2021应在（　　）

A．A处B．B处C．C处D．D处

【答案】D

【解析】2021÷4＝505…1，∴2021应在1的位置，也就是在D处．故选：

D．

4．（2021•涪城区模拟）由6个数组成数列a0，将其中的每个数换成该数在数列a0中出现的次数，可得到一个新的数列a1，例如数列a0：

{1，1，3，2，5，2}，则a1：

{2，2，1，2，1，2}，当某个数列a0经过变换得到新的数列a1，由a1继续按相同规则变换得到a2，…最终得到数列an﹣1（n≥2）与数列an相同，则an不可能是下列的（　　）

A．{2，4，4，4，2，4}B．{1，3，2，3，2，3}

C．{6，6，6，6，6，6}D．{1，1，1，1，1，1}

【答案】D

【解析】A．a0＝{2，4，4，4，2，4}，a1＝{2，4，4，4，2，4}，……，an＝{2，4，4，4，2，4}，符合题意；

B．a0＝{1，3，2，3，2，3}，a1＝{1，3，2，3，2，3}，……，an＝{1，3，2，3，2，3}，符合题意；

C．a0＝{6，6，6，6，6，6}，a1＝{6，6，6，6，6，6}，……，an＝{6，6，6，6，6，6}，符合题意；

D．a0＝{1，1，1，1，1，1}，a1＝{6，6，6，6，6，6}，……，an＝{6，6，6，6，6，6}，不符合题意；故选：

D．

5．（2021•交城县二模）已知“！

”是一种数学运算符号，并且1！

＝1，2！

＝2×1＝2，3！

＝3×2×1＝6，4！

＝4×3×2×1＝24，…，若公式∁nm

（n＞m），则C125＝（　　）

A．60B．792C．812D．5040

【答案】B

【解析】∵

，

∴

＝792，故选：

B．

6．（2021•广东一模）按照图中图形变化的规律，则第2021个图形中黑色正方形的数量是（　　）

A．1010B．1012C．3030D．3032

【答案】D

【解析】根据图形变化规律可知：

第1个图形中黑色正方形的数量为2，

第2个图形中黑色正方形的数量为3，

第3个图形中黑色正方形的数量为5，

第4个图形中黑色正方形的数量为6，...，

当n为奇数时，黑色正方形的个数为[3

（n+1）﹣1]，

当n为偶数时，黑色正方形的个数为（3

n），

∴第2021个图形中黑色正方形的数量是[3

（2021+1）﹣1]，故选：

D．

7．（2021•武汉模拟）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：

1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造一组正方形（如图1）；再分别依次从左到右取2个，3个，4个，5个拼成如图2长方形并记为①，②，③，④若按此规律继续作长方形，则序号为⑦的长方形周长是（　　）

A．110B．100C．105D．90

【答案】A

【解析】由分析可得：

第⑤个的周长为：

2×（8+13），

第⑥的周长为：

2×（13+21），第⑦个的周长为：

2×（21+34）＝110，故选：

A．

8．（2021•鞍山一模）如图，直线OA的解析式为y＝x，点P1坐标为（1，0），过P1作PQ1⊥x轴交OA于Q1，过Q1作P2Q1⊥OA交x轴于P2，过P2作P2Q2⊥x轴交OA于Q2，过Q2作P3Q2⊥OA交x轴于P3，…，按此规律进行下去，则P100的坐标为（　　）

A．（2100﹣1，0）B．（5050，0）C．（299，0）D．（100，0）

【答案】C

【解析】∵直线OA的解析式为y＝x，∴∠AOP1＝45°，

∵PQ1⊥x轴，∴△OP1Q1为等腰直角三角形，

∵点P1坐标为（1，0），∴P1Q1＝OP1＝1，

∵P2Q1⊥OA，

∴∠P1Q1P2＝45°，∴△P1P2Q1为等腰直角三角形，

∴P1P2＝P1Q1＝1，∴P2（2，0），

同理可得P3（4，0），P4（8，0），……，Pn（2n﹣1，0），

∴P100（299，0），故选：

C．

9．（2021•潍城区二模）将从1开始的连续自然数按图表所示规律排列：

规定位于第a行，第b列的自然数记为（a，b）．例如，自然数10记为（3，2），自然数14记为（4，3）…按此规律，自然数2021记为（　　）

A．（505，1）B．（505，4）C．（506，1）D．（506，4）

【答案】D

【解析】由题意可得，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列．

∵2021÷4＝505……1，505+1＝506，

∴2021在第506行，

∵偶数行的数字从左往右是由大到小排列，

∴自然数2021记为（506，4）．故选：

D．

10．（2021•十堰一模）将从1开始的自然数按规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第4列的数是（　　）

A．2025B．2023C．2022D．2021

【答案】C

【解析】观察数字的变化，

发现规律：

第n行的第一个数为n2，

所以第45行第一个数为452＝2025，

再依次减1，到第4列，即452﹣3＝2022．故选：

C．

11．（2021•陆良县一模）按一定规律排列的单项式a，﹣3a2，5a3，﹣7a4，9a5，…第n个单项式是（　　）

A．（﹣1）n（2n﹣1）anB．（﹣1）n+1（2n+1）an

C．（﹣1）n（2n+1）anD．（﹣1）n+1（2n﹣1）an

【答案】D

【解析】∵a＝（﹣1）1+1×（2×1﹣1）a，

﹣3a2＝（﹣1）2+1×（2×2﹣1）a2，

5a3＝（﹣1）3+1×（2×3﹣1）a3，

﹣7a4＝（﹣1）4+1×（2×4﹣1）a4，

9a5＝（﹣1）5+1×（2×5﹣1）a5，

…∴第n个单项式为：

（﹣1）n+1（2n﹣1）an．故选：

D．

12．（2021•河南模拟）如图，过点A1（2，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B1；点A2与点O关于直线A1B1对称；过点A2（4，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B2；点A3与点O关于直线A2B2对称；过点A3作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B3；…，按此规律作下去，则点B2021的坐标为（　　）

A．（22021，22020）B．（22021，22022）

C．（22022，22021）D．（22020，22021）

【答案】B

【解析】由已知作图规律可知：

A1（2，0），A₂（4，0），A3（8，0），A4（16，0），…，An（2n，0），∴对应的B1（2，4），B2（4，8），B3（8，16），B4（16，32），…，Bn（2n，2n+1），

∴点B2021的坐标为（22021，22022），故选：

B．

13．（2021•武汉模拟）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成．第

（1）个图案有4个三角形，第

（2）个图案有7个三角形，第（3）个图形有10个正三角形，…依此规律，若第n个图案有2020个三角形，则n＝（　　）

A．670B．672C．673D．676

【答案】C

【解析】∵第

（1）个图案有3+1＝4个三角形，

第

（2）个图案有3×2+1＝7个三角形，

第（3）个图案有3×3+1＝10个三角形，…

∴第n个图案有（3n+1）个三角形．

根据题意可得：

3n+1＝2020，解得：

n＝673，故选：

C．

14．（2021•八步区模拟）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值应是（　　）

A．134B．136C．140D．144

【答案】B

【解析】由题意得：

左上角的数分别为1＝21﹣1，2＝22﹣1，4＝23﹣1，8＝24﹣1，

则左上角第n个数为2n﹣1（n为正整数）；

左下角的数分别为：

2＝2×1，4＝2×2，6＝2×3，8＝2×4，

则左下角第n个数为：

2n；

右上角的数分别为：

4＝2×1+2，6＝2×2+2，8＝2×3+2，10＝2×4+2，

则右上角第n个数为：

2n+2；

右下角的数分别为：

7＝2×4﹣1，22＝4×6﹣1，44＝6×8﹣4，72＝8×10﹣8，

则右下角第n个数为：

2n（2n+2）﹣2n﹣1，

根据排列规律，得：

2n﹣1＝32，解得：

n＝6，

∴m＝2×6×（2×6+2）﹣32＝168﹣32＝136，故选：

B．

15．（2021•淅川县一模）如图，矩形OABC的顶点O（0，0），B（﹣2，2

），若矩形绕点O逆时针旋转，每秒旋转60°，则第145秒时，矩形的对角线交点D的坐标为（　　）

A．（﹣1，

）B．（﹣1，﹣3）C．（﹣2，0）D．（1，﹣3）

【答案】C

【解析】∵矩形OABC的顶点O（0，0），B（﹣2，2

），∴D（﹣1，

），

过点D作DE⊥x轴于E，则OE＝1，DE

，

∴OD

，∴tan∠DOE

，

∴∠DOE＝60°，∵60°×145÷360°＝24

，

，∴第145秒时，点D恰好在x轴负半轴上，

∴此时点D的坐标为（﹣2，0），故选：

C．

16．（2021•路北区三模）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（1，2），则经过第2021次变换后点A的对应点的坐标为（　　）

A．（1，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，2）

【答案】C

【解析】点A第一次关于y轴对称后在第二象限，

点A第二次关于x轴对称后在第三象限，

点A第三次关于y轴对称后在第四象限，

点A第四次关于x轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，

所以，每四次对称为一个循环组依次循环，∵2021÷4＝505余1，

∴经过第2021次变换后所得的A点与第一次变换的位置相同，在第二象限，坐标为（﹣1，2）．故选：

C．

17．（2021•焦作模拟）如图，等边△ABC的顶点A（1，1），B（3，1），规定把△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2020次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为（　　）

A．（﹣2020，

）B．（﹣2019，

）

C．（﹣2018，

）D．（﹣2017，

）

【答案】C

【解析】∵△ABC是等边三角形AB＝3﹣1＝2，

∴点C到x轴的距离为1+2

1，

横坐标为2，∴C（2，

1），

第2020次变换后的三角形在x轴上方，

点C的纵坐标为

1，横坐标为2﹣2020×1＝﹣2018，

∴点C的对应点C′的坐标是（﹣2018，

1），故选：

C．

18．（2021•渝中区校级三模）用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第8个图案中共有圆点的个数是（　　）

A．34B．40C．49D．59

【答案】C

【解析】当n＝1时，第1个图案的圆点的个数是y1＝5+2＝7个．

当n＝2时，第2个图案的圆点的个数是y2＝y1+3＝5+2+3＝10个．

当n＝3时，第3个图案的圆点的个数是y3＝y2+4＝5+2+3+4＝14个．

当n＝4时，第4个图案的圆点的个数是y4＝y3+5＝5+2+3+4+5＝19．..．

以此类推，第n个图案的圆点的个数是yn＝5+2+3+4+...+（n+1）

个．

∴当n＝8时，第8个图案的圆点的个数是

个．故选：

C．

19．（2021•开封二模）如图，将△ABC沿着过BC，AB的中点D，E所在的直线折叠，使点B落在AC边上的B1处，称为第一次操作，点D到AC的距离为h1；还原纸片后，再将△BDE沿着过BD，BE的中点D1，E1所在的直线折叠，使点B落在DE边上的B2处，称为第二次操作，点D1到AC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去，…，经过第n次操作后得到点Dn﹣1到AC的距离记为hn．若h1＝1，则hn值为（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】∵将△ABC沿着过BC，AB的中点D，E所在的直线折叠，点D到AC的距离为h1，∴点D到AC的距离h1＝1，DE∥AC，DE

AC，

∴△EBD∽△ABC，△EBD与△ABC的相似比为1：

2，

∵折叠，∴△EBD≌△EB1D，

∴△EB1D∽△ABC，△EB1D与△ABC的相似比为1：

2，

∵将△BDE沿着过BD，BE的中点D1，E1所在的直线折叠，点D1到AC的距离记为h2，

同理：

△E1B2D1∽△EB1D，△E1B2D1与△EB1D的相似比为1：

2，

∴D1到AC的距离h2＝1

，

同理：

h3＝h2

h1＝1

，h4＝h3

h1＝1

，..．

hn＝1

...

2

，故选：

A．

20．（2021•北京一模）二维码是一种编码方式，它是用某种特定的几何图形按一定规律在平面（二维方向上）分布，采用黑白相间的图形记录数据符号信息的．某社区为方便管理，仿照二维码编码的方式为居民设计了一个身份识别图案系统：

在4×4的正方形网格中，白色正方形表示数字0，黑色正方形表示数字1，将第i行第j列表示的数记为ai，j（其中i，j都是不大于4的正整数），例如，图中，a1，2＝0．对第i行使用公式Ai＝ai，1×23+ai，2×22+ai，3×21+ai，4×20进行计算，所得结果A1，A2，A3，A4分别表示居民楼号，单元号，楼层和房间号．例如，图中，A3＝a3，1×23+a3，2×22+a3，3×21+a3，4×20＝1×8+0×4+0×2+1×1＝9，A4＝0×8+0×4+1×2+0×1＝2，说明该居民住在9层，2号房间，即902号．有下面结论：

①a2，3＝0；②图中代表的居民居住在11号楼；③A2＝3，其中正确的是（　　）

A．③B．①②C．①③D．①②③

【答案】B

【解析】①a2，3表示的是将第2行第3列是白色正方形，所以表示的数是0，即a2，3＝0，故①正确；

②图中代表的居民的楼号A1＝a1，1×23+a1，2×22+a1，3×21+a1，4×20＝1×23+0×22+1×21+1×20＝1×8+0×4+1×2+1×1＝11，

∴图中代表的居民居住在11号楼；故②正确；

③A2＝a2，1×23+a2，2×22+a2，3×21+a2，4×20＝0×23+1×22+0×21+0×20＝0×8+1×4+0×2+0×1＝4，故③错误，综上，①②是正确的．故选：

B．