求函数定义域和值域方法和典型题归纳.docx

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求函数定义域和值域方法和典型题归纳

求函数定义域和值域方法和典型题归纳

<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳

一、基础知识整合

1.函数的定义：

设集合A和B是非空数集，按照某一确定的对应关系f，使得集合A中任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f（x）与之对应。

则称f:

为A到B的一个函数。

2.由定义可知：

确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f）,②集合A的取值范围。

由这两个条件就决定了f（x）的取值范围③{y|y=f（x）,x∈A}。

3.定义域：

由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是：

（1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。

（2）数学表示：

注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。

4.值域：

是由定义域和对应关系（f）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。

（1）明白值域是在定义域A内求出函数值构成的集合：

{y|y=f（x）,x∈A}。

（2）明白定义中集合B是包括值域，但是值域不一定为集合B。

二、求函数定义域

（一）求函数定义域的情形和方法总结

1已知函数解析式时：

只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。

（1）常见要是满足有意义的情况简总：

①表达式中出现分式时：

分母一定满

例1：

已知f（x+1）的定义域为[-1,1]，求f（2x-1）的定义域。

解：

∵f（x+1）的定义域为[-1,1]；（及其中x的取值范围是[-1,1]）

∴

；（x+1的取值范围就是括号的取值范围）

∴f（x）的定义域为[0,2]；（f不变，括号的取值范围不变）

∴f（2x-1）中

∴

∴f（2x-1）的定义域为

3.复合函数定义域

复合函数形如：

理解复合函数就是可以看作由几个我们熟悉的函数组成的函数，或是可以看作几个函数组成一个新的函数形式。

例2：

分析：

由题目可以看出g（x）是由y=x+1、y=x-2和y=f（x）三个函数复合起来的新函数。

此时做加运算，所以只要求出f（x+1）和f（x-2）的定义域，再根据求函数定义域要所有式子同时满足，即只要求出f（x+1）和f（x-2）的定义域的交集即可。

解：

由f（x）的定义域为（-2,3），则

f（x+1）的定义域为（-3,2），f（x-2）的定义域为（0,4）；

，解得0

所以，g（x）的定义域为（0,2）.

（二）求定义域的典型题

1.已知函数解析式

（1）求下列函数的定义域

（2）求下列函数的定义域

（3）与函数定义域有关的问题题

①若函数

的定义域为R，求实数m的取值范围。

②函数

的定义域为R，求k的取值范围。

③函数

的定义域为R，求m的取值范围。

2.求抽象数定义域

①若函数f（x）的定义域为（-2,6），求

的定义域。

②若数

求函数

的定义域。

③若数

求函数

的定义域。

④若函数

，

求函数g（x）的定义域。

⑤若

，

，令

F（x）=f（x）-g（x）,求F（x）的定义域。

二、求函数值域

（一）求函数值域方法和情形总结

1.直接观察法（利用函数图象）

一般用于给出图象或是常见的函数的情形，根据图象来看出y值的取值范围。

2.配方法

适用于二次函数型或是可以化解成二次函数型的函数，此时注意对称轴的位置，在定义域范围内（以a<0为例），此时对称轴的地方为最大值，定义域为内端点离对称轴最远的端点处有最小值；对称轴在定义域的两边则根据单调性来求值域。

总结为三个要点：

（1）含参数的二次型函数，首先判断是否为二次型，即讨论a；

（2）a不为0时，讨论开口方向；（3）注意区间，即讨论对称轴。

例1：

求

解：

配方：

f（x）的对称轴为x=2在[1,5]中间

（端点5离x=2距离较远，此时为最大值）

所以，f（x）的值域为[2,11].

3.分式型

（1）分离常量法：

应用于分式型的函数，并且是自变量x的次数为1，或是可以看作整体为1的函数。

具体操作：

先将分母搬到分子的位子上去，观察与原分子的区别，不够什么就给什么，化为

。

例2：

解：

由于分母不可能为0，则意思就是函数值不可能取到

，

即：

函数f（x）的值域为

.

跟踪练习：

已知

在x=2处有最大值，求a的取值范围.

（2）利用

来求函数值域：

适用于函数表达式为分式形式，并且只出现

形式，此时由于为平方形式大多时候x可以取到任意实数，显然用分离常量法是行不通，只有另想它法（有界变量法）。

例3：

求函数

的值域.

解：

由于

不等于0，可将原式化为

即

（由于

）

只需

则有

所以，函数值域

.

（3）方程根的判别式法：

适用于分式形式，其中既出现变量x又出现

混合，此时不能化为分离常量，也不能利用上述方法。

对于其中定义域为R的情形，可以使用根的判别式法。

例4：

求函数

的值域

解：

由于函数的定义域为R，即

原式可化为

（由于x可以取到任意的实数，那么也就说总有一个x会使得上述方程有实数根，即方程有根那么判别式大于或等于0，注：

这里只考虑有无根，并不考虑根为多少）

所以，

所以，函数值域为

跟踪练习：

求下列函数值域

（1）

（2）

（3）

（5）若

的定义域为R，值域为

，求常数m,n的值（m=n=5）

4.换元法

通过换元将一个复杂的问题简单化更便于求函数值域，一般函数特征是函数解析式中含有根号形式，以及可将问题转换为我们熟悉的函数形式等问题。

而换元法其主要是让我们明白一种动态的方法来学习的一种思路，注重换元思维的培养，并不是专一的去解答某类问题，应该多加平时练习。

注：

换元的时候应及时确定换元后的元的取值范围。

例5：

求函数

的值域

解：

令

，带入原函数解析式中得

因为，

所以，函数的值域为

.

跟踪练习：

求下列函数的域

（1）

（2）

（3）

，（令t=

）

（4）