求函数定义域和值域方法和典型题归纳.docx

1、求函数定义域和值域方法和典型题归纳求函数定义域和值域方法和典型题归纳求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、基础知识整合1.函数的定义：设集合A和B是非空数集，按照某一确定的对应关系f，使得集合A中任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称f:为A到B的一个函数。2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是确定的对应关系（f）,集合A的取值范围。由这两个条件就决定了f(x)的取值范围y|y=f(x),xA。3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是：（1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。（2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的

2、一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。4.值域：是由定义域和对应关系（f）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。（1）明白值域是在定义域A内求出函数值构成的集合：y|y=f(x),xA。（2）明白定义中集合B是包括值域，但是值域不一定为集合B。二、求函数定义域（一）求函数定义域的情形和方法总结1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。（1）常见要是满足有意义的情况简总：表达式中出现分式时：分母一定满例1：已知f(x+1)的定义域为-1,1，求f（2x-1）的定义域。解：f(x+1)的定义域为-

3、1,1；（及其中x的取值范围是-1,1） ； （x+1的取值范围就是括号的取值范围）f(x)的定义域为0,2；（f不变，括号的取值范围不变）f(2x-1)中f(2x-1)的定义域为3.复合函数定义域 复合函数形如：,理解复合函数就是可以看作由几个我们熟悉的函数组成的函数，或是可以看作几个函数组成一个新的函数形式。例2：分析：由题目可以看出g(x)是由y=x+1、y=x-2和y=f(x)三个函数复合起来的新函数。此时做加运算，所以只要求出f(x+1)和f(x-2)的定义域，再根据求函数定义域要所有式子同时满足，即只要求出f(x+1)和f(x-2)的定义域的交集即可。解：由f(x)的定义域为（-2

4、,3），则 f(x+1)的定义域为（-3,2），f(x-2)的定义域为（0,4）；，解得0x2所以，g(x)的定义域为（0,2）.（二）求定义域的典型题1.已知函数解析式（1）求下列函数的定义域（2）求下列函数的定义域(3)与函数定义域有关的问题题若函数的定义域为R，求实数m的取值范围。函数的定义域为R，求k的取值范围。函数的定义域为R，求m的取值范围。2.求抽象数定义域若函数f(x)的定义域为（-2,6），求的定义域。若数求函数的定义域。若数求函数的定义域。若函数，求函数g(x)的定义域。若，令F（x）=f(x)-g(x),求F（x）的定义域。二、求函数值域（一）求函数值域方法和情形总结1.

5、直接观察法（利用函数图象）一般用于给出图象或是常见的函数的情形，根据图象来看出y值的取值范围。2.配方法适用于二次函数型或是可以化解成二次函数型的函数，此时注意对称轴的位置，在定义域范围内（以a0为例），此时对称轴的地方为最大值，定义域为内端点离对称轴最远的端点处有最小值；对称轴在定义域的两边则根据单调性来求值域。总结为三个要点：（1）含参数的二次型函数，首先判断是否为二次型，即讨论a；（2）a不为0时，讨论开口方向；（3）注意区间，即讨论对称轴。例1：求解：配方： f(x)的对称轴为x=2在1,5中间（端点5离x=2距离较远，此时为最大值）所以，f(x)的值域为2,11.3.分式型（1）分离

6、常量法：应用于分式型的函数，并且是自变量x的次数为1，或是可以看作整体为1的函数。具体操作：先将分母搬到分子的位子上去，观察与原分子的区别，不够什么就给什么，化为。例2：解：由于分母不可能为0，则意思就是函数值不可能取到，即：函数f(x)的值域为.跟踪练习：已知在x=2处有最大值，求a的取值范围.（2）利用来求函数值域：适用于函数表达式为分式形式，并且只出现形式，此时由于为平方形式大多时候x可以取到任意实数，显然用分离常量法是行不通，只有另想它法（有界变量法）。例3：求函数的值域.解：由于不等于0，可将原式化为 即 （由于） 只需,则有 所以，函数值域. （3）方程根的判别式法：适用于分式形式

7、，其中既出现变量x又出现混合，此时不能化为分离常量，也不能利用上述方法。对于其中定义域为R的情形，可以使用根的判别式法。 例4：求函数的值域 解：由于函数的定义域为R，即 原式可化为 （由于x可以取到任意的实数，那么也就说总有一个x会使得上述方程有实数根，即方程有根那么判别式大于或等于0，注：这里只考虑有无根，并不考虑根为多少） 所以， 所以，函数值域为跟踪练习：求下列函数值域（1） （2） （3） （5）若的定义域为R，值域为，求常数m,n的值（m=n=5） 4.换元法 通过换元将一个复杂的问题简单化更便于求函数值域，一般函数特征是函数解析式中含有根号形式，以及可将问题转换为我们熟悉的函数形式等问题。而换元法其主要是让我们明白一种动态的方法来学习的一种思路，注重换元思维的培养，并不是专一的去解答某类问题，应该多加平时练习。注：换元的时候应及时确定换元后的元的取值范围。例5：求函数的值域 解：令，带入原函数解析式中得 因为， 所以，函数的值域为.跟踪练习：求下列函数的域（1） （2）（3），（令t=）(4)