金学案高中数学北师大版选修12精品学案第四章 数系的扩充与复数代数形式的加减运算及其几何意义.docx

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金学案高中数学北师大版选修12精品学案第四章数系的扩充与复数代数形式的加减运算及其几何意义

第2课时　复数代数形式的加减运算及其几何意义

1.理解复数代数形式的加减运算规律.

2.复数的加减与向量的加减的关系.

重点:

正确理解复数的加减运算,复数加减运算的几何意义.

难点:

对比复数加减法与向量加减法的异同,从而理解复数的几何意义.

实数可以进行加减运算,并且具有丰富的运算律,其运算结果仍是实数;多项式也有相应的加减运算和运算律;对于引入的复数,其代数形式类似于一个多项式,当然它也应有加减运算,并且也有相应的运算律.

问题1:

依据多项式的加法法则,得到复数加法的运算法则.

设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,那么

（a+bi）+（c+di）=　（a+c）+（b+d）i　, 

很明显,两个复数的和仍然是一个确定的复数.

问题2:

复数的加法满足交换律、结合律.

即z1+z2=　z2+z1　,（z1+z2）+z3=　z1+（z2+z3）　. 

问题3:

利用向量加法讨论复数加法的几何意义

向量加法遵循平行四边形法则,在直角坐标系中从横纵坐标上分析就是横纵坐标分别相加.故复数相加就是实部与虚部分别相加得到一个新的复数.

问题4:

如何理解复数的减法?

复数减法是复数加法的逆运算.向量减法遵循三角形法则,在直角坐标系中从横纵坐标上分析就是横纵坐标分别相减.故复数相减就是实部与虚部分别相减得到一个新的复数.

十八世纪末十九世纪初,著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理“任何一元n次方程在复数集内有且仅有n个根”时,就应用并论述了卡尔丹所设想的新数,并首次引进了“复数”这个名词,把复数与平面内的点一一对应起来,创立了复平面,依赖于平面内的点或有向线段（向量）建立了复数的几何基础.这样历经300年的努力,数系从实数系到复数系的扩张才基本完成,复数才被人们广泛承认和使用.

1.设z1=3-4i,z2=-2+3i,则z1-z2在复平面内对应的点位于（　　）.

A.第一象限　　　　　　　　B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【解析】（3-4i）-（-2+3i）=5-7i.

【答案】D

2.（2-i）+（3+i）+（4+i）+（5+i）-i（其中i为虚数单位）等于（　　）.

A.10　　　　B.10+2i　　　　C.14　　　　D.14+2i

【解析】（2-i）+（3+i）+（4+i）+（5+i）-i

=2+3+4+5+（-+1++-）i=14.

【答案】C

3.复数z1=9+3i,z2=-5+2i,则z1-z2=　　　　. 

【解析】z1-z2=（9+3i）-（-5+2i）=14+i.

【答案】14+i

4.已知复数z1=7-6i,z1+z2=-4+3i.

（1）求z2;

（2）求z1-2z2.

【解析】

（1）z2=（z1+z2）-z1=（-4+3i）-（7-6i）=-11+9i.

（2）z1-2z2=（7-6i）-2（-11+9i）=7-6i+22-18i=29-24i.

复数代数形式的加减法运算

（1）z1=2+3i,z2=-1+2i,求z1+z2,z1-z2;

（2）计算:

（+i）+（2-i）-（-i）;

（3）计算:

（1-2i）+（-2+3i）+（3-4i）+（-4+5i）+…+（-2012+2013i）+（2013-2014i）.

【方法指导】依据复数代数形式的加减运算法则以及运算律求解.

【解析】

（1）z1+z2=2+3i+（-1+2i）=1+5i,

z1-z2=2+3i-（-1+2i）=3+i.

（2）+i+（2-i）-（-i）=（+2-）+（-1+）i=1+i.

（3）（法一）原式=[（1-2）+（3-4）+…+（2011-2012）+2013]+[（-2+3）+（-4+5）+…+（-2012+2013）-2014]i=（-1006+2013）+（1006-2014）i=1007-1008i.

（法二）（1-2i）+（-2+3i）=-1+i,

（3-4i）+（-4+5i）=-1+i,

（2011-2012i）+（-2012+2013i）=-1+i,

将以上各式（共1006个）相加可知:

原式=1006（-1+i）+（2013-2014i）=1007-1008i.

【小结】几个复数相加减,运算法则为这些复数的所有实部相加减,所有虚部相加减.

第（3）小题的解法一是从整体上把握,将计算分实部和虚部进行,有机构造特殊数列的和进而求得结果.解法二是从局部入手,抓住了式中相邻两项和的特点,恰当地分组使计算得以简化.

复数代数形式加减运算的几何意义

在复平面内,A、B、C分别对应复数z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i,以AB、AC为邻边作一个平行四边形ABDC,求D点对应的复数z4及AD的长.

【方法指导】根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算.

【解析】如图所示:

对应复数z3-z1,

对应复数z2-z1,

对应复数z4-z1.

由复数加减运算的几何意义得=+,

∴z4-z1=（z2-z1）+（z3-z1）,

∴z4=z2+z3-z1=（5+i）+（3+3i）-（1+i）=7+3i,

∴AD的长为||=|z4-z1|=|（7+3i）-（1+i）|=|6+2i|=2.

【小结】利用向量进行复数的加减运算时,同样满足平行四边形法则和三角形法则.复数加减法运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能.

复数加减运算的综合应用

已知实数a>0,b>0,复数z1=a+5i,z2=3-bi,|z1|=13,|z2|=5,求z1+z2.

【方法指导】利用两复数的模,可求得a,b的值,再求z1+z2.

【解析】由题意得∴

∴z1=12+5i,z2=3-4i,∴z1+z2=15+i.

【小结】本题结合了复数的模与复数的加法,表面看着难,其实难度不大.

复数z1=2+3i,z2=4-5i,z3=-6i,求z1+z2-z3,并说明z1+z2-z3在复平面内对应的点所在的象限.

【解析】z1+z2-z3=（2+3i）+（4-5i）-（-6i）=6+4i,

z1+z2-z3在复平面内对应的点为（6,4）,在第一象限.

如图所示,平行四边形OABC的顶点O、A、C分别表示0、3+2i、-2+4i.求:

（1）表示的复数;

（2）表示的复数;

（3）表示的复数.

【解析】

（1）因为=-,所以表示的复数为-3-2i.

（2）因为=-,所以表示的复数为（3+2i）-（-2+4i）=5-2i.

（3）因为=+,所以表示的复数为（3+2i）+（-2+4i）=1+6i.

已知实数a∈R,复数z1=a+2-3ai,z2=6-7i,若z1+z2为纯虚数,求a的值.

【解析】z1+z2=（a+2-3ai）+（6-7i）=a+8-（3a+7）i,

∵z1+z2为纯虚数,∴∴a=-8.

1.复数z1=-3+4i,z2=6-7i,则z1+z2等于（　　）.

A.3-3i　　B.3+3i　　C.-9+11i　　D.-9-3i

【答案】A

2.复数（3+i）m-（2+i）对应的点在第三象限内,则实数m的取值范围是（　　）.

A.m

C.1

【解析】（3+i）m-（2+i）=（3m-2）+（m-1）i,

∵点（3m-2,m-1）在第三象限,

∴即m<.

【答案】A

3.复数z1=-2+3i,z2=4+3i,则z1-z2=　　　　. 

【解析】z1-z2=（-2+3i）-（4+3i）=-6.

【答案】-6

4.已知a∈R,复数z1=2+（a+2）i,z2=a2+2a-1+3i,

若z1+z2为实数,求z1-z2.

【解析】z1+z2=a2+2a+1+（a+5）i,

∵a∈R,z1+z2为实数,∴a+5=0,∴a=-5,

∴z1=2-3i,z2=14+3i,∴z1-z2=-12-6i.

　　在复平面内,A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.

（1）求向量,,对应的复数;

（2）判断△ABC的形状.

【解析】

（1）=-=（2+i）-1=1+i,

=-=（-1+2i）-1=-2+2i,

=-=（-1+2i）-（2+i）=-3+i,

所以,,对应的复数分别为1+i,-2+2i,-3+i.

（2）因为||2=10,||2=8,||2=2,

所以有||2=||2+||2,

所以△ABC为直角三角形.

1.向量对应的复数是5-4i,向量对应的复数是-5+4i,则+对应的复数是（　　）.

A.-10+8i　　　　　　B.10-8i

C.0D.10+8i

【解析】+对应的复数为5-4i+（-5+4i）=0.

【答案】C

2.复数z1=1-5i,z2=-2+i,则z1-z2在复平面内对应的点在（　　）.

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【解析】z1-z2=（1-5i）-（-2+i）=3-6i,对应的点为（3,-6）,该点位于第四象限.

【答案】D

3.复数z1=5-12i,z2=4+7i,则z1-z2=　　　　. 

【解析】z1-z2=（5-12i）-（4+7i）=1-19i.

【答案】1-19i

4.已知z1=（3x+y）+（y-4x）i,z2=（4y-2x）-（5x+3y）i（x,y∈R）.设z=z1-z2且z=13-2i,求z1,z2.

【解析】z=z1-z2=（3x+y）+（y-4x）i-[（4y-2x）-（5x+3y）i]=[（3x+y）-（4y-2x）]+[（y-4x）+（5x+3y）]i=（5x-3y）+（x+4y）i,又z=13-2i,且x,y∈R,

则解得

故z1=（3×2-1）+（-1-4×2）i=5-9i,

z2=4×（-1）-2×2-[5×2+3×（-1）]i=-8-7i.

5.复平面内点A,B,C对应的复数分别为i,1,4+2i,由A→B→C→D按逆时针顺序作平行四边形ABCD,则||等于（　　）.

A.5　　　B.　　　C.　　　D.

【解析】如图所示,▱ABCD四个顶点对应复数分别为z1=i,z2=1,z3=4+2i,z4,则有=+,=（z1-z2）+（z3-z2）=2+3i,

故||==.

【答案】B

6.已知复数z1,z2,有|z1|=5,|z2|=12,|z1+z2|=13,则|z1-z2|为（　　）.

A.8B.10C.12D.13

【解析】利用向量结合复数分析可知构成的平行四边形为矩形,故对角线相等.

【答案】D

7.已知实数a>0,复数z1=a+2i,z2=3+5i,|z1-z2|=5,则a的值为　　　　. 

【解析】z1-z2=a-3-3i（a∈R）,∵|z1-z2|=5,

∴=25,∴a-3=±4,又a>0,∴a=7.

【答案】7

8.已知f（z）=2z+2-i,z0=1+2i,f（z0-z1）=6-3i,z∈C,求复数z1,f（|z0+z1|）.

【解析】由已知得2z0-2z1+2-i=6-3i,z0=1+2i,

∴2+4i-2z1+2-i=6-3i,

即4+3i-2z1=6-3i,

∴2z1=（4+3i）-（6-3i）=（4-6）+（3+3）i=-2+6i,

∴z1=-1+3i,

∴|z0+z1|=|（1+2i）+（-1+3i）|=|5i|=5,

∴f（|z0+z1|）=f（5）=2×5+2-i=12-i.

9.已知复数z的模为2,则|z-i|的最大值为　　　　. 

【解析】（法一）∵|z|=2,

∴|z-i|≤|z|+|i|=2+1=3.

（法二）设w=z-i,则w+i=z,

∴|w+i|=|z|=2.

w表示以点（0,-1）为圆心,以2为半径的圆,由图知,圆上到原点的距离以|OP|为最大,最大值是3.

【答案】3

10.已知a,b∈R,若复数z1=a+bi,|z1|=4,z2=b-ai,

求|z1+z2|,|z1-z2|.

【解析】∵|z1|=4,∴=4,a2+b2=16.

∵z1+z2=（a+b）+（b-a）i,

∴|z1+z2|====4.

∵z1-z2=（a-b）+（b+a）i,

∴|z1-z2|====4.