毕业论文隐函数定理及其应用.docx

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毕业论文隐函数定理及其应用

摘要

隐函数定理是数学分析和高等数学中的一个重要定理，它不仅是数学分析和高等代数中许多问题的理论基础，并且它也为许多数学分支，如泛函分析、常微分方程、微分几何等的进一步研究提供了坚实的理论依据.隐函数定理有着十分广泛的应用，在经济学、优化理论、条件极值等中均有重要作用.对本课题的研究，可以加深我们对微分学的认识与理解.

本文简略地论述了隐函数的概念、隐函数定理的容与证明方法、以与隐函数定理在各个方面的应用.本文从隐函数定理出发，给出了推论隐函数组定理和反函数组定理以与他们的证明过程.这些推论使隐函数定理的应用更加广泛.并针对隐函数定理在计算导数和偏导数、几何应用、条件极值、以与优化理论这几个方面的应用做了系统的论述.

关键词：

隐函数定理；应用；优化理论；证明

Abstract

Implicitfunctiontheoremofmathematicalanalysisandhighermathematicsisoneoftheimportanttheorem,itisnotonlythemathematicalanalysisandhigheralgebrainthetheoreticalfoundationofthemany,anditalsoformanybranchesofmathematics,suchasfunctionalanalysis,ordinarydifferentialequation,differentialseveralfurtherresearchhowtoprovidethesolidtheoreticalbasis.Implicitfunctiontheoremhasaverywiderangeofapplication,ineconomics,optimizationtheory,suchasextremeconditionswhichisanimportantrole.Thistopicresearch,candeepenourunderstandingofthedifferentialcalculusandunderstanding.

Thispaperbrieflydiscussestheconceptofimplicitfunction,thecontentoftheimplicitfunctiontheoremandprovemethod,andimplicitfunctiontheoreminallaspectsoftheapplication.Thispaper,fromtheimplicitfunctiontheoremaregiven,andthecorollaryofimplicitfunctiontheoremandthegroupFanHanShugrouptheoremandproofoftheirprocess.Theseclaimsthattheapplicationofimplicitfunctiontheoremandmoreextensive.Andinthelightofimplicitfunctiontheoreminthecalculationofthederivativeandpartialderivative,geometricapplication,conditionalextreme,andtheseveralaspectsoptimizationtheoryoftheapplicationofthesystemisalsodiscussedinthepaper.

Keywords:

implicitfunctiontheorem;Application;Optimizationtheory;proof

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绪论

通常我们遇到的函数都是因变量用自变量的一个解析式表示的，这种形式的函数我们称之为显函数.但在许多实际问题中，变量之间的函数关系往往不是用显式形式表示的，而是通过一个或多个方程来确定的，由此便产生了隐函数.隐函数的产生为许多数学问题的解决带来了极大的方便，本文就隐函数的存在性定理、连续性定理、可微性定理做了系统的研究.隐函数定理是高等数学和数学分析中的一个非常重要的定理，它不但是高等数学和数学分析中许多问题的理论基础，并且它也为许多数学分支，如微分几何、常微分方程、泛函分析等的进一步研究提供了坚实的理论依据.隐函数定理的应用围十分广泛，在数学分析、几何、优化理论、条件极值中均有重要作用.对隐函数定理与其应用的研究，可以加深我们对微分学的认识与理解.

现今国外很多学者都在研究隐函数定理与其应用这个课题，也把它的有关知识作为一种工具用于证明、计算其它定理.我国数学家文源、令先教授在1986年出版《隐函数定理》一书，在书中提出许多独到见解，并由隐函数定理得出许多推论.法国数学家扎芒斯凯在1989年出版《普通数学》一书，其中对隐函数定理进行了更深层次的研究.我国学者史艳维在2010年发表期刊《关于隐函数定理和Peano定理的一点注记》，其中给出了隐函数定理的另一种证明方法.我国学者王锋、蕴洁在2005年发表期刊《隐函数定理在经济学比较静态分析中的应用》，更好的诠释了隐函数定理在其他领域的应用.

本文主要论述了隐函数定理与隐函数定理的一些推论，并给出了隐函数定理在计算导数和偏导数、几何应用、条件极值、最优化问题这四个方面上的应用.

第1章隐函数

隐函数与我们以前接触的函数有所不同，它是数学分析中相对于显函数而言的一种函数变现形式.在这一章里，我们将具体地研究隐函数.

1.1隐函数

以前接触的函数（对应关系）多是用自变量的数学表达式表示的，一般称这样的函数为显函数.如，=等.

定义1.1[1]若自变量与因变量之间的对应关系是由某个方程所确定的，即有两个非空数集与，对任意,通过方程对应唯一一个,这种对应关系称为由方程所确定的隐函数.记为，，则成立恒等式

，

例如，二元方程在上确定（从中解得）一个隐函数.

隐函数不一定能写成的形式，如，因此隐函数不一定是函数，而是方程.其实总的来说，函数都是方程，而方程却不一定是函数[2].

1.2隐函数组的概念

定义1.2[3]设和为定义在区域上的两个四元函数，若存在平面区域,对于中每一点，分别在区间和上有唯一一对值,,它们与，一起满足方程组

（1-1）

则称方程组（1-1）确定了两个定义在区域上，值域分别在和的函数，称这两个函数为方程组（1-1）所确定的隐函数组.若分别记这两个函数为，则在上成立恒等式

，

1.3反函数组的概念

定义1.3[4]设有函数组

，（1-2）

如果能从此函数组（1-2）中，把，分别用，的二元函数表示出来，即

，（1-3）

则称（1-3）为函数组（1-2）的反函数组.

第2章隐函数定理

在第一章中我们已经介绍了隐函数的概念，设有方程，那么在什么条件下，此方程能确定一个隐函数？

在本章里，我们将讨论隐函数的存在性、连续性与可微性，不仅是出于深刻了解这类函数本身的需要，同时又为后面研究隐函数组的存在性问题打好了基础.

2.1隐函数定理

定理2.1[5]若函数满足下列条件

（1）

（2）在点的一个邻域中,函数连续

（3）

则有下列结论成立：

①在点的某个邻域,方程唯一确定了一个定义在某区间的隐函数，满足且；

②在区间连续；

③在区间具有连续的导数，满足

证为了不失一般性，不妨设.

首先证明隐函数的存在性与惟一性.

由，我们知道是连续的，由的连续性与局部保号性可知，存在闭矩形域

有

所以，对任意的，在上严格单调增加.

因为，所以可得

又由于在上是连续的，所以存在，使得

所以，对于每一个固定的，在上都是严格单调增加的连续函数，并且有

因为零点存在定理，存在惟一的，使得.因此由与的对应关系就确定了一个函数，其定义域为，值域包含于，记为：

从而结论①得以证明.

其次证明隐函数的连续性.

任意取，对于任意给定的充分小的，可以得到

因为连续函数的保号性可知，存在，当时，有

因此，当时，由关于的单调性，相应于的隐函数值满足，于是，即，所以在连续.

最后证明隐函数的可微性.

任取和都属于，它们相对应的隐函数值为和，那么

由多元函数微分中值定理，可得

在这里，.因此，当充分小时

.

因为和是连续的，取极限可得

且在连续.

相应的，我们能够得出由方程所确定的元隐函数的存在定理：

定理2.2[6]如果满足下列条件

（1）；

（2）在点的一个邻域,函数连续；

（3），

那么则有以下结论成立：

①在点的某个邻域,方程惟一确定了一个定义在点某邻域的隐函数，满足，且；

②在邻域连续；

③在邻域具有连续的偏导数，满足

.

例2.1验证方程在原点的某邻域确定唯一的连续函数.

证由于与都在上连续，当然在点的邻域连续，且

由此可知方程在点的某邻域确定唯一连续的隐函数.

2.2隐函数组定理

下面我们将给出由方程组所确定的隐函数组的存在定理.

定理2.3[7]设以与它们的一阶偏导数在以点为点的某区域连续，且满足

（1）

（2）

则方程组在的某邻域唯一确定两个隐函数，，有下列结论成立：

①，则有

②在邻域具有连续的一阶偏导数，且

例2.2[8]验证方程组在点的邻域确定隐函数组，并求，.

解令，

则：

与以与它们的一阶偏导数都连续

且，

所以由隐函数组定理可知题设方程组确定隐函数组

在方程两端同时对求导得

解得，

2.3反函数组定理

定理2.4[9]若函数组满足如下条件：

（1）均具有连续的偏导数

（2）

则函数组可确定唯一的具有连续偏导数的反函数组

且有

，，，

与或

定理2.5若函数组满足如下条件：

（1）均具有连续的偏导数

（2）

则此函数组可确定唯一的具有连续偏导数的反函数组

且有

例2.2[10]在中的一点，其直角坐标与相应球坐标的变换公式为

其中，则函数组（除去轴上的点）可确定反函数组.

证由于

由反函数组定理，函数组（除去轴上的点）可确定分别是的函数，事实上，函数组的反函数组为，，.

第3章隐函数定理的应用

3.1计算导数和偏导数

3.1.1隐函数的导数[11]

设方程确定一个单值可导函数，将代入方程得恒等式，在恒等式两边对求导，便得到一个含有的方程，解出就求出了隐函数的导数，在恒等式两边对求导时，必须注意是的函数，要利用复合函数求导法.

例3.1求由方程所确定的隐函数对的导数.

解我们在方程两端对求导，注意是的函数，于是则是的复合函数，运用复合函数求导法可得所以.

3.1.2隐函数组的导数[12]

对方程组的各个方程两边对某自变量求导，遇见因变量就把它看作自变量的函数，最后解方程组，就可得到隐函数对各个自变量的导数或偏导数.

例3.2求函数的偏导数.

解

（1）当时，有

（