一级倒立摆实验状态反馈.docx

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一级倒立摆实验状态反馈

第1章倒立摆系统介绍

1.1倒立摆系统简介

倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。

最初研究开始于二十世纪50年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。

近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。

倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。

由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。

平面倒立摆可以比较真实的模拟火箭的飞行控制和步行机器人的稳定控制等方面的研究。

1.2倒立摆分类

倒立摆已经由原来的直线一级倒立摆扩展出很多种类，典型的有直线倒立摆，环形倒立摆，平面倒立摆和复合倒立摆等，倒立摆系统是在运动模块上装有倒立摆装置，由于在相同的运动模块上可以装载不同的倒立摆装置，倒立摆的种类由此而丰富很多，按倒立摆的结构来分，有以下类型的倒立摆：

1）直线倒立摆系列

直线倒立摆是在直线运动模块上装有摆体组件，直线运动模块有一个自由度，小车可以沿导轨水平运动，在小车上装载不同的摆体组件，可以组成很多类别的倒立摆，直线柔性倒立摆和一般直线倒立摆的不同之处在于，柔性倒立摆有两个可以沿导轨滑动的小车，并且在主动小车和从动小车之间增加了一个弹簧，作为柔性关节。

直线倒立摆系列产品如图1-1所示。

2）环形倒立摆系列

环形倒立摆是在圆周运动模块上装有摆体组件，圆周运动模块有一个自由度，可以围绕齿轮中心做圆周运动，在运动手臂末端装有摆体组件，根据摆体组件的级数和串连或并联的方式，可以组成很多形式的倒立摆。

如图1-2所示。

3）平面倒立摆系列

平面倒立摆是在可以做平面运动的运动模块上装有摆杆组件，平面运动模块主要有两类：

一类是XY运动平台，另一类是两自由度SCARA机械臂；摆体组件也有一级、二级、三级和四级很多种。

如图1-3所示

4）复合倒立摆系列

复合倒立摆为一类新型倒立摆，由运动本体和摆杆组件组成，其运动本体可以很方便的调整成三种模式，一是2）中所述的环形倒立摆，还可以把本体翻转90度，连杆竖直向下和竖直向上组成托摆和顶摆两种形式的倒立摆。

按倒立摆的级数来分：

有一级倒立摆、两级倒立摆、三级倒立摆和四级倒立摆，一级倒立摆常用于控制理论的基础实验，多级倒立摆常用于控制算法的研究，倒立摆的级数越高，其控制难度更大，目前，可以实现的倒立摆控制最高为四级倒立摆。

图1-1直线倒立摆系列

图1-2环形倒立摆系列

图1-3平面倒立摆系列

图1-4复合倒立摆

1.3倒立摆的特性

虽然倒立摆的形式和结构各异，但所有的倒立摆都具有以下的特性:

1）非线性

倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近似模型，线性化处理后再进行控制。

也可以利用非线性控制理论对其进行控制。

倒立摆的非线性控制正成为一个研究的热点。

2）不确定性

主要是模型误差以及机械传动间隙，各种阻力等，实际控制中一般通过减少各种误差来降低不确定性，如通过施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差，利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定因素。

3）耦合性

倒立摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，在倒立摆的控制中一般都在平衡点附近进行解耦计算，忽略一些次要的耦合量。

4）开环不稳定性

倒立摆的平衡状态只有两个，即在垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为绝对不稳定的平衡点，垂直向下为稳定的平衡点。

5）约束限制

由于机构的限制，如运动模块行程限制，电机力矩限制等。

为了制造方便和降低成本，倒立摆的结构尺寸和电机功率都尽量要求最小，行程限制对倒立摆的摆起影响尤为突出，容易出现小车的撞边现象。

1.4控制器设计方法

控制器的设计是倒立摆系统的核心内容，因为倒立摆是一个绝对不稳定的系统，为使其保持稳定并且可以承受一定的干扰，需要给系统设计控制器，目前典型的控制器设计理论有：

PID控制、根轨迹以及频率响应法、状态空间法、最优控制理论、模糊控制理论、神经网络控制、拟人智能控制、鲁棒控制方法、自适应控制，以及这些控制理论的相互结合组成更加强大的控制算法。

倒立摆系统的组成框图如下图所示。

系统包括计算机、运动控制卡、伺服机构、倒立摆本体和光电码盘几大部分，组成了一个闭环系统。

光电码盘1将小车的位移、速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，下面一节摆杆（和小车相连）的角度、角速度信号由光电码盘2反馈回控制卡和伺服驱动器。

计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策（小车向哪个方向移动、移动速度、加速度等），并由运动控制卡来实现该控制决策，产生相应的控制量，使电机转动，带动小车运动，保持摆杆的平衡。

第2章直线一级倒立摆建模

2.1直线一级倒立摆

直线一级倒立摆由直线运动模块和一级摆体组件组成，是最常见的倒立摆之一，见图1-1。

2.1.1直线一级倒立摆的物理模型

系统建模可以分为两种：

机理建模和实验建模。

实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。

这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。

机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系。

对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。

但是忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。

下面我们采用其中的牛顿－欧拉方法和拉格朗日方法分别建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。

2.1.1.1微分方程的推导

2.1.1.1.1牛顿力学方法

在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图2-1所示。

我们不妨做以下假设：

M小车质量

m摆杆质量

b小车摩擦系数

l摆杆转动轴心到杆质心的长度

I摆杆惯量

F加在小车上的力

x小车位置

图2-1直线一级倒立摆模型

φ摆杆与垂直向上方向的夹角

θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）

图是系统中小车和摆杆的受力分析图。

其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

注意：

在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。

图2-2小车及摆杆受力分析

分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：

（2-1）

由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：

（2-2）

即：

（2-3）

把这个等式代入式（2-1）中，就得到系统的第一个运动方程：

（2-4）

为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，

可以得到下面方程：

（2-5）

（2-6）

力矩平衡方程如下：

（2-7）

注意：

此方程中力矩的方向，由于

，

，

，故等式前面有负号。

合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：

（2-8）

设

（

是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设

与1（单位是弧

度）相比很小，即

<<1，则可以进行近似处理：

，

，

。

用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下：

（2-9）

对式（3-9）进行拉普拉斯变换，得到

（2-10）

注意：

推导传递函数时假设初始条件为0。

由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可以得到：

（2-11）

或

（2-12）

如果令

，则有：

（2-13）

把上式代入方程组的第二个方程，得到：

（2-14）

整理后得到传递函数：

（2-15）

其中

设系统状态空间方程为：

方程组对

，

解代数方程，得到解如下：

（2-16）

整理后得到系统状态空间方程：

（2-17）

由（2-9）的第一个方程为：

（2-18）

对于质量均匀分布的摆杆有：

（2-19）

于是可以得到：

（2-20）

化简得到：

（2-21）

设

，

则有：

（2-22）

另外，也可以利用MATLAB中tf2ss命令对（2-13）式进行转化，求得上述状态方程。

2.1.1.2系统物理参数

实际系统的模型参数如下:

M小车质量1.096Kg

m摆杆质量0.109Kg

b小车摩擦系数0.1N/m/sec

l摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25m

I摆杆惯量0.0034kg*m*m

实验一状态反馈实时控制

一、实验目的

1、掌握状态反馈的设计方法；

2、会根据系统需求设计状态反馈；

二、实验要求

1、设计直线一级倒立摆状态反馈调节器；

2、测试系统性能指标；

三、实验设备

1、直线一级倒立摆；

2、计算机MATLAB平台；

四、实验原理

1、状态方程的建立：

在忽略了空气阻力、各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统：

实验所使用的直线一级倒立摆系统是以加速度作为系统的控制输入，根据经典力学理论建立一级倒立摆系统的状态方程为（将实际参数代入）：

2、直线一级倒立摆系统稳定性分析

系统的特征方程：

系统的四个特征根为[00-5.425.42]，由于有一个特征根在s右半平面，系统是不稳定的，必须设计相应的控制系统，才可使系统稳定，如状态反馈调节器等。

3、直线一级倒立摆系统可控性分析

能控性矩阵：

可求得其秩为4，直线一级倒立摆系统完全能控。

4、状态反馈设计

状态反馈的实现是利用状态反馈使系统的闭环极点位于所希望的极点位置。

而状态反馈任意配置闭环极点的充分必要条件是被控系统可控。

原系统的状态空间表达式为

状态反馈控制律为

式中r—r×1参考输入；

K—r×n状态反馈阵。

状态反馈闭环系统的状态空间表达式为

计算反馈矩阵K。

按极点配置步骤进行计算。

1）检验系统可控性，系统可控。

2）计算特征值。

根据调整时间和超调量的要求，并留有一定的裕量，选取期望的闭环极点。

3）期望的特征多项式与系统的特征多项式

相等，求出K阵。

以上计算也可以采用MATLAB编程计算。

symsasbk1k2k3k4;

A=[0100;0000;0001;0029.40];

B=[0;1;0;3];

ss=[s000;0s00;00s0;000s];

K=[k1k2k3k4];

J=[-10000;0-1000;00-4-2*sqrt（3）*i0;000-4+2*sqrt（3）*i];

ans=A-B*K;

P=poly（ans）

PJ=poly（J）

P=

x^4+3*x^3*k4-147/5*x^2+3*x^2*k3+k2*x^3-147/5*x*k2+k1*x^2-147/5*k1

PJ=

12828813602800

A=[0100;0000;0001;0029.40];

B=[0;1;0;3];

P=[-10-10-4-2*sqrt（3）*i-4+2*sqrt（3）*i];

K=acker（A,B,P）

K=-95.2381-46.2585137.546024.7528

A=[0100;0000;0001;0029.40]

B=[0;1;0;3]

P=[-10-10.0001-4-2*sqrt（3）*i-4+2*sqrt（3）*i]

K=place（A,B,P）

K=-95.2390-46.2589137.546924.7530

（1）调节时间保持2S,期望极点为

clear;

A=[0100;0000;0001;0029.40];

B=[0103]';

C=[1000;0010];

D=[00]';

J=[-10000;0-1000;00-4-2*sqrt（3）*i0;000-4+2*sqrt（3）*i];

pa=poly（A）;pj=poly（J）;

M=[BA*BA^2*BA^3*B];

W=[pa（4）pa（3）pa

（2）1;pa（3）pa

（2）10;pa

（2）100;1000];

T=M*W;

K=[pj（5）-pa（5）pj（4）-pa（4）pj（3）-pa（3）pj

（2）-pa

（2）]*inv（T）

Ac=[（A-B*K）];

Bc=[B];Cc=[C];Dc=[D];

T=0:

0.005:

5;

U=0.2*ones（size（T））;

Cn=[1000];

[Y,X]=lsim（Ac,Bc,Cc,Dc,U,T）;

plot（T,X（:

1）,'-'）;holdon;

plot（T,X（:

2）,'-.'）;holdon;

plot（T,X（:

3）,'.'）;holdon;

plot（T,X（:

4）,'-'）

legend（'CartPos','CartSpd','PendAng','PendSpd'）

K=-95.2381-46.2585137.546024.7528

（2）令调节时间为4.5S,期望极点为

K=-44.2177-15.646375.539212.5488

五、极点配置控制实验

实验步骤如下：

1）进入MATLABSimulink中

“\\matlab6p5\toolbox\GoogolTech\InvertedPendulum\LinearInvertedPendulum,”目录，打开直线一级倒立摆状态空间极点配置控制程序如下：

（进入MATLABSimulink实时控制工具箱“GoogolEducationProducts”打开“InvertedPendulum\LinearInvertedPendulum\Linear1-StageIPExperiment\PolesExperiments”中的“PolesControlDemo”

图2-51直线一级倒立摆状态空间极点配置实时控制程序

2）点击“Controller”模块设置控制器参数，把前面仿真结果较好的参数输入到

模块中：

点击“OK”完成设定。

3）点击

编译程序，完成后点击

使计算机和倒立摆建立连接。

4）点击

运行程序，检查电机是否上伺服，如果没有上伺服，请参见直线倒立摆使用手册相关章节。

提起倒立摆的摆杆到竖直向上的位置，在程序进入自动控制后松开。

5）双击“Scope”观察实验结果如下图所示：

图2-52直线一级倒立摆状态空间极点配置实时控制结果（平衡）

可以看出，系统可以在很小的振动范围内保持平衡，小车振动幅值约为0.01m，摆杆振动的幅值约为0.03弧度，注意，不同的控制参数会有不同的控制结果。

在给定倒立摆新的位置后，系统如响应如下图所示：

图2-53直线一级倒立摆状态空间极点配置实时控制结果

从上图可以看出，系统稳定时间约为2秒，达到设计要求。

六、实验报告

上机实验并记录实验结果，完成实验报告。

一级倒立摆仿真实验

实验二一级倒立摆状态变量的时间响应

一、实验目的

1．掌握用MATLAB方法对系统进行设计和仿真；

2、学会用Simulink软件仿真方法，对系统进行仿真。

二、实验内容

1、系统的状态空间模型为：

2、用Simulink软件仿真系统阶跃响应。

三、实验步骤

1、按数学模型画出的系统状态图如图1-1所示。

2、按状态变量图（图1-1）做出Simulink仿真模型如图1-2所示。

3、设置仿真参数（参照讲义6.5节）。

启动仿真过程，得到的响应波形如图1-3所示。

四.实验波形分析

五.实验报告

1.用解析法求出原系统的单位阶跃响应表达式，分析系统的响应性能。

2.完善实验步骤。

3.整理实验数据和波形记录，比较仿真结果与解析结果的区别。

4.总结Simulink用于状态变量图仿真的特点和基本方法。

实验三.一级倒立摆状态反馈设计及时间响应

一、实验目的

1．掌握按希望的极点设计状态反馈阵K的方法；

2、用MATLAB方法仿真状态反馈系统，分析其响应性能和各状态变量的变化。

二、实验内容

1、系统的状态空间模型为：

设计状态反馈阵K，使闭环极点

2、用MATLAB程序进行状态反馈设计；

3、用Simulink仿真闭环系统阶跃响应，分析各状态变量的变化。

三、实验步骤

1、设计状态反馈阵K:

2、画出状态反馈的闭环系统结构图如图2-1所示

3、按图2-1做出Simulink结构图如图2-2所示。

四.实验波形分析

五.实验报告

1、从理论上计算按希望极点配置的状态反馈阵，用MATLAB函数验证设计结果的正确性。

2.完善实验步骤。

3、整理实验记录波形。

4、分析状态反馈对系统动态和静态的影响，归纳静态增益的补偿原则。