人教版八年级数学上册第十三章 轴对称 几何综合题专题练习题 教师版.docx

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人教版八年级数学上册第十三章轴对称几何综合题专题练习题教师版

人教版八年级数学上册第十三章轴对称几何综合题专题练习题

专题

（1）　等腰三角形的性质与全等三角形综合

1.如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE.求证：

AD＝AE.

证明：

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C.

在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE（SAS）.

∴AD＝AE.

2.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，CD，BE是两腰上的中线，求证：

CD＝BE.

证明：

∵CD，BE是两腰上的中线，

∴AD＝AE.

在△ADC和△AEB中，

∴△ADC≌△AEB（SAS）.

∴CD＝BE.

3.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E，F分别是AB，AC的延长线上的点，且BE＝CF.求证：

DE＝DF.

证明：

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴∠DAE＝∠DAF.

又∵BE＝CF，

∴AB＋BE＝AC＋CF.

即AE＝AF.

在△ADE和△ADF中，

∴△ADE≌△ADF（SAS）.

∴DE＝DF.

4.已知：

如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，且∠ABO＝∠ACO.求证：

（1）∠1＝∠2；

（2）OA⊥BC.

证明：

（1）∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB.

∵∠ABO＝∠ACO，∴∠1＝∠2.

（2）∵∠1＝∠2，

∴OB＝OC.

在△ABO和△ACO中，

∴△ABO≌△ACO（SAS）.

∴∠BAO＝∠CAO.

∴AO平分∠BAC.

∵△ABC是等腰三角形，

∴OA⊥BC.

5.如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别为边BC，AB，AC上的点，且BE＝CD，CF＝BD.

（1）试说明：

△BDE与△CFD全等的理由；

（2）若∠A＝40°，求∠EDF的度数.

解：

（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.

在△BDE和△CFD中，

∴△BDE≌△CFD（SAS）.

（2）∵∠A＝40°，∴∠B＝∠C＝70°.

∵△BDE≌△CFD，

∴∠BED＝∠CDF.

∵∠EDC＝∠B＋∠BED，

∴∠EDF＝∠B＝70°.

6.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，EF＝BE.

（1）△AEF与△CEB全等吗？

请说明理由；

（2）说明AF＝2BD的理由.

解：

（1）全等.

理由：

∵AD⊥BC，

∴∠B＋∠BAD＝90°.

∵CE⊥AB，

∴∠B＋∠BCE＝90°，∠AEF＝∠BEC＝90°.

∴∠EAF＝∠ECB，∠AEF＝∠BEC.

又∵BE＝EF，

∴△AEF≌△CEB（AAS）.

（2）∵△AEF≌△CEB，∴AF＝BC.

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BC＝2BD.

∴AF＝2CD.

7.已知，如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D是BC上一点，点E，F分别在AB，AC上，BD＝CF，CD＝BE，G为EF的中点，问：

（1）△BDE与△CFD全等吗？

请说明理由；

（2）判断DG与EF的位置关系，并说明理由.

解：

（1）△BDE与△CFD全等，

理由：

∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.

在△BDE和△CFD中，

∴△BDE≌△CFD（SAS）.

（2）DG⊥EF.理由：

∵△BDE≌△CFD，

∴DE＝DF.

∵G是EF的中点，

∴DG⊥EF.

8.在等腰△OAB和等腰△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，连接AC，BD交于点M.

（1）如图1，若∠AOB＝∠COD＝40°：

①AC与BD的数量关系为AC＝BD；

②∠AMB的度数为40°.

（2）如图2，若∠AOB＝∠COD＝90°：

①判断AC与BD之间存在怎样的数量关系？

并说明理由；

②求∠AMB的度数.

解：

（2）①AC＝BD，理由如下：

∵∠AOB＝∠COD＝90°，

∴∠AOB＋∠AOD＝∠COD＋∠AOD.

∴∠BOD＝∠AOC，

在△BOD和△AOC中，

∴△BOD≌△AOC（SAS）.

∴BD＝AC.

②设OA，BD相交于点E.

∵△BOD≌△AOC，

∴∠OBD＝∠OAC.

又∵∠AEM＝∠BEO，

∴∠AMB＝∠AOB＝90°.

专题

（2）　角的平分线与线段的垂直平分线

1.如图，已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F.求证：

∠BAF＝∠ACF.

证明：

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAD＝∠DAC.

∵FE是AD的垂直平分线，

∴FA＝FD.

∴∠FAD＝∠FDA.

∵∠BAF＝∠FAD＋∠BAD，

∠ACF＝∠FDA＋∠DAC，

∴∠BAF＝∠ACF.

2.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，AD为∠BAC的平分线.求证：

点D在线段AB的垂直平分线上.

证明：

作DE⊥AB于点E，则∠AED＝90°.

∵∠C＝90°，

∴∠AED＝∠C.

∵AD为∠BAC的平分线，

∴∠EAD＝∠CAD.

在△AED和△ACD中，

∴△AED≌△ACD（AAS）.∴AE＝AC.

∵AB＝2AC，∴AB＝2AE.∴BE＝AE.

又∵DE⊥AB，

∴DE是线段AB的垂直平分线，

即点D在线段AB的垂直平分线上.

3.如图，在△ABC中，∠A＝60°，点D是BC边的中点，DE⊥BC，∠ABC的平分线BF交DE于△ABC内一点P，连接PC.

（1）若∠ACP＝24°，求∠ABP的度数；

（2）若∠ACP＝m°，∠ABP＝n°，请直接写出m，n满足的关系式m＋3n＝120.

解：

∵点D是BC边的中点，DE⊥BC，

∴PB＝PC.

∴∠PBC＝∠PCB.

∵BP平分∠ABC，

∴∠PBC＝∠ABP.

∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP.

∵∠A＝60°，∠ACP＝24°，

∴∠PBC＋∠PCB＋∠ABP＝180°－60°－24°.

∴3∠ABP＝96°.

∴∠ABP＝32°.

4.如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于点P，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E.求证：

BD＝CE.

证明：

连接BP，CP.

∵点P在BC的垂直平分线上，

∴BP＝CP.

∵AP是∠DAC的平分线，

PD⊥AB，PE⊥AC，

∴DP＝EP.

在Rt△BDP和Rt△CEP中，

∴Rt△BDP≌Rt△CEP（HL）.

∴BD＝CE.

专题（3）　特殊三角形中常见辅助线的作法

1.如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于点E，且BE＝

BC.若∠EAB＝20°，则∠BAC＝40°.

2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，DE＝2，则BC的长为12.

3.如图，四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，则CD＝2.

4.如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C.若EC＝1，则OF＝2.

5.如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：

EB⊥AB.

证明：

作EF⊥AC于点F.

∵EA＝EC，

∴AF＝FC＝

AC.

∵AC＝2AB，∴AF＝AB.

∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.

在△ABE和△AFE中，

∴△ABE≌△AFE（SAS）.

∴∠ABE＝∠AFE＝90°.∴EB⊥AB.

6.如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，OE⊥OF分别交AC，BC于点E，F.求证：

OE＝OF.

证明：

连接OC.

∵AC＝BC，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，

∴∠B＝∠ACO＝∠BCO＝45°，CO⊥AB.

∴OC＝OB，∠COB＝90°.

又∵∠EOF＝90°，∴∠EOC＝∠FOB.

在△EOC和△FOB中，

∴△EOC≌△FOB（ASA）.∴OE＝OF.

7.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，DE⊥AC于点E，AE＝2，求CE的长.

解：

连接AD.

∵AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，

∴∠DAC＝

∠BAC＝60°，∠ADC＝90°.

∵DE⊥AC，∴∠ADE＝90°－60°＝30°.

∴AD＝2AE＝4.

又∵∠C＝90°－∠DAC＝30°，

∴AC＝2AD＝8.

∴CE＝AC－AE＝8－2＝6.

8.如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，BD⊥BC于点B，∠ABD＝30°，求证：

AB＝2BC.

证明：

作AM⊥BD，交BD延长线于点M.

∵在Rt△ABM中，∠ABD＝30°，

∴AB＝2AM.

∵BD为AC边上的中线，∴AD＝CD.

∵DB⊥BC，AM⊥BD，∴∠DBC＝∠M＝90°.

在△BCD和△MAD中，

∴△BCD≌△MAD（AAS）.

∴BC＝AM.

∴AB＝2BC.