设最后离开磁场的粒子的发射方向与y轴正方向的夹角为α，由几何关系得：
，
且
解得：
这类题作图要讲一个小技巧——按粒子偏转方向移动圆心作图。
【练习2】如图所示，在正方形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场。
在t=0时刻，一位于ad边中点O的粒子源在abcd平面内发射出大量的同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与Od边的夹角分布在0～180°范围内。
已知沿Od方向发射的粒子在t=t0时刻刚好从磁场边界cd上的p点离开磁场，粒子在磁场中做圆周运动的半径恰好等于正方形边长L，粒子重力不计，求：
（1）粒子的比荷q/m；
（2）假设粒子源发射的粒子在0～180°范围内均匀分布，此时刻仍在磁场中的粒子数与粒子源发射的总粒子数之比；
（3）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。
图甲图乙
【分析】以L为半径、O点为圆心作“圆心圆”（如图甲）；由于粒子逆时针偏转，从最下面的轨迹开始画起（轨迹①），在“圆心圆”取不同点为圆心、以L为半径作出一系列圆（如图乙）；其中轨迹①与轨迹④对称，在磁场中运动时间相同；轨迹②并不经过c点，轨迹②对应弦长短于轨迹③对应弦长——即沿轨迹③运动的粒子最后离开磁场。
【解答】
（1）初速度沿Od方向发射的粒子在磁场中运动的轨迹如图，其圆心为n，由几何关系有：
粒子做圆周运动的向心力由洛仑兹力提供，根据牛顿第二定律得
，
得
（2）依题意，同一时刻仍在磁场中的粒子到O点距离相等。
在t0时刻仍在磁场中的粒子应位于以O为园心，Op为半径的弧pw上。
由图知
此时刻仍在磁场中的粒子数与总粒子数之比为5/6
（3）在磁场中运动时间最长的粒子的轨迹应该与磁场边界b点相交，设此粒子运动轨迹对应的圆心角为θ，则
在磁场中运动的最长时间
所以从粒子发射到全部离开所用时间为
。
类型三：
已知入射点和出射点，但未知初速度大小（即未知半径大小）和方向
这类问题的特点是：
所有轨迹圆圆心均在入射点和出射点连线的中垂线上。
【例3】如图所示，无重力空间中有一恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy平面向外，大小为B，沿x轴放置一个垂直于xOy平面的较大的荧光屏，P点位于荧光屏上，在y轴上的A点放置一放射源，可以不断地沿平面内的不同方向以大小不等的速度放射出质量为m、电荷量+q的同种粒子，这些粒子打到荧光屏上能在屏上形成一条亮线，P点处在亮线上，已知OA＝OP＝l，求：
（1）若能打到P点，则粒子速度的最小值为多少？
（2）若能打到P点，则粒子在磁场中运动的最长时间为多少？
【分析】粒子既经过A点又经过P点，因此AP连线为粒子轨迹圆的一条弦，圆心必在该弦的中垂线OM上（如图甲）。
在OM上取不同点为圆心、以圆心和A点连线长度为半径由小到大作出一系列圆（如图乙），其中轨迹①对应半径最小，而轨迹②对应粒子是O1点上方轨道半径最大的，由图可知其对应圆心角也最大。
【解答】
（1）粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，设粒子的速度大小为v时，其在磁场中的运动半径为R，则由牛顿第二定律有：
qBv＝m
若粒子以最小的速度到达P点时，其轨迹一定是以AP为直径的圆（如图中圆O1所示）由几何关系知：
sAP=
R＝
则粒子的最小速度v＝
（2）粒子在磁场中的运动周期T＝
设粒子在磁场中运动时其轨迹所对应的圆心角为θ，则粒子在磁场中的运动时间为：
由图可知，在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹如图中圆O2所示，此时粒子的初速度方向竖直向上，则由几何关系有：
则粒子在磁场中运动的最长时间：
类型四：
已知初、末速度的方向（所在直线），但未知初速度大小（即未知轨道半径大小）
这类问题的特点是：
所有轨迹圆的圆心均在初、末速度延长线形成的角的角平分线上。
【例4】在xOy平面上的某圆形区域内，存在一垂直纸面向里的匀强磁
场，磁感应强度大小为B.一个质量为m、带电量为+q的带电粒子，由原点O
开始沿x正方向运动，进入该磁场区域后又射出该磁场；后来，粒子经过y
轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30°（如图所示），已知P到O的距
离为L，不计重力的影响。
（1）若磁场区域的大小可根据需要而改变，试求粒子速度的最大可能值；
（2）若粒子速度大小为
，试求该圆形磁场区域的最小面积。
【分析】初、末速度所在直线必定与粒子的轨迹圆相切，轨迹圆圆心到两条直线的距离（即轨道半径）相等，因此，圆心必位于初、末速度延长线形成的角的角平分线QC上（如图甲）；在角平分线QC上取不同的点为圆心，由小到大作出一系列轨迹圆（如图乙），其中以C点为圆心轨迹①是可能的轨迹圆中半径最大的，其对应的粒子速度也最大。
【解答】过P点作末速度所在直线，交x轴于Q点，经分析可知，粒子在磁场中作圆周运动的轨迹的圆心必在
的角平分线QC上，如图甲所示。
设粒子在磁场中作匀速圆周运动的轨道半径为r，则由牛顿第
二定律，有
则
①
由此可知粒子速度越大，其轨道半径越大，由图乙可知，速度
最大的粒子在磁场中运动轨迹的圆心是y轴上的C点。
（1）如图丙所示，速度最大时粒子的轨迹圆过O点、且与PQ
相切于A点。
由几何关系有
，
，
可得
②由①、②求得
③
（2）将
代入①式，可得
，粒子的运动轨迹是如图丁所示的轨迹圆②，该轨迹圆与x轴相切于D点、与PQ相切于E点。
连接DE，由几何关系可知
由于D点、E点必须在磁场内，即线段DE在磁场内，故可知
磁场面积最小时必定是以DE为直径（如图丁中③所示）。
即面积最
小的磁场半径为
则磁场的最小面积为
类型五：
已知初速度的大小（即已知轨道半径大小）和方向，但入射点不确定
这类问题的特点是：
所有轨迹圆的圆心均在将入射点组成的边界沿垂直入射速度方向平移一个半径距离的曲线上。
【例5】如图所示，长方形abcd的长ad=0.6m，宽ab=0.3m，O、e分别是ad、bc的中点，以e为圆心eb为半径的圆弧和以O为圆心Od为半径的圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（eb边界上无磁场）磁感应强度B=0.25T。
一群不计重力、质量m=3×10-7kg、电荷量q=+2×10-3C的带正电粒子以速度v=5×l02m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射入磁场区域，则下列判断正确的是（D）
A.从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边
B.从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边
C.从Od边射入的粒子，出射点分布在ab边
D.从ad边射人的粒子，出射点全部通过b点
【分析】所有进入磁场的粒子的入射点均在dOb线上，将该曲线垂直速度向上平移一个半径
后得到曲线Oaf，此即所有粒子在磁场中做圆周运动的圆心所在曲线，在该曲线上从下到上取点作为圆心、
为半径作一系列轨迹圆，其中①为从d点射入粒子的轨迹（圆心在O点），②为从O点射入粒子的轨迹（圆心在a点），③为从a点射入粒子的轨迹，从d、O之间入射粒子在磁场中转过1/4圆周后沿eb边界作直线运动最终汇聚于b点，从O、a之间入射粒子先作直线运动再进入磁场做圆周运动，由作图易知这些粒子也汇聚于b点。
【练习5】如图所示，在xOy平面内有一半径为R、与x轴相切于原点的圆形区域，该区域内有垂直于xOy平面的匀强磁场。
在圆的左边00）和初速度v的带电微粒沿x轴正方向射向该区域，其中沿半径AO'方向进入磁场区域的带电微粒经磁场偏转后，从坐标原点O沿y轴负方向离开。
（1）求磁感应强度B的大小和方向。
（2）请指出这束带电微粒与x轴相交的区域，并说明理由。
【分析】
（1）从A点进入磁场区域的微粒轨迹圆心在A点正下方相距R的C处，微粒轨迹如图所示，可知微粒轨迹半径为
；
（2）所有这些微粒进入磁场后做圆周运动的圆心均在如图所示半圆虚线O'CD上，在该曲线上由上到下取点作为圆心、以R为半径作一系列轨迹圆，易由图可知这些微粒均与x轴相交于原点——因为圆心所在曲线半圆O'CD的圆心是原点O。
【答案】
（1）
，方向垂直xOy平面向外；
（2）这束微粒均与x轴相交于原点。
类型六：
已知初速度方向（所在直线）和出射点，但入射点不确定
这类问题的特点是：
所有轨迹圆的圆心均在“以初速度所在直线为准线、出射点为焦点的抛物线”上。
【例6】如图所示，现有一质量为m、电量为e的电子从y轴上的P（0，a）点以初速度v0平行于x轴射出，在y轴右侧某一圆形区域加一垂直于xoy平面向里匀强磁场，磁感应强度大小为B.为了使电子能从x轴上的Q（b，0）点射出磁场。
试求满足条件的磁场的最小面积，并求出该磁场圆圆心的坐标。
【分析】本题中，电子初速度所在直线已知，电子进入磁场的入射点在该直线上，则可知电子在磁场中作圆周运动的轨迹圆与该直线相切、且经过Q点，所以电子轨迹圆圆心到该直线和到Q点的距离相等，即电子轨迹圆圆心在以该直线为准线、Q点为焦点的抛物线上。
在该抛物线上从左向右去不同点为圆心，做出一些列轨迹圆，可以看出所有这些轨迹中轨迹①所需圆形磁场的直径最小。
【答案】
，（b,
）
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