届江苏省南通市高三第三次调研考试数学试题及答案 精品.docx

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南通市2018届高三第三次调研测试

数学学科参考答案及评分建议

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1．设集合A{3，m}，B{3m，3}，且AB，则实数m的值是▲．

【答案】0

2．已知复数z（i为虚数单位），则z的实部为▲．

【答案】3

3．已知实数x，y满足条件则z2x+y的最小值是▲．

【答案】3

4．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在中的频数为100，则n的值为▲．

【答案】1000

5．在如图所示的算法流程图中，若输出的y的值为26，则输入的x的值为▲．

【答案】4

6．从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x，则log2x为整数的概率为▲．

【答案】

7．在平面直角坐标系xOy中，点F为抛物线x28y的焦点，则F到双曲线的渐近线的距离为▲．

【答案】

8．在等差数列{an}中，若an+an+24n+6（n∈N*），则该数列的通项公式an▲．

【答案】2n+1

9．给出下列三个命题：

①“a＞b”是“3a＞3b”的充分不必要条件；

②“α＞β”是“cosα＜cosβ”的必要不充分条件；

③“a0”是“函数f（x）x3+ax2（x∈R）为奇函数”的充要条件．

其中正确命题的序号为▲．

【答案】③

10．已知一个空间几何体的所有棱长均为1cm，其表面展开图如图所示，则该空间几何体的体积

V▲cm3．

【答案】

11．如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F．若P为劣弧上的动点，则的最小值为▲．

【答案】

12．已知函数若函数f（x）的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围为▲．

【答案】（5，0）

13．在平面直角坐标系xOy中，过点P（5，a）作圆x2+y22ax+2y10的两条切线，切点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），且，则实数a的值为▲．

【答案】3或

14．已知正实数x，y满足，则xy的取值范围为▲．

【答案】[1，]

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、

证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，B1C⊥AB，侧面BCC1B1为菱形．

（1）求证：

平面ABC1⊥平面BCC1B1；

（2）如果点D，E分别为A1C1，BB1的中点，

求证：

DE∥平面ABC1．

解：

（1）因三棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1为菱形，

故B1C⊥BC1．………………………………………………………………………2分

又B1C⊥AB，且AB，BC1为平面ABC1内的两条相交直线，

故B1C⊥平面ABC1．5分

因B1C平面BCC1B1，

故平面ABC1⊥平面BCC1B1．7分

（2）如图，取AA1的中点F，连DF，FE．

又D为A1C1的中点，故DF∥AC1，EF∥AB．

因DF平面ABC1，AC1平面ABC1，

故DF∥面ABC1．…………………10分

同理，EF∥面ABC1．

因DF，EF为平面DEF内的两条相交直线，

故平面DEF∥面ABC1．………………………………………………………………12分

因DE平面DEF，

故DE∥面ABC1．……………………………………………………………………14分

16．（本小题满分14分）

已知函数（其中A，，为常数，

且A＞0，＞0，）的部分图象如图所示．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）若，求的值．

解：

（1）由图可知，A2，……………………………………………………………2分

T，故，所以，f（x）．……………………………………4分

又，且，故．

于是，f（x）．…………………………………………………………7分

（2）由，得．…………………………………………9分

所以，…………………………12分

=．……………………………………14分

17．（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别为F1（，0），F2（，0），且经过点（，）．

（1）求椭圆的方程及离心率；

（2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称．设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2k3k4．

①求k1k2的值；

②求OB2+OC2的值．

解：

（1）方法一

依题意，c，a2b2+3，………………………………………………………2分

由，解得b21（b2，不合，舍去），从而a24．

故所求椭圆方程为：

．

离心率e．……………………………………………………………………5分

方法二

由椭圆的定义知，2a4，

即a2．……………………………………………………………………………2分

又因c，故b21．下略．

（2）①设B（x1，y1），C（x2，y2），则D（x1，y1），

于是k1k2．…………………8分

②方法一

由①知，k3k4k1k2，故x1x2．

所以，（x1x2）2（4y1y2）2，即（x1x2）2，

所以，4．……………………………………………………………………11分

又2，故．

所以，OB2+OC25．…………………………………………14分

方法二

由①知，k3k4k1k2．

将直线yk3x方程代入椭圆中，得．……………………9分

同理，．

所以，4．……………………11分

下同方法一．

18．（本小题满分16分）

为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200m，圆心角为120°的扇形地上建造市民广场．规划设计如图：

内接梯形ABCD区域为运动休闲区，其中A，B分别在半径OP，OQ上，C，D在圆弧上，CD∥AB；△OAB区域为文化展示区，AB长为m；其余空地为绿化区域，且CD长不得超过200m．

（1）试确定A，B的位置，使△OAB的周长最大？

（2）当△OAB的周长最大时，设∠DOC=，试将运动休闲

区ABCD的面积S表示为的函数，并求出S的最大值．

解：

（1）设，

在△中，，

即，……………………………………………………2分

所以，，…………4分

所以，当且仅当m=n=50时，取得最大值，此时△周长取得最大值．

答：

当都为50m时，△的周长最大．6分

（2）当△AOB的周长最大时，梯形ACBD为等腰梯形．

过作OF⊥CD交CD于F，交AB于E，

则分别为AB，CD的中点，

所以，由，得．8分

在△中，．

又在△中，，故．10分

所以，

，．…………12分

（一直没有交代范围扣2分）

令，，

，，

又y=及y=在上均为单调递减函数，

故在上为单调递减函数．

因＞0，故＞0在上恒成立，

于是，在上为单调递增函数．………14分

所以当时，有最大值，此时S有最大值为．

答：

当时，梯形面积有最大值，且最大值为m2．…16分

19．（本小题满分16分）

已知数列{an}，{bn}中，a1=1，，n∈N，数列{bn}的前n项和为Sn．

（1）若，求Sn；

（2）是否存在等比数列{an}，使对任意n∈N*恒成立？

若存在，求出所有满足条件的数列{an}的通项公式；若不存在，说明理由；

（3）若a1≤a2≤…≤an≤…，求证：

0≤Sn＜2．

解：

（1）当an时，bn．………………………………………2分

所以，Sn．………………………………………4分

（2）满足条件的数列{an}存在且只有两个，其通项公式为an=1和an=．

证明：

在中，令n=1，得b3=b1．

设an=，则bn=．…………………………………………………6分

由b3=b1，得．

若q=，则bn=0，满足题设条件．此时an=1和an=．…………………8分

若q，则，即q2=1，矛盾．

综上，满足条件的数列{an}存在，且只有两个，一是an=1，另一是an=．10分

（3）因1=a1≤a2≤…≤an≤…，故，0＜≤1，于是0＜≤1．

所以，≥0，n1，2，3，…．

所以，Snb1+b2+…+bn≥0．…………………………………………………………13分

又，

≤．

故，Snb1+b2+…+bn≤

＜2．

所以，0≤Sn＜2．…………………………………………………………………16分

20．（本小题满分16分）

已知函数（a∈R）．

（1）若a=2，求函数在（1，e2）上的零点个数（e为自然对数的底数）；

（2）若恰有一个零点，求a的取值集合；

（3）若有两零点x1，x2（x1＜x2），求证：

2＜x1+x2＜1．

解：

（1）由题设，，故在（1，e2）上单调递减．……………………2分

所以在（1，e2）上至多只有一个零点．

又＜0，故函数在（1，e2）上只有一个零点．……………4分

（2），令0，得x1．

当x＞1时，＜0，在上单调递减；

当0＜x＜1时，＞0，在（0，1）上单调递增，

故f

（1）a1．………………………………………………………6分

①当0，即a1时，因最大值点唯一，故符合题设；……………8分

②当＜0，即a＜1时，f（x）＜0恒成立，不合题设；

③当＞0，即a＞1时，一方面，＞1，＜0；

另一方面，＜1，≤2aea＜0（易证：

ex≥ex），

于是，f（x）有两零点，不合题设．

综上，a的取值集合为{1}．…………………………………………………………10分

（3）证：

先证x1+x2＞2．

依题设，有a，于是．

记t，t＞1，则，故．

于是，x1+x2x1（t+1），x1+x22．

记函数g（x），x＞1．

因＞0，故g（x）在上单调递增．

于是，t＞1时，g（t）＞g

（1）0．

又lnt＞0，所以，x1+x2＞2．……………………………………………………………13分

再证x1+x2＜1．

因f（x）0h（x）ax1xlnx0，故x1，x2也是h（x）的两零点．

由a1lnx0，得x（记p）．

仿

（1）知，p是h（x）的唯一最大值点，故有

作函数h（x），则≥0，故h（x）单调递增．

故，当x＞p时，h（x）＞h（p）0；当0＜x＜p时，h（x）＜0．

于是，ax11x1lnx1＜．

整理，得＞0，

即，＞0．

同理，＜0．

故，＜，

，

于是，．

综上，2＜x1+x2＜1．………………………………………………………16分

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．

若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．[选修41：

几何证明选讲]（本小题满分10分）