中考函数图像性质数型结合问题.docx

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中考函数图像性质数型结合问题

函数图像性质数型结合问题

一、知识要点及经典例题

函数图像、性质、数型结合问题是中考中一个常见的重要考点，主要根据一次函数、反比例函数、二次函数进行变形、演变而来。

1、一次函数的图象的特点：

（1）当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x增大而增大；

当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x增大而减小。

（2）b是直线与y轴的交点的纵坐标

当b＞0时，直线交y轴于正半轴；当b=0时，直线过原点；当b＜0时，直线交y轴于正负轴

2、反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；

（1）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；

（2）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．

3、抛物线y=ax2的图像性质

（1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.

（2）当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点;

y轴左侧y随x增大而减小，y轴右侧y随x增大而增大

当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点

y轴左侧y随x增大而增大，y轴右侧，y随x增大而减小，|a|越大,抛物线的开口越小;

4、二次函数y=ax2+k（a≠0）的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k），是由抛物线y=ax2的图像向上（k＞0）或向下（k＜0）平移k个单位得到的。

平移：

1）y=a（x+m）2+n这样的二次函数，a决定抛物线的开口大小和形状，m决定图像左右平移，n决定图像上下平移

平移时：

“左加右减”，“上加下减”（左右对平方内的x来说，上下是对平方外来说）

例1.（2019中考）（10分）模具厂计划生产面积为4,周长为m的矩形模具.对于m的取值范围,小亮已经能用“代数”的方法解决,现在他又尝试从“图形”的角度进行探究,过程如下

（1）建立函数模型

设矩形相邻两边的长分别为x，y。

由矩形的面积为4,得xy=4，即y=:

由周长为m，得2（x+y）=m,即y=-x+，满足要求的（x,y）应是两个函数图象在第象限内交点的坐标

（2）画出函数图象

函数y=（x>0）的图象如图所示,面函数y=-x+的图象可由直线y=-x平移得到请在同一直角坐标系中直接画出直线y=-x

（3）平移直线y=-x,观察函数图象

①当直线平移到与函数y=（x>0）的图象有唯一交点（2,2）时,周长m的值为

②在直线平移过程中,交点个数还有哪些情况?

请写出交点个数及对应的周长m的取值范围

（4）得出结论

若能生产出面积为4的矩形模具,则周长m的取值范围为

例2.（2016中考）（10分）某班“数学兴趣小组”对函数的图像和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整.

（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：

其中，=____________.

（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图像的一部分，请画出该图像的另一部分.

（3）观察函数图像，写出两条函数的性质：

（4）进一步探究函数图像发现：

①函数图像与轴有__________个交点，所以对应方程有___________个实数根；

②方程有___________个实数根；

③关于的方程有4个实数根，的取值范围是_______________________.

强化训练：

1.阅读下面材料：

如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y1=ax+b与双曲线y2=交于A（1，3）和B（﹣3，﹣1）两点．

观察图象可知：

①当x=﹣3或1时，y1=y2；

②当﹣3＜x＜0或x＞1时，y1＞y2，即通过观察函数的图象，可以得到不等式ax+b＞的解集．

有这样一个问题：

求不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0的解集．

某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0的解集进行了探究．

下面是他的探究过程，请将

（2）、（3）、（4）补充完整：

（1）将不等式按条件进行转化：

当x=0时，原不等式不成立；

当x＞0时，原不等式可以转化为x2+4x﹣1＞；

当x＜0时，原不等式可以转化为x2+4x﹣1＜；

（2）构造函数，画出图象

设y3=x2+4x﹣1，y4=，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象．

双曲线y4=如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线y3=x2+4x﹣1；（不用列表）

（3）确定两个函数图象公共点的横坐标

观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：

满足y3=y4的所有x的值为；

（4）借助图象，写出解集

结合

（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：

不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0的解集为．

2.（9分）有这样一个问题：

探究同一坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数与的图象性质.小明根据学习函数的经验，对函数与，当时的图象性质进行了探究，下面是小明的探究过程：

（1）如图所示，设函数与图像的交点为.已知的坐标为，则点的坐标为.

（2）若点为第一象限内双曲线上不同于点的任意一点.

①设直线交轴于点，直线交轴于点.求证：

.

证明过程如下：

设，直线的解析式为.

则解得

所以,直线的解析式为．

请把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明.

②当点坐标为时，判断的形状。

3.已知函数y=2+．

（1）写出自变量x的取值范围：

；

（2）请通过列表，描点，连线画出这个函数的图象：

①列表：

②描点（在下面给出的直角坐标系中补全表中对应的各点）；

③连线（将图中描出的各点用平滑的曲线连接起来，得到函数的图象）．

（3）观察函数的图象，回答下列问题：

①图象与x轴有个交点，所以对应的方程2+=0实数根是；

②函数图象的对称性是．

A、既是轴对称图形，又是中心对称图形

B、只是轴对称图形，不是中心对称图形

C、不是轴对称图形，而是中心对称图形

D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形

（4）写出函数y=2+与y=的图象之间有什么关系？

（从形状和位置方面说明）

4.根据下列要求，解答相关问题：

（1）请补全以下求不等式﹣2x2﹣4x≥0的解集的过程

①构造函数，画出图象：

根据不等式特征构造二次函数y=﹣2x2﹣4x；抛物线的对称轴x=﹣1，开口向下，顶点（﹣1，2）与x轴的交点是（0，0），（﹣2，0），用三点法画出二次函数y=﹣2x2﹣4x的图象如图1所示；

②数形结合，求得界点：

当y=0时，求得方程﹣2x2﹣4x=0的解为；

③借助图象，写出解集：

由图象可得不等式﹣2x2﹣4x≥0的解集为．

（2）利用

（1）中求不等式解集的方法步骤，求不等式x2﹣2x+1＜4的解集．

①构造函数，画出图象；

②数形结合，求得界点；

③借助图象，写出解集．

（3）参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于x的不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集．

5.某数学兴趣小组对函数y=x+的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．

（1）自变量x的取值范围是，m=．

（2）根据

（1）中表内的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分．

（3）请你根据函数图象，写出两条该函数的性质；

（4）进一步探究该函数的图象发现：

①方程x+=3有个实数根；

②若关于x的方程x+  =t有2个实数根，则t的取值范围是．

6.（10分）小新对函数y＝a|x2+bx|+c（a≠0）的图象和性质进行了探究．已知当自变量x的值为0或4时，函数值都为﹣3；当自变量x的值为1或3时，函数值都为0．探究过程如下，请补充完整．

（1）这个函数的表达式为；

（2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质：

；

（3）进一步探究函数图象并解决问题：

①直线y＝k与函数y＝a|x2+bx|+c有三个交点,则k＝；

②已知函数y＝x﹣3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出不等式的解集

7.某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数y=的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：

（1）该函数的自变量x的取值范围是___；

（2）同学们先找到y与x的几组对应值，然后在下图的平面直角坐标系xOy中，描出各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，画出该函数的图象；

（3）结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质：

___．

8．某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数y=-x2+2+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：

（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表：

其中m=；

（2）如下图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；

（3）根据函数图象，写出:

①该函数的一条性质；

②直线y=kx+b经过点（-1，2），若关于x的方程-x2+2+1=kx+b有4个互不相等的实数根，则b的取值范围是.

9.有这样一个问题：

探究函数的图象与性质。

小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究。

下面是小东的探究过程，请补充完成：

（1）函数的自变量x的取值范围是___________；

（2）下表是y与x的几组对应值。

求m的值；

（3）如下图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；

（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是，结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：

________________。

10.有这样一个问题：

探究函数的图象与性质.

小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究.

下面是小东的探究过程，请补充完成：

（1）函数的自变量x的取值范围是___________；

（2）下表是y与x的几组对应值

求m的值；

（3）如下图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；

（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：

________________.

11、有这样一个问题：

探究函数的图象与性质．小美根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小美的探究过程，请补充完整：

（1）函数的自变量x的取值范围是___________；

（2）下表是y与x的几组对应值．

求m的值；

（3）如下图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.

根据描出的点，画出该函数的图象；

（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质：

．

12、小华在研究函数与图象关系时发现：

如图所示，当时，，；当时，，；…；当时，，．他得出如果将函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，就可以得到函数的图象．

类比小华的研究方法，解决下列问题：

（1）如果函数图象上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到的函数图象的表达式为；

（2）①将函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象；

②将函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到图象的函数表达式为．

13、阅读下面材料：

如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线交于A（1，3）和B（，）两点．观察图象可知：

①当或时，；②当或时，，即通过观察函数的图象，可以得到不等式的解集．

有这样一个问题：

求不等式的解集．

某同学根据学习以上知识的经验，对求不