人教A版高中数学必修2教学同步讲练第二章《平面与平面平行的性质》练习题含答案.docx
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人教A版高中数学必修2教学同步讲练第二章《平面与平面平行的性质》练习题含答案
第二章点、直线、平面之间的位置关系
2.2直线、平面平行的判定及其性质
2.2.4平面与平面平行的性质
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a、b的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交
C．异面D．不确定
2．已知l是过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，B1，D1的平面与下底面ABCD所在平面的交线，下列结论中错误的是（ ）
A．D1B1∥lB．BD∥平面AD1B1
C．l∥平面A1B1C1D1D．l⊥B1C1
3．五棱柱的底面为α和β，且A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，且AD∥BC，则AB与CD的位置关系为（ ）
A．平行B．相交
C．异面D．无法判断
4．P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝（ ）
A．2∶25B．4∶25
C．2∶5D．4∶5
5．下列说法正确的个数是（ ）
①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；
②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；
③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个平面也平行；
④平行直线被三个平行平面截得的线段对应成比例．
A．1B．2
C．3D．4
二、填空题
6.如图所示，在三棱柱ABCA′B′C′中，截面A′B′C与平面ABC交于直线a，则直线a与直线A′B′的位置关系为________．
7.如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是________．
8．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B＝A1F，则AF的长为________．
三、解答题
9.如图所示，已知E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1棱AA1，CC1上的点，且AE＝C1F.求证：
四边形EBFD1是平行四边形．
10.如图所示，平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F.已知AC＝15cm，DE＝5cm，AB∶BC＝1∶3，求AB，BC，EF的长．
B级 能力提升
1．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，下列推理正确的是（ ）
A．α∩β＝a，b⊂α⇒a∥b
B．α∩β＝a，a∥b⇒b∥a，且b∥β
C．a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥β
D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b
2．如图，棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．
3.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：
当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO平行？
参考答案
第二章点、直线、平面之间的位置关系
2.2直线、平面平行的判定及其性质
2.2.4平面与平面平行的性质
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a、b的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交
C．异面D．不确定
解析：
两平行平面α，β被第三个平面γ所截，则交线a、b平行．
答案：
A
2．已知l是过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，B1，D1的平面与下底面ABCD所在平面的交线，下列结论中错误的是（ ）
A．D1B1∥lB．BD∥平面AD1B1
C．l∥平面A1B1C1D1D．l⊥B1C1
解析：
因为正方体的上底面与下底面平行，由面面平行的性质定理可得选项A正确，再由线面平行的判定定理可得选项B、C正确．选项D错误，因为D1B1∥l，所以l与B1C1所成角是45°.
答案：
D
3．五棱柱的底面为α和β，且A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，且AD∥BC，则AB与CD的位置关系为（ ）
A．平行B．相交
C．异面D．无法判断
解析：
因为AD∥BC所以ABCD共面，由面面平行的性质定理知AB∥CD.
答案：
A
4．P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝（ ）
A．2∶25B．4∶25
C．2∶5D．4∶5
解析：
易知平面ABC∥平面A′B′C′，
所以AC∥A′C′，BC∥B′C′，AB∥A′B′.
所以△A′B′C′∽△ABC.
又因为PA′∶AA′＝2∶3，
所以
＝
＝
.
所以
＝
.
答案：
B
5．下列说法正确的个数是（ ）
①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；
②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；
③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个平面也平行；
④平行直线被三个平行平面截得的线段对应成比例．
A．1B．2
C．3D．4
解析：
①正确；②错误，这两条相等的线段可能相交或异面；③错误，直线可能在另一个平面内；④正确．
答案：
B
二、填空题
6.如图所示，在三棱柱ABCA′B′C′中，截面A′B′C与平面ABC交于直线a，则直线a与直线A′B′的位置关系为________．
解析：
在三棱柱ABCA′B′C′中，A′B′∥AB，AB⊂平面ABC，A′B′⊄平面ABC，所以A′B′∥平面ABC.
又A′B′⊂平面A′B′C，平面A′B′C∩平面ABC＝a，
所以A′B′∥a.故填平行．
答案：
平行
7.如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是________．
解析：
因为平面AC∥α，平面AA1B1B∩α＝A1B1，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，所以AB∥A1B1，同理可证CD∥C1D1，又A1B1∥C1D1，所以AB∥CD，同理可证AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形．
答案：
平行四边形
8．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B＝A1F，则AF的长为________．
解析：
由题意知，因平面α∥平面BC1E，
所以A1F綊BE，
所以Rt△A1AF≌Rt△BB1E，
所以B1E＝FA＝1.
答案：
1
三、解答题
9.如图所示，已知E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1棱AA1，CC1上的点，且AE＝C1F.求证：
四边形EBFD1是平行四边形．
证明：
如图，在平面A1ADD1中，作EG∥AD交D1D于点G，连接GC，易证EG綊AD綊BC，
所以四边形GEBC为平行四边形，所以EB綊GC.
又AE＝C1F，所以D1G綊FC，
所以四边形D1GCF为平行四边形，
所以D1F綊GC，所以EB綊D1F，
所以四边形EBFD1是平行四边形．
10.如图所示，平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F.已知AC＝15cm，DE＝5cm，AB∶BC＝1∶3，求AB，BC，EF的长．
解：
如图所示，连接AF，交β于点G，
连接BG，GE，AD，CF.
因为平面α∥平面β∥平面γ，
所以BG∥CF，GE∥AD.
所以
＝
＝
＝
.
所以
＝
.
所以AB＝
cm，
EF＝3DF＝15cm，BC＝AC－AB＝
cm.
B级 能力提升
1．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，下列推理正确的是（ ）
A．α∩β＝a，b⊂α⇒a∥b
B．α∩β＝a，a∥b⇒b∥a，且b∥β
C．a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥β
D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b
解析：
A项中，α∩β＝a，b⊂α，则a，b可能平行也可能相交；B项中，α∩β＝a，a∥b，则可能b∥α，且b∥β，也可能b在平面α或β内；C项中，a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，根据面面平行的判定定理，若再加上条件a∩b＝A，才能得出α∥β；D项为面面平行的性质定理的符号语言，正确．
答案：
D
2．如图，棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．
解析：
在正方体ABCDA1B1C1D1中，
因为平面MCD1∩平面DCC1D1＝CD1，
所以平面MCD1∩平面ABB1A1＝MN，且MN∥CD1，
所以N为AB的中点（如图），
所以该截面为等腰梯形MNCD1；
因为正方体的棱长为2，
易知，MN＝
，CD1＝2
，
MD1＝
，
所以等腰梯形MNCD1的高MH＝
＝
.
所以截面面积为
（
＋2
）×
＝
.
答案：
3.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：
当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO平行？
解：
如图，设平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，点M在AA1上，由于平面D1BQ∩平面BCC1B1＝BQ，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，由面面平行的性质定理可得BQ∥D1M.
假设平面D1BQ∥平面PAO，由平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，平面PAO∩平面ADD1A1＝AP，可得AP∥D1M，所以BQ∥D1M∥AP.
因为P为DD1的中点，所以M为AA1的中点，所以Q为CC1的中点，
故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
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