解直角三角形.docx
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解直角三角形
第8讲解直角三角形
单元要点分析
内容简介
本章内容分为两节，第一节主要学习正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念，第二节主要研究直角三角形中的边角关系和解直角三角形的内容．第一节内容是第二节的基础，第二节是第一节的应用，并对第一节的学习有巩固和提高的作用．
相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础．
本章属于三角学中的最基础的部分内容，而高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础．
教学目标
1．知识与技能
（1）通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函数值．
（2）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值会求它的对应的锐角．
（3）运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题．
（4）能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题．
2．过程与方法
贯彻在实践活动中发现问题，提出问题，在探究问题的过程中找出规律，再运用这些规律于实际生活中．
3．情感、态度与价值观
通过解直角三角形培养学生数形结合的思想．
重点与难点
1．重点
（1）锐角三角函数的概念和直角三角形的解法，特殊角的三角函数值也很重要，应该牢牢记住．
（2）能够运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题．
2．难点
（1）锐角三角函数的概念．
（2）经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析，解决问题的能力．
知识结构
基础知识
1．直角三角形的边角关系：
在Rt△ABC中，
∠A+∠B=90°，a2+b2=c2，
sinA=cosB=
，cosA=sinB=
，
tanA=cotB=
，cosA=tanB=
．
2．互余两角三角函数间的关系：
如∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB，cosA=sinB．
3．同角三角函数间的关系：
sin2A+cos2A=1，tanA·cotA=1，tanA=
．
4．特殊角的三角函数
三角函数
0°
30°
45°
60°
90°
sinα
cosα
tanα
cotα
解直角三角形的基本类型
解直角三角形的基本类型及其解法如下表：
类型
已知条件
解法
两边
两直角边a、b
c=
，tanA=
，∠B=90°-∠A
一直角边a，斜边c
b=
，sinA=
，∠B=90°-∠A
一边一锐角
一直角边a，锐角A
∠B=90°-∠A，b=a·cotA，c=
斜边c，锐角A
∠B=90°-∠A，a=c·sinA，
b=c·cosA
解直角三角形注意点
1．尽量使用原始数据，使计算更加准确．
2．有的问题不能直接利用直角三角形内部关系解题，但可以添加合适的辅助线转化为解直角三角形的问题．
3．一些较复杂的解直角三角形的问题可以通过列方程或方程组的方法解题．
4．解直角三角形的方法可概括为“有弦（斜边）用弦（正弦、余弦），无弦有切（正切、余切），宁乘毋除，取原避中”其意指：
当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；当所求元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求解时，则取原始数据，忌用中间数据．
5．必要时按照要求画出图形，注明已知和所求，然后研究它们置于哪个直角三角形中，应当选用什么关系式来进行计算．
6．要把添加辅助线的过程准确地写在解题过程之中．
7．解含有非基本元素的直角三角形（即直角三角形中中线、高、角平分线、周长、面积等），一般将非基本元素转化为基本元素，或转化为元素间的关系式，再通过解方程组来解．
应用题解题步骤
度量工具、工程建筑、测量距离等方面应用题的解题步骤可概括为如下几步：
第一步，审清题意，要弄清仰角、俯角、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水平等概念的意义．
第二步，构造出要求解的直角三角形，对于非直角三角形的图形可作适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）．
第三步，选择合适的边角关系式，使运算尽可能简便，不易出错．
第四步，按照题目中已知数的精确度进行近似计算，并按照题目要求的精确度确定答案及注明单位．
思想方法总结
1．转化思想
转化思想贯穿于本章的始终．例如，利用三角函数定义可以实现边与角的转化，利用互余两角三角函数关系可以实现“正”与“余”的互化；利用同角三角函数关系可以实现“异名”三角函数之间的互化．此外，利用解直角三角形的知识解决实际问题时，首先要把实际问题转化为数学问题．
2．数形结合思想
本章从概念的引出到公式的推导及直角三角形的解法和应用，无一不体现数形结合的思想方法．例如，在解直角三角形的问题时，常常先画出图形，使已知元素和未知元素更直观，有助于问题的顺利解决．
3．函数思想
锐角的正弦、余弦、正切、余切都是三角函数，其中都蕴含着函数的思想．例如，任意锐角a与它的正弦值是一一对应的关系．也就是说，对于锐角a任意确定的一个度数，sina都有惟一确定的值与之对应；反之，对于sina在（01）之间任意确定的一个值，锐角a都有惟一确定的一个度数与之对应．
4．方程思想
在解直角三角形时，若某个元素无法直接求出，往往设未知数，根据三角形中的边角关系列出方程，通过解方程求出所求的元素．
中考新题型
例1计算：
（1）sin230°-cos45°·tan60°
（2）
分析：
把特殊角的三角函数值代入计算即可．
例2如右图，已知缆车行驶线与水平线间的夹角α=30°，β=45°．小明乘缆车上山，从A到B，再从B到D都走了200米（即AB=BD=200米），请根据所给的数据计算缆车垂直上升的距离．（计算结果保留整数，以下数据供选用：
sin47°≈0.7314，cos47°≈0.6820，tan47°≈1.0724）
例32003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?
这样的最远点与P点的距离是多少?
（地球半径约为6400km，结果精确到0.1km）
分析:
从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点.如图,⊙O表示地球，点F是飞船的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从飞船观测地球时的最远点.弧PQ的长就是地面上P,Q两点间的距离.为计算弧PQ的长需先求出
（即
）
例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120m.这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）?
分析：
在
中，
，
.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD;类似地可以求出CD，进而求出B
C.
（三）巩固练习
1、为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米，求树高（精确到0.01米）．
2、在宽为30米的街道东西两旁各有一楼房，从东楼底望西楼顶仰角为45°，从西楼顶望东楼顶，俯角为10°，求西楼高（精确到0.1米）．
3、上午10时，我军驻某海岛上的观察所A发现海上有一艘敌军舰艇正从C处向海岛驶来，当时的俯角
，经过5分钟后，舰艇到达D处，测得俯角
。
已知观察所A距水面高度为80米，我军武器射程为100米，现在必须迅速计算出舰艇何时驶入我军火力射程之内，以便及时还击。
双基与中考1
1．根据直角三角形的__________元素（至少有一个边），求出________其它所有元素的过程，即解直角三角形．
2．Rt△ABC中，若sinA=
，AB=10，那么BC=_____，tanB=______．
3．在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．
4．（2006年中考题），在△ABC中，∠C=90°，sinA=
，则cosA的值是（）
A．
B．
C．
5．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB=cos∠DAC．
（1）求证：
AC=BD;
（2）若sinC=
，BC=12，求AD的长．
双基与中考2
一、选择题．
1．Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinB=
，则BC的长为（）．
A．2
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b分别是∠A、∠B的对边，如果sinA：
sinB=2：
3，那么a：
b等于（）．
A．2：
3B．3：
2C．4：
9D．9：
4
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，则sinA+cosA的值（）．
A．大于1B．等于1C．小于1D．不能确定
4．直角三角形中两边的比是1：
2，则较短边所对的角的正弦值是（）．
A．
B．
C．
或
D．
或
5．△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，tanB的值是（）．
A．
6．在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，已知AD=8，BD=4，那么tanA等于（）．
A．
B．
C．
二、填空题
7．在△ABC中，∠C=90°，cosA=
，∠B平分线长为26，则a=_____，b=_____，c=____．
8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，sinA=
，则BC=_____．
9．AD为Rt△ABC斜边BC上的高，已知AB=5cm，BD=3cm，那么BC=______cm．
三、解答题．
10．已知Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=
，求cosB及tanB的值．
11．已知Rt△ABC中，∠C=90°，b=2
，∠A的平分线AD=
，解这个直角三角形．
双基与中考3：
求不可到达的两点间距离
一、选择题．
1．某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m，则上升的最大高度是（）．
A．
mD．100cosβm
2．从地面上的C、D两处望正西方向山顶A，仰角分别为30°和45°，C、D两处相距200m，那么山高AB为（）．
A．100（
+1）mB．100
mC．100
mD．200m
3．已知A、B两点，若点A对点B的仰角为θ，那么B对A的俯角是（）．
A．θB．90°-θC．2θD．180°-θ
4．上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，如图，从A、B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，那么B处船与小岛M的距离为（）．
A．20海里B．20
海里
C．15
海里D．20
海里
5．将
cosB+
sinB改写成下列形式的式子，其中写错的是（）．
A．sin30°cosB+cos30°sinB;B．sin30°cosB+sin60°sinB
C．cos60°cosB+sin60°sinB;D．cos60°cosB+sin30°sinB
6．如图，为测河两岸相对两抽水泵A、B的距离，在距B点30m的C处（BC⊥BA），测得∠BCA=55°，则A、B间的距离为（）．
A．30tan55°mB．
m
C．30sin55°mD．30cos55°m
7．已知α是锐角，2sin（α+10°）=
，则α的度数是（）．
A．20°B．30°C．50°D．60°
二、填空题．
8．某人沿着坡度为1：
的山坡向上走50m，这时他离水平地面_______m．
9．在倾斜角为30°的斜坡上植树，若要求两棵树的水平距离为6m，则斜坡上相邻两树的坡面距离为________m．
10．一船上午9点位于灯塔A的东北方向，在与灯塔A相距64海里的B港出发，向正西航行，到10时30分时恰好在灯塔的正北的C处，则此船的速度为________．
11．用科学计算器或数学用表求：
如图，有甲、乙两楼，甲楼高AD是23米，现在想测量乙楼CB的高度．某人在甲楼的楼底A和楼顶D，分别测得乙楼的楼顶B的仰角为65°13′和45°，利用这些数据可求得乙楼的高度为______米．（结果精确到0.01米）
注：
用数学用表求解时，可参照下面正切表的相关部分．
A
0`
6`
12`
18`
…
1`
2`
3`
65°
2.145
2.154
2.164
2.174
…
2
3
5
12．如图，B、C是河岸边两点，A是对岸边一点，测得∠ABC=45°，∠ACB=45°，BC=60米，则点A到岸边BC的距离是________．
（第12题）（第13题）（第14题）（第15题）
13．如图，某同学用一个有60°角的直角三角板估测学生旗杆AB的高度，他将60°角的直角边水平放在1．5米高的支架CD上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得D、B两点的距离为5米，则旗杆AB的高度约为_______米．（精确到1米，
取1.73）
14．小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在上坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4米，BC=10米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度约为_______米．
三、解答题．
15．如图，在甲建筑物上从A点到E点挂一长为30m的宣传条幅，在乙建筑物的顶部D点测得条幅顶端A的仰角为45°，测得条幅底端E点的俯角为30°，求底部不能直接到达的甲、乙两建筑物之间的水平距离BC．（答案可带根号）
16．如图，在小山的东侧A处有一热气球，以每分钟28m的速度沿着与垂直方向夹角为30°的方向飞行，半小时后到达C处，这时气球上的人发现，在A处的正西方有一处着火点B，5分钟后，在D处测得着火点B的俯角是15°，求热气球升空点A与着火点B的距离．（结果保留根号，参考数据：
sin15°=
，tan15°=2-
，tan75°=2+
）
17．如图，在高25m的楼顶A处测得烟囱CD的顶部D的仰角为20°，已知楼房与烟囱之间的水平距离为150m，求烟囱CD的高度．（精确到1m）
18．已知小山的高为h，为了测得小山顶上铁塔AB的高x，在平地上选择一点P，在P点处测得B点的仰角为α，A点的仰角为β．（见下表中测量目标图）
（1）在下表中根据第一次和第二次的“测得数据”，填写“平均值”一列中α、β的数值．
（2）根据表中数据求铁塔高x的值．（精确到0.01m）
题目
测量山顶铁塔的高
测量目标
已知数据
山高BC
h=153.48m
测
得
数
据
测得项目
第一次
第二次
第三次
仰角α
29°17`
29°19`
α=______
仰角β
34°01‘
33°57`
β=______
19．学校组织学生参加实践活动，教师要求学生测量学校附近的高压电线杆AB的高，具体有以下条件：
①工具：
测角仪（可测水平角、倾斜角等）、米尺、标杆（长度小于2m）等；②为了完全，不允许到距离电线杆约5m的范围内；③电线杆周围比较平坦．请你设计一个测量电线杆高度的方法．
要求：
（1）简述测量方法．
（2）画出示意图（标出有关的角及线段）．
（3）求出你测量的电线杆的高h（用字母表示）．
说明：
角度用字母α、β、γ等表示；距离（线段长度）用字母等表示．
双基与中考4方位角与方向角
一、选择题．
1．如图，轮船航行到C处时，观测到小岛B的方向是北偏西35°，那么同时从B观测到轮船的方向是（）．
A．南偏西35°B．东偏西35°C．南偏东55°D．南偏东35°
（第1题）（第5题）（第8题）
2．身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别是300m，250m，200m，线与地面所成的角分别为30°、45°、60°（假设风筝线是拉直的），则三人所放风筝（）．
A．甲的最高B．乙的最低C．丙的最低D．乙的最高
3．一日上午8时到12时，若太阳光线与地面所成角由30°增大到45°，一棵树的高为10m，则树在地面上影长h的范围是（）．
A．5B．10≤h≤10
C．1010
4．△ABC中，AB=6，AC=3，则∠B最大值是（）．
A．30°B．45°C．60°D．无法确定
5．如图，水库大坝横断面为梯形，坝顶宽6m，坝高2m，斜坡AB的坡角为45°，斜坡CD的坡度i=1：
2，则坝底AD的长为（）．
A．42mB．（30+24
）mC．78mD．（30+8
）m
6．△ABC中，已知
+（tanB-
）2=0且AB=4，则△ABC的面积是（）．
A．4
B．4C．2
D．2
7．一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘船以28海里/小时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时，灯塔M与渔船的距离是（）．
A．7
B．14
C．7D．14
8．某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB=1.8m；要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板AC的宽度应为（）．
A．1.8tan80°mB．1.8cos80°m
C．
D．1.8cot80°m
9．若菱形的边长为4，它的一个内角为126°，则较短的对角线长为（）．
A．4sin54°B．4cos63°C．8sin27°D．8cos27°
10．如图，上午9时，一条船从A处出发以20海里/小时的速度向正北方向航行，11时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=36°，∠NBC=72°，那么从B处到灯塔C的距离是（）．
A．20海里B．36海里C．72海里D．40海里
（第10题）（第11题）
11．如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻，小明竖起1米高的直杆，量得其影长为0.5米，此时，他又量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高，请你计算电线杆AB的高为（）．
A．5米B．6米C．7米D．8米
二、填空题．
12．升国旗时，某同学站在离旗杆底部24m处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°，若双眼离地面1.5m，则旗杆高度为______m．（用含根号的式子表示）
13．在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为45°，沿水平方向，再向塔底前进a米，又测得塔尖的仰角为60°，那么电视塔高为________．
14．如图一铁路路基的横断面为等腰梯形ABCD，根据图示数据得下底宽AD=______米．
（第14题）（第15题）
15．如图△ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，4），（3，0），并且∠ACB=90°，∠B=30°，则顶点B的坐标是________．
16．如图，燕尾槽的外口宽AD=90mm，深为70mm，燕尾角为60°，则里口宽为________．
（第16题）（第17题）
17．如图，从高出海平面500m的直升飞机上，测得两艘船的俯角分别为45°和30°，如果这两艘船一个在正东，一个在正西，那么它们之间的距离为______．
三、解答题．
18．甲、乙两船同时从港口O出发，甲船以16．1海里/小时的速度向东偏南35°方向航行，乙船向西偏南58°，方向航行，航行了两小时，甲船到达A处并观测到B处的乙船恰好在其正西方向，求乙船的速度v．（精确到0.1海里/小时）
（参考数据：
sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，cot32°≈1.60）
19．去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2千米的A、B两地之间修筑一条笔直公路（图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C处有一个半径为0.7千米的公园，问计算修筑的这条公路会不会穿出公园？
为什么？
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