DVD在线租赁问题的分析与解答.docx
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DVD在线租赁问题的分析与解答
DVD在线租赁问题的分析与解答
摘要：
本文是对DVD在线租赁问题进行研究。
我们先假设网站的运行方式为：
要求每种DVD的张数使其满足题目要求，我们首先假定一种归还模式，即借两次的会员15号前归还一次，月底归还第二次；借一次的会员在月底归还。
在此前提下针对各种DVD愿意观看人数，利用lingo进行求解达到最大满意度时的分配方案，并且确定在达到最大满意度时每种DVD的张数。
对于问题一，利用所提供的数据建立满足条件的模型求出DVD1至少6250、DVD2至少3125、DVD3至少1563、DVD4至少782、DVD5至少313才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能看到；这五种DVD满足：
DVD1至少3959、DVD2至少1980、DVD3至少990、DVD4至少495、DVD5至少198才能保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD。
对于问题二，利用0-1变量对光碟分配进行刻画，分到光碟记为1，否则记为0。
再利用运筹学中供过于求的运输问题思想对各个变量满足的条件进行界定。
对满意度进行定义，把每个会员对各张DVD的订购需求转化为满意度，再对每位会员满意度求和，和数最大时即为题目所求。
对于问题三，因为既要满足一个月内的满意度最大，又要求出满足一个月内95%的会员得到他想看的DVD时网站提供DVD的数目最小，所以属于多目标规划问题，我们在预先规定网站租赁运行模式的基础上利用多目标理论进行求解，得到满足要求的最佳分配方案和100种DVD各自的数目。
关键词：
DVD在线租赁lingo0-1变量多目标规划
一、问题的重述
随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。
许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。
音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。
考虑如下的在线DVD租赁问题。
顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。
会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。
会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。
网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。
每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。
会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。
请考虑以下问题：
（1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。
此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。
假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD。
如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢。
表1对1000个会员调查的部分结果
DVD名称
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
愿意观看的人数
200
100
50
25
10
（2）本题列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单，如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度。
请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。
（3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。
如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大。
二、问题的分析
对于问题一，要求每种DVD的张数使其满足题目要求，我们首先假定一种归还模式，即借两次的会员15号前归还一次，月底归还第二次；借一次的会员在月底归还。
根据所给数据利用五种光碟租赁之间数目的独立性建立满足条件的模型即可解出。
对于问题二，要求探求DVD的分配模式使会员获得最大满意度，我们先对满意度进行定义，然后用0-1变量对DVD分配情况进行刻画，若分得DVD记为1，否则记为0，再利用DVD供给和订单要求建立求和优化模型进行求解。
对于问题三，因为掌握的数据只有1000张订单，我们首先利用概率论知识分析订单中的数据，在规定网站运行模式的基础上，对两个目标进行分别设定，最后利用运筹学中大M调和关系系数的方法整合成一个目标，利用所给条件进行最优求解。
三、模型假设与符号说明
1．模型假设
（1）网站的运行模式为：
借两次的会员在15号前还第一次，第二次归还在月底，借一次的会员在月底还。
（2）网站发给客户的所DVD都是自己喜欢的，即客户订单中所要求的DVD，发货时不存在发错现象，若出现缺货现象则不发货。
（3）假设网站在每次会员提交的订单中对每种DVD的征订不会有较大差别，即各种DVD征订的比例不会有较大差别，保持恒定。
2．符号说明
符号
说明
网站发给客户
第
张DVD
客户
对第
张DVD的满意度
网站在发货时的总体满意度
网站拥有第
张DVD的总量
四、模型建立与求解
4.1问题1
4.1.1问题分析
对于问题一第一问，根据题意，对五种光碟的借出是相互独立的，因为由假设每位会员借到的都是自己喜欢的，那么DVD1的会员还会借其它的光碟，如若借到DVD2到DVD5则将其认为是剩余50%没有借到的。
设
为DVD1到DVD5满足要求的最少张数，
为DVD1到DVD5愿意观看的人数。
在本题中，其值分别为20000、10000、5000、2500、1000，根据一位会员对应一个光碟，则需满足：
-----------------------
（1）
其中
为借两次的会员所返还的。
对于第二问，则由第一问知，应满足：
--------------
（2）
根据各个DVD数量之间的的独立性，建立模型如下：
4.1.2问题求解
根据上述不等式
（1）利用lingo求解（程序见附录1）得，为保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD，各种DVD的最少数目如下表所示：
DVD名称
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
满足条件至少需要的张数
6250
3125
1563
782
313
根据上述不等式
（2）利用lingo求解（程序见附录2）得，为保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD，各种DVD的最少数目如下表所示：
DVD名称
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
满足条件至少需要的张数
3959
1980
990
495
198
4.2问题2
4.2.1模型建立
（1）满意度定义
由题意可知，数字越小偏爱程度越高，而所给数据涉及“0”的问题（即此顾客对该DVD未提交订单），为解决这种情况的干扰，我们定义满意度为：
，
其中
为第
位会员对第
种光碟的满意度刻画（此处用数字进行刻画，数字越小代表偏爱程度越大）。
满意度最大即
最大。
（2）0-1变量
的定义。
引进0-1变量
（3）优化模型
根据
（1）、
（2）分析可知优化模型如下：
其中
为第
种光碟的张数。
4.2.2模型求解
用lingo求解，具体程序见附录3，结果为：
偏爱度之和最大为24746
对于前30会员（即C0001~C0030）获得的DVD情况如下表所示：
会员编号
DVD编号
C0001
DVD8
DVD41
DVD98
C0002
DVD6
DVD44
DVD62
C0003
DVD32
DVD50
DVD80
C0004
DVD7
DVD18
DVD41
C0005
DVD66
DVD68
DVD11
C0006
DVD19
DVD53
DVD66
C0007
DVD26
DVD66
DVD81
C0008
DVD31
DVD35
DVD71
C0009
DVD53
DVD78
DVD100
C0010
DVD41
DVD55
DVD85
C0011
DVD59
DVD63
DVD66
C0012
DVD31
DVD2
DVD41
C0013
DVD21
DVD78
DVD96
C0014
DVD52
DVD23
DVD89
C0015
DVD13
DVD85
DVD52
C0016
DVD84
DVD97
DVD10
C0017
DVD67
DVD47
DVD51
C0018
DVD41
DVD60
DVD78
C0019
DVD84
DVD86
DVD66
C0020
DVD45
DVD89
DVD61
C0021
DVD53
DVD45
DVD50
C0022
DVD57
DVD55
DVD38
C0023
DVD95
DVD29
DVD81
C0024
DVD76
DVD41
DVD37
C0025
DVD9
DVD69
DVD94
C0026
DVD22
DVD68
DVD95
C0027
DVD58
DVD78
DVD80
C0028
DVD8
DVD34
DVD37
C0029
DVD55
DVD30
DVD26
C0030
DVD62
DVD37
DVD98
4.3问题3
4.3.1模型建立
对于问题3，首先假设网站所需要的100种DVD的总量分别为
，依然满足所给表中的满意度条件和DVD供需总量之间的关系，即：
假设每次想借第i张DVD的人数为
，还要满足一个月内95%的会员得到他想看的DVD要求，假设对于每种DVD每次都能借出，在这1000张订单中还要租赁第二次的占总数的比例为
（也就代表会有
人归还）即：
根据问题三中的两个目标，利用多目标规划理论，建立模型如下：
4.3.2模型求解
借助第一题的条件，即借两次的客户占的比例为
，
由表中数据得出，利用lingo求解，得出100种DVD的总量如下表所示，
DVD号
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
DVD6
DVD7
DVD8
DVD9
张数
50
55
52
59
47
52
52
60
56
DVD号
DVD10
DVD11
DVD12
DVD13
DVD14
DVD15
DVD16
DVD17
DVD18
张数
54
57
58
51
61
50
56
61
55
DVD号
DVD19
DVD20
DVD21
DVD22
DVD23
DVD24
DVD25
DVD26
DVD27
张数
60
69
57
60
65
56
53
60
52
DVD号
DVD28
DVD29
DVD30
DVD31
DVD32
DVD33
DVD34
DVD35
DVD36
张数
50
58
58
60
52
55
49
65
58
DVD号
DVD37
DVD38
DVD39
DVD40
DVD41
DVD42
DVD43
DVD44
DVD45
张数
55
56
52
52
71
62
56
54
63
DVD号
DVD46
DVD47
DVD48
DVD49
DVD50
DVD51
DVD52
DVD53
DVD54
张数
56
56
53
55
56
64
55
59
55
DVD号
DVD55
DVD56
DVD57
DVD58
DVD59
DVD60
DVD61
DVD62
DVD63
张数
58
59
65
46
51
62
56
62
63
DVD号
DVD64
DVD65
DVD66
DVD67
DVD68
DVD69
DVD70
DVD71
DVD72
张数
65
59
63
54
57
63
60
57
63
DVD号
DVD73
DVD74
DVD75
DVD76
DVD77
DVD78
DVD79
DVD80
DVD81
张数
51
49
54
52
53
59
49
59
59
DVD号
DVD82
DVD83
DVD84
DVD85
DVD86
DVD87
DVD88
DVD89
DVD90
张数
46
43
50
54
47
57
44
56
59
DVD号
DVD91
DVD92
DVD93
DVD94
DVD95
DVD96
DVD97
DVD98
DVD99
张数
64
56
56
54
61
47
57
60
48
DVD号
DVD100
张数
52
取得满意度最大的分配方案如下表所示（以前30个会员为例）：
会员编号
DVD编号
C0001
DVD8
DVD41
DVD98
C0002
DVD6
DVD44
DVD62
C0003
DVD32
DVD50
DVD80
C0004
DVD7
DVD18
DVD41
C0005
DVD66
DVD68
DVD11
C0006
DVD19
DVD53
DVD66
C0007
DVD26
DVD66
DVD81
C0008
DVD31
DVD35
DVD71
C0009
DVD53
DVD78
DVD100
C0010
DVD41
DVD55
DVD85
C0011
DVD59
DVD63
DVD66
C0012
DVD31
DVD2
DVD41
C0013
DVD21
DVD78
DVD96
C0014
DVD52
DVD23
DVD89
C0015
DVD13
DVD85
DVD52
C0016
DVD84
DVD97
DVD10
C0017
DVD67
DVD47
DVD51
C0018
DVD41
DVD60
DVD78
C0019
DVD84
DVD86
DVD66
C0020
DVD45
DVD89
DVD61
C0021
DVD53
DVD45
DVD50
C0022
DVD57
DVD55
DVD38
C0023
DVD95
DVD29
DVD81
C0024
DVD76
DVD41
DVD37
C0025
DVD9
DVD69
DVD94
C0026
DVD22
DVD68
DVD95
C0027
DVD58
DVD78
DVD80
C0028
DVD8
DVD34
DVD37
C0029
DVD55
DVD30
DVD26
C0030
DVD62
DVD37
DVD98
五、模型评价与推广
5.1优点
本模型在假定网站运行模式的基础上解决了网站中DVD在线租赁问题，利用文件操作的方式处理大量数据，得出满足要求的方案。
方法简单易行，为解决实际中存在的具体问题提供思路，对现实中存在的类似问题具有较强的指导意义。
5.2不足之处
由于题目中未明确指出网站具体的运行模式，所建模型是在假定一定运行模式的基础上进行的，在实际解决问题中还存在其他不同于假设的运行模式，可能带来问题的多解和异解情况，而且假定模型与实际情况可能存在一定偏差。
5.3推广
本模型在一定程度上的解决了网站中DVD在线租赁问题，稍加改进即可用于现实网络中其它商品在线销售问题，对商店进货和具体运营方案有一定参考和应用价值。
附录：
1．针对问题1第一问的模型求解
sets:
aaa/1..5/:
f,x,c,t;
endsets
data:
c=0.20.10.050.0250.01;
enddata
min=@sum（aaa（i）:
x（i））;
@for（aaa（i）:
t（i）=100000*c（i））;
@for（aaa（i）:
@gin（x（i）））;
@for（aaa（i）:
（x（i）+0.6*x（i））>=0.5*t（i））;
@for（aaa（i）:
x（i）<=（t（i）-x（i）））;
2．针对问题1问题二的模型求解
sets:
aaa/1..5/:
f,x;
endsets
min=@sum（aaa（i）:
x（i））;
@for（aaa（i）:
@gin（x（i）））;
@for（aaa（i）:
（4.8*x（i））>=0.95*100000）;
3．针对问题2的模型求解
sets:
aaa/1..100/:
g;
bbb/1..1000/:
c;
links（aaa,bbb）:
x,v;
endsets
data:
v=@file（'DVD处理数据1.txt'）;
g=@file（'DVD处理数据2.txt'）;
@text（'DVD处理数据3.txt'）=x;
enddata
max=@sum（aaa（i）:
（@sum（bbb（j）:
v（i,j）*x（i,j））））;
@for（bbb（j）:
@for（aaa（i）:
@bin（x（i,j））））;
@for（bbb（j）:
@sum（aaa（i）:
x（i,j））=3）;
@for（aaa（i）:
（@sum（bbb（j）:
x（i,j）））<=g（i））;
用Matlab将上述处理后的数据导入Excel进行读取，程序代码如下：
clear
clc
fid=fopen（'DVD处理数据3.txt','r'）;
P=fscanf（fid,'%f'）;
Q=zeros（100,1000）;
fori=1:
100
forj=1:
1000
Q（i,j）=P（1000*i+j-1000）;
end
end
Q
xlswrite（'DVD处理数据3.xlsx',Q）
3．解决问题三的lingo程序如下：
sets:
aaa/1..1000/;
bbb/1..100/:
y,w;
links（aaa,bbb）:
x,v;
endsets
data:
v=@file（'DVD处理数据1.txt'）;
w=@file（'DVD处理数据4.txt'）;
@text（'DVD.txt'）=y;
enddata
max=@sum（links:
v*x）-@sum（bbb（j）:
y（j））*10000;
@for（links:
@bin（x））;
@for（bbb（j）:
@sum（bbb（j）:
1.6*y（j））>=0.95*w（j）*3）;
@for（bbb（j）:
@gin（y（j）））;
@for（bbb（j）:
@sum（aaa（i）:
x（i,j））<=y（j））;
@for（aaa（i）:
@sum（bbb（j）:
x（i,j））=3）;
用Matlab将上述处理后的数据导入Excel进行读取，程序代码如下：
clear
clc
fid=fopen（'DVD.txt','r'）;
P=fscanf（fid,'%f'）;
Q=zeros（100,1000）;
fori=1:
100
forj=1:
1000
Q（i,j）=P（1000*i+j-1000）;
end
end
Q
升级会员 