体育单招所有数学公式.docx

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体育单招所有数学公式

高考数学常用公式及结论

1元素与集合的关系:

xeAoxeCqA,xeCb.Ax^A.0Q4oAH0

2集合｛%“2,…，©｝的子集个数共有2"个；真子集有2"-1个；非空子集有2”-1个；非空的真子集有2”一2个.

3二次函数的解析式的三种形式：

（1）一般式/（x）=ax~+bx+c（a0）;

（2）顶点式f（x）=a（x-h）2+k（a^0）-（当己知抛物线的顶点坐标（/?

幻时，设为此式）

（3）零点式./（a）=a（x-x,）（x-召）（"0）;（当已知抛物线与x轴的交点坐标为（几0）,（x2,0）时，设为此式）

（4）切线式：

/（x）=d（x-q）2+（总+〃）,（4工0）。

（当已知抛物线与直线y=kx+〃相切且切点的横坐标为儿时，设为此式）

4充要条件：

⑴、pdq,则P是q的充分条件，反之，q是p的必要条件；

（2）、

⑶、

⑷、

P=q，且q工>P，则P是q的充分不必要条件；p工>q,且qap，则P是q的必要不充分条件：

pH〉q,且qH〉p，则P是q的既不充分又不必要条件。

5函数单调性：

增函数：

（1）、文字描述是：

y随x的增大而增大。

（2）、数学符号表述是：

设f（x）在x^d上有泄义，若对任意的25且儿<花，都有

/（册）

D则就是f（x）的递增区间。

减函数：

（1）、文字描述是：

y随x的增大而减小。

（2）、数学符号表述是：

设f（x）在x^D上有泄义，若对任意的几吃已。

且儿<花，都有

/（州）>/（花）成立，则就叫f（x）在x^D上是减函数。

D则就是f（x）的递减区间。

单调性性质：

（1）、增函数+增函数=增函数；

（2）、减函数+减函数=减函数：

（3）、增函数-减函数=增函数：

（4）、减函数-增函数=减函数：

注：

上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数宦义域的交集。

复合函数的单调性：

内层函数IttI

外层函数itIt

复合函数ttii

等价关系：

⑴设心吃那么

（xt-x2）[/（%,）-/（%,）]>0On型>0o/（x）在肚闰上是增函数;

3-x2）[/（^）-/（%2）]<00八W邑1V0o/⑴在k，b]上是减函数.

⑵设函数y=/u）在某个区间内可导，如果f\x）>0,则/（x）为增函数；如果f\x）<0,则/⑴

为减函数.

6函数的奇偶性：

（注：

是奇偶函数的前提条件是:

…定一义域必须关于原点对称）

奇函数：

定义：

在前提条件下，若有/（-x）=-/（a）sV（-x）+/（X）=0,

则f（X）就是奇函数。

性质：

（1）.奇函数的图象关于原点对称：

（2）、奇函数在x>0和x〈0上具有相同的单调区间；

（3）、定义在R上的奇函数，有f（0）=0•

偶函数：

定义：

在前提条件下，若有/（-X）=/（x）,则f（x）就是偶函数。

性质：

（1）、偶函数的图象关于y轴对称：

（2）、偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间；

奇偶函数间的关系：

（1）、奇函数・偶函数=奇函数；

（2）、奇函数・奇函数二偶函数：

（3）、偶奇函数•偶函数=偶函数；（4）、奇函数士奇函数=奇函数（也有例外得偶函数的）

（5）、偶函数土偶函数=偶函数；（6）、奇函数土偶函数=非奇非偶函数

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.

7函数的周期性：

定义：

对函数f（x）,若存在TH0,使得f（x+T）=f（x）,则就叫f（x）是周期函数，其中，T是f（X）的一个周期。

周期函数几种常见的表述形式：

（1）、f（x+T）=-f（x）,此时周期为2T:

（2）、f（x+ni）=f（x+n）,此时周期为2|m—n|；

⑶、/（x+〃2）=——,此时周期为2mo

8常见函数的图像:

9对于函数y=/（x）（xwR）,f（x+a）=f（b一x）恒成立，则函数/（a）的对称轴是x=斗;两个函

数y=j\x+a）与y=f（b一x）的图象关于直线x=—对称.

10分数指数慕与根式的性质：

（1）an=（a>Ojn.ne,且1）・

上]]

（2）an=—-=—==（a>0jn.neN\且〃〉1）.

-"/c加

（3）

a,a>0

-a、a<0

（亦）一・

（4）当〃为奇数时，^=a；当n为偶数时,i^=lal=<

11指数式与对数式的互化式：

Io—N=boa"=N（a>0,"H1,N>0）.

指数性质:

（4）、a=W（a>O.f\seQ）指数函数：

⑴、y=a\a>1）在左义域内是单凋递增函数:

（2）、

y=/（0v“vl）在立义域内是单调递减函数。

注：

~指数函数图象都恒过点（0,1）

对数性质;

M

logflM-logflN=logd—:

⑴、

1。

缶M+logflN=log。

（MN）

:

⑵、

⑶、

bgah=加•bgab:

⑷、

log十b”

=—-logj?

:

（5）、log」=0

m

⑹、

log"a=\:

（7）、

=b

对数函数：

⑴、y=logflx（a>1）在定义域内是单调递增函数：

（2）、y=logaX（0<“

对数函数图象都恒过点（1,0）

（3）、logax>0oa,xe（0,1）或a,xe（1,+qo）

（4）、log“x<0o"e（0,l）贝lj_vw（l,+co）或ae（l,P）则xw（0,l）

lOaN

12对数的换底公式：

log°N=亠」（a>0,且dHl,〃7>0,且加Hl,N>0）・

log加"

对数恒等式：

i严—Na〉。

且a工1,N>0）・

推论log.J/=-logfl/7（«>0,且dHl,N>0）.

nin

13对数的四则运算法则:

若a>0,a^l,M>0,N>0,则

M

⑴log"（MN）=logflM+logaN;

（2）logd—=log”M-\ogaN；

（3）logaMn=nlogdM（neR）;（4）logMNtl=—log”N（n,meR）。

m

14平均增长率的问题（负增长时p<0）：

如果原来产值的基础数为N,平均增长率为〃，则对于时间x的总产值y,

15等差数列：

通项公式:

色=q+（n—l）d，其中勺为首项，d为公差，n为项数,

y=N（\+p）\

①为末项。

（2）

推广:

an=ak+（〃一灯〃

5=»>2）（注：

该公式对任意数列都适用）

前n项和^

（1）

（2）

W“严:

其中幻为首项，n为项数，©为末项。

2

c.啥一1）；

S〃=M+—-—d

常用性质:

等比数列^

通项公式:

前n项和:

（3）

（4）

S”=S心+J（n>2）（注：

该公式对任意数列都适用）

S”=%+・・・+£,（注：

该公式对任意数列都适用）

（i）.若m+n=p+q,则有am+an=ap+aq:

注：

若a加是％竹,的等差中项，则有2am=an+ap<=>n^m.

（2人

（3人

（4）.

（5）

（1）

（2）

（3）

（1）

（2）

（3）

若｛©｝.｛bn｝为等差数列，贝1」｛心±$｝为等差数列。

｛%｝为等差数列,S”为其前n项和,则Sm9S2m-Sm9S3m

5=4耳=卩、则碍幵=0:

其中勺为首项，n为项数,

q

推广：

an=ak•（Ck

aft=Sn-Stl^n>2）

Sn=S^+an（n>2）

»=4+“2+・・・+绻

（注：

该公式对任意数列都适用）

（注：

该公式对任意数列都适用）

（注：

该公式对任意数列都适用）

叫（q=1）

S产仏（1_/）

1—Q

（E）

P成等差。

也成等差数列。

q为公比。

常用性质：

（1）、若m+n=p+q,则有am-an=apaq:

注：

若5是％碍的等比中项，则有d〃：

=©・d“U>n、m、p成等比。

（2）、若｛色｝、他｝为等比数列，则｛①也｝为等比数列。

】6分期付款（按揭贷款）:

每次还款“牆吕元（贷款适川次还清海期利率为和

17三角不等式：

（1）若.ve（0.—）,J5iJsinx

2

（2）若xe（0,—）,贝!

]1

2

（3）lsinxl+lcosxl>l.

18同角三角函数的基本关系式：

sin2^+cos2^=l,tan0=竺,

19正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）20

COS&

和角与差角公式

sin（a±0）=sinacos卩±cosasin0；cos（a±0）=cosacos/Jysintzsin卩；tan（a±戸）=皿兰泌.

1+tanatan0

rzsina+/?

cosa=\M2+/?

'sin（a+。

）

（辅助角®所在象限由点（％b）的象限决定,tan（p=-）.

2tana

22

sin26z=sin6zcos（7=9.

1+tmra

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a=-_°.

1+tan~ac2tanarsin2a1-cos2a

tan2a=—.tana==

1-tanP1+cos2asin2a

.91-cos2a71+cos2a

a=、cos_a=

22

三角函数的周期公式

函数）jg+gWR及函数尸8心+0）,心3,3,。

为常数,且“0）的周期心益

函数y=tan（O¥+0）,+wZ（A,3,0为常数，且AHO）的周期T=—

2\co\

三角函数的图像:

y=sinx<

ty-cosx人

/=、3“/二“、/"

/

/I、必

5匹・畑~壬

°S/北*・2江・3“\汪,4?

0»、.、〒2左

23正弦定理:

—=—=—=2/?

（R为AABC外接圆的半径）.

sinAsinBsinC

<=>a=27?

sinAJ）=27?

sinB、c=27?

sinCOd:

b:

c=sinA:

sinB:

sinC

24余弦定理：

a2=b2+c2-2ZxcosA;b2=c2+a2-2wcosB;c2=a2+b2-labcosC.

25面积定理：

（1）S=-aha=-bhb=-chc（你虹、九分别表示小b.c边上的高）•

厶厶厶

（2）S=—absinC=—bcsinA=—easinB.

222

o£=?

—±L£o2C=27r-2（A+3）.

222

27实数与向赶的积的运算律:

设入、P为实数，那么：

（1）结合律：

X（u5）=（X11）5；

（2）第一分配律：

（X+u）L&+U0;

（3）第二分配律：

X（ri+/；）=Xfl+X/；.

28云与I；的数量积（或内积）：

Q・b=\a\\hIcosO。

29平面向量的坐标运算j

⑴设&=（心儿），Z?

=（X2,>2）>则&+万=（斗+兀2切+儿）・

（2）设0b^（x2.y2）9则-（xl-x29y1-y2）.

（3）设A3，yJ,B（x2,>'2），则AB=OB-OA=（x1-xvy1-y[）.

（4）设&二（x,y）,九已R,J02a=（Ax,Ay）.

（5）设^=（xpyj）,b=（x2,y2）,则&•b-（xAx2+y{y2）.

30两向量的夹角公式：

s謠r肩資鴛严加）心（“））

31平面两点间的距离公式：

dA^^\AB\=yjABAB=J（x2-xl）2+（y2-V|）2（Ag」），B（x2,y2））<

32向量的平行与垂直:

设芯（％”）“=（吃小），且5工6,则：

d\\b<^b-Xd<=>xly2-x2y\=0.（交叉相乘差为零）

d丄6（«#6）<=>d•b=0<=>XjX2+y{y2=0.（对应相乘和为零）

33线段的定比分公式：

设A3出（七小）显（圮刃是线段AA的分点是实数，且P\P"PP“

OOp=iOR+（l_i）OP；（r=—）.

1+X

34三角形的重心坐标公式：

AABC三个顶点的坐标分别为B（x2,y2）>C（x3,y3）,则AABC

的重心的坐标是,211—）.33

35三角形五“心”向量形式的充要条件：

设。

为AABC所在平面上一点，角45C所对边长分别为abc■则

（1）0为AABC的外心oOA=OB=OC.

（2）0为A4BC的重心oOA+OB+OC=Q.

（3）0为A4BC的垂心o丙面=面応=0?

刃.

（4）0为A4BC的内心od丙+"面+c呪=6.

（5）0为AABC的ZA的旁心O"刃=〃西+〈祝・

36常用不等式：

（1）4bwR=>“2+b2>2ah（当且仅当a=b时取“二”号）.

（2）gbe/?

+=>《巴>4^b（当且仅当a=b时取号）•

2

（3）cr+Z?

3+c>3abc（a>05Z?

>O.c>0）.

（4）

（4）37极值定理：

已知都是正数，贝！

J有

（1）若积人了是定值〃，则当x=y时和x+y有最小值2x[p.

（2）若和"是定值“则当r时积与有最大值期

（3）已知a.b.x.yeR^,若ax+by=\则有

—+—=（ax+by）（—+丄）=0+/?

+冬+聖》"+/?

+2\[ab=（>/a+5/F）2<>

xyxyxy

（4）已知abxjvRJ若-+-=1则有

xy

x+y=（x+y）（—+—）=a+b+—+—>a+h+2y[ab=（需+y/h）2

xyxy

38一元二次不等式ax2+bx+c>0（或v0）（a0,A=/?

2-4ac>0）,如果a与ax1+bx+c同号，则其解集在两根之外；如果"与ax2+hx+c异号，则其解集在两根之间•简言之：

同号两根之外，异号两根之间•即：

X}（x—X,）（X-X2）<0（x,

Xx2<=>（X-X|）（X-X2）>O（Xj

39含有绝对值的不等式：

当a>0时，有

|x|<«x2—a0<=>^>a2<=>x>a^x<—a・

40斜率公式:

k=―—（人（旺」1）、£厲儿））・

41宜线的五种方程：

（1）点斜式y-y^kix-x^（直线/过点人（心”），且斜率为《）・

（2）斜截式y=d+"（b为直线/在y轴上的截距）.

（3）两点式__=上七（儿工”）（人（西，”）、只（“”）（召工匕』1工”））・

儿一X兀2一片■""

两点式的推广：

（召一召）（$一”）一（儿一儿）（兀一為）=0（无任何限制条件!

）

（4）截距式-+-=l（rz.。

分别为直线的横.纵截跖dHO、Z?

hO）

ab

（5）一般式Av+By+C=O（其中A.B不同时为0）.

直线Ax+By+C=0的法向量：

T=（A.B）,方向向量：

T=（B,-A）

42夹角公式：

l・（/]:

仲+Bj+Ci=0,l2:

A2x+B2y+C2=0,AlA2+B[B2h0）・

宜线厶丄厶时，直线"与/2的夹角是斗.

乙

43人到厶的角公式；

—k

（1）tana=——•仏:

y=k}x+b},K:

y=k^x+b^,k.k^H_l）

1+k2k}...-

（2）tana=―.{l}lA^x+B^y+C^=0,l2.A2x+B2y+C2=0,人人H0）・

AA.+B\B=

直线厶丄人时，直线人到b的角是£・

・2

44点到宜线的距离：

〃=丨刖二臂二£2（点P（x°,y（）直线人Av+Bv+C=O）.VA2+B2

45圆的四种方程：

（1）圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2.

（2）圆的一般方程x2+y2+D.x+Ey+F=O（D2+E2-4F>0）.

x=a+rcosO

（3）圆的参数方程z.十

y=b+rsinO

（4）圆的直径式方程（A-x1）（x-x2）+（y-yIXy-y2）=O（|^的直径的端点是Agj）、B（x2,y2））.

46点与圆的位置关系：

点P（心）b）与圆（x-a）2+（y-b）2=r2的位置关系有三种：

若d=J（d-xj+（b-yj2,则d>厂。

点P在圆外；

d=rO点P在圆上；dV厂O点P在圆内.

47宜线与圆的位置关系：

宜线Ax+By+C=0与圆（x^a）2+（y^h）2=r2的位置关系有三种

^\Aa+Bb+C\y/A2+B1

〃>,・o相离ozXvO；d=^o相切oA=0；〃<厂0相交o△>0•

48两圆位置关系的判定方法:

设两圆圆心分别为a,02,半径分别为”切|0|。

2|=乩则:

d>t\+入O外离04条公切线；

d=斤+Do外切o3条公切线；

\r}-r2\

2O相交O2条公切线;d=|斤一厂2〔O内切O1条公切线；0<6/<|/*|-r2|<=>内含O无公切线.

X2V2.1x=acos0亠亠c/h2

49椭圆一+「•=1（">/?

>0）的参数方程是）•离心率

=—=J1

/[y=bsin0a\a^

2t2

准线到中心的距离为伫，焦点到对应准线的距离（焦准距）P=~.

CC

•2过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：

2-—.

a

22

50椭圆4+=1（">〃>0）焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积：

X少

（1）点）b）在椭圆~"=1（">〃>0）的内部O—r+—T<1•

crlrcrZr

2222

（2）点P（x（>,y（））在椭圆一r+-y-r=1（">/?

>0）的外部O—r+-~7->1.

xlrcrir

52椭圆的切线方程：

22

（1）椭圆二+「=1@>〃>0）上一点P（x°,儿）处的切线方程是瞽+器=1.

crcrZr

22

（2）过椭圆.+匚=1外一点P（x0Oo）所引两条切线的切点弦方程是卑+卫丄=1.

（广『CT犷

22

（3）椭圆二+.=l@>b>0）与直线Ax+By+C=0相切的条件是A2a2+B2h2=c2.

53双曲线乂一「=1@>0">0）的离心率e=-=J1+-T,准线到中心的距离为二，焦点到对应XXaVcrc

2-2

准线的距离（焦准®P=—o过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：

2.—.

ca

22

焦半径公式|PF,|=1e（x+^-）\=\a+ex\,|PF,|=Ie（--一x）1=1a-ex\f

两焦半径与焦距构成三角形的面积比片啓=b*W

54双曲线的方程与渐近线方程的关系：

2222

（1）若双曲线方程为二-「=1二>渐近线方程：

■-押=0Oy=±£贮

crcrb，a

22

（2）若渐近线方程为y=±2xO上±十=0=>双曲线可设为二一二=九•

aabcrIr

（3）若双曲线与二-匚=1有公共渐近线，可设为二=九

crlrb，

（X>0,焦点在x轴上，X<0,焦点在y轴上）•

（4）焦点到渐近线的距离总是b。

55双曲线的切线方程：

22

⑴双曲线■-刍=1@〉0小>0）上一点P（x0.y0）处的切线方程是習一器=1.

xb-cr\r

22

⑵过双曲线二-£=1外一点恥。

儿）所引两条切线的切点弦方程是習-卑=1.

crZra"Zr

22

（3）双曲线4-4=1与直线Ar+By+C=0相切的条件是A2a2-B2b2=c2.

crlr

56抛物线y2=2px的焦半径公式：

抛物线v2=2px（p>0）焦半径|CF|=儿+彳.

2

过焦点弦长|CZ）|=X]+彳+尤2+彳=X]+x2+P.

57二次函数尸似2+bx+c=a（x+A）2+4ac~h\{a丰0）的图象是抛物线：

la4a

（1）顶点坐标为（-?

也二）；

（2）焦点的坐标为伫+1）；

2a4a2a4a

4c/c—一1

（3）准线方程是y=—-——

4a

58直线与圆锥曲线相交的弦长公式\AB\=/x.-x^+iy.-y,）2

或卜创=丁（1+/）[（吃+xj2—4工2・xj=1£_花IJl+tan'a=1加-y21Jl+cot，a

y=kx+b=

（弦端点A（“,由方程厂消去y得到+bx+c=0

F（x,y）=0

△>0,a为直线43的倾斜角，R为直线的斜率，I为一兀21=J（£+%）'—4尤$2•

59证明直线与平面的平行的思考途径：

（1）转化为直线与平面无公共点；

（2）转化为线线平行；

（3）转化为面面平行.

60证明直线与平面垂直的思考途径：

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂宜；

（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；

（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；

（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。

61证明平面与平面的垂直的思考途径：

（1）转化为判断二面角是直二面角；

（2）转化为线面垂直；

（3）转化为两平面的法向量平行。

62向量的直角坐标运算：

设a=